Extremwertproblem

[EMI]

Zitat von Sino

So eine "Das sieht man doch sofort !"-Aufgabe muss man doch irgendwie schneller machen können.

V=a*b*c=A*a
Wir wissen, das das Verhältnis Fläche zu gegebenen Umfang A/U beim Rechteck, bei einem gleichseitigen Rechteck(Quadrat) an größten ist.
also A/U = max = AQ/U

Also V=AQ*a daraus folgt AQ=b²=c²=bc und daraus b=c

AQ=V/a = b² = c²
b=c=sqrtV/a= 3cm

Oder umständlicher, wenn man das oben nicht weis:

V=a*b*c
b=V/ac
Fo=2ab+2ac+2bc die Oberfläche der Schachtel, hier b=V/ac einsetzten
Fo=2V/c+2ac+2V/a hier a=5 und V=45 einsetzen.
Fo=90/c+10c+18 = 90*c^-1+10c+18
dFo/dc = -90*c^-2+10 = -90/c²+10
0=-90/c²+10
c=sqrt90/10 = 3cm
b=V/ac =45/5*3 = 3cm

EMI

[richy]

So eine "Das sieht man doch sofort !"-Aufgabe muss man doch irgendwie schneller machen können :

Volumen V=5*b*c
Flaeche :5*c+5*b+c*b (Die 2 kann man sich sparen)
Lagrange H= 5*c+5*b+c*b+ l1*(5*b*c-V)
dH/db=5+c+l1*5*c=0
dH/dc=5+b+l1*5*b=0

Man sieht sofort dass beide Gleichungen die selbe Loesung bezueglich l1 haben
c=g(l1),b=g(l1) => b=c=k
5*k^2=45,k=wurzel(9)
k=3=b=c
*******

[richy]

S = Σ -p(i) ln(p(i))
dS/di =Σ -dp(i)/di ln(p(i))-dp(i)/di =0

Ist auch erfuellt wenn alle Summanden gleich Null sind :
dp(i)/di ln(p(i))+dp(i)/di =0 (Kettenregel beim ln kuerzt p(i))
dp(i)/di*(ln(p(i))+1)=0
dp(i)/di=0 => p(i)=konstant
******************
(ln(p(i))+1)=0 waere auch konstant

Ich meine die Rechnung liefert nur zufaellig das Ergebnis
Der Ansatz dS/di=0 scheint mir nicht richtig.
Man muesste die Variationsrechnung anwenden

[Sino]

Ok, das ein Quadrat rauskommen muss, war mir sofort klar, wusste aber nicht, wie ich da formal die Kurve kriege.
Hätte also nur die Argumentation: "Die Summe der Seitenflächen werden minimal, wenn der Umfang des b-c-Rechtecks minimal ist." formal hinschreiben müssen, und dann nur noch die Sache mit dem Quadrat formal begründen.

Mit Lagrange hab ich danach auch nochmal gerechnet, aber dazu hatte ich zuerst keine Lust, weil ich wusste, dass der Formalismus klappt.
Obwohl Lagrange wohl die einfachste Methode ist, weil man nicht gross nachdenken muss, wie man argumentiert, sondern das einfach formal runterschreibt und rechnet und fertig ist man.

[richy]

5+c+l1*5*c=0
5+b+l1*5*b=0
Man muss gar nicht gross rechnen. Hier sieht man sofort das c=b gelten muss.
Warum soll man es sich unnoetig schwer machen ?
Und dass dass Quadrat optimal ist war auch wegen EMIs Argumentation zu erwarten.

[Sino]

Zitat von Hamilton

Zeige, dass die Gleichverteilung (für ein diskretes System) maximale Entropie hat.

Entropie = S = Σ -p_i ln(p_i)

Keine Ahnung, wie man das formal sauber macht.

Ich würde mir zwei Mikrozustände i,j rausgreifen, die unterschiedliche Wahrscheinlichkeit haben. Dann würde ich zeigen, dass das System mehr Entropie hat, wenn ich die p_i und p_j jeweils durch 1/2(p_i+p_j) ersetze. Damit mach ich 2 Zustände gleichwahrscheinlich, die anderen Zustände werden davon nicht berührt und Summe aller Wahrscheinlichkeiten bleibt 1.

Dann schnapp ich mir die nächsten zwei Mikrozustände, die unterschiedliche Wahrscheinlichkeit haben, mach das gleiche, usw.

Nach einer endlichen Zahl von Schritten hab ich dann das System in den Zustand höchster Entropie versetzt. Da wäre dann die Gleichverteilung erreicht und der Vorgang endet.

Aber wie man das formal schreibt, so dass das als Beweis standhält, keine Ahnung.


edit: Hmm, überleg gerade, ob das mit endlich vielen Schritten klappt. Wahrscheinlich kann man mit dem Verfahren nur jede beliebige Epsilon-Schranke unterschreiten, die die Abweichung von der Gleichverteilung darstellt.

( nochmal edit: Ansonsten würde ich da mit vollständiger Induktion rangehen, also ein System maximaler Entropie schrittweise um jeweils einen Zustand erweitern. Und dann zeigen, dass aus der Gleichverteilung bei n folgt, dass bei n+1 wieder eine Gleichverteilung die höchste Entropie ergibt. )

[richy]

Ich meine es ist eine Variationsaufgabe.
http://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung

[Sino]

Zitat von richy

Ich meine es ist eine Variationsaufgabe.
http://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung

Hab ich nie gemacht.

Aber vollständige Induktion sollte zum Ziel führen.

Wenn ich als Induktionsvoraussetzung habe, dass für n Mikrozustände der Summenterm mit einer Gleichverteilung maximal/minimal (jenachdem, wo ich das Minus lasse), dann kann ich den Schritt zu n+1 machen.

Wenn ein neuer Zustand dazukommt, der die Wahrscheinlichkeit p_x hat, dann multipliziere ich die Wahrscheinlichkeiten der alten Gleichverteilung, die 1/n sind und in der alten Summe stehen, einfach alle mit (1-p_x).
Dann verwende ich die Induktionsvoraussetzung wieder, dass der modifizierte Summenterm maximal/minimal ist, weil er eine Gleichverteilung ist.
( Gleichverteilung stimmt nur insofern, als dass die Glieder alle gleich sind. Die summieren sich nicht mehr zu 1.0, sondern zu (1-p_x). Da darf man in der Induktionsvoraussetzung dann halt nicht verlangen, dass sich die p_i zu 1.0 addieren müssen, sondern macht das allgemein für alle Konstanten aus dem Intervall (0..1]. Das deckt dann die echte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit ab und alle anderen Fälle, die man im Beweis braucht.)

Dann berechne ich das px, das minimale Gesamtentropie ergibt, das dann 1/(n+1) sein sollte, schreib alles in die gleiche Summe und habe den Summenterm für n+1, der dann bewiesenermassen maximal/minimal und gleichverteilt ist.

Nun braucht man nur noch den Induktionsanfang mit einem einzigen Mikrozustand, also n=1, der ist trivialerweise gleichverteilt, oder wenn man den nicht mag, n=2.

Ich schreib das nun aber nicht alles hier hin, weil es im Forum nicht sonderlich Spass macht, mit Indices und Summen rumzuwerkeln, bin mir aber sicher, das es klappt, hab's grösstenteils auf Papier.

Ausserdem wollte ich eigentlich "Contact" schauen.


P.S.: Vielleicht beweist man das normalerweise anders, aber ich kann halt nur das benutzen, was ich kenne/mir einfällt.

[Hamilton]

S = Σ -p(i) ln(p(i))
dS/di =Σ -dp(i)/di ln(p(i))-dp(i)/di =0

Ist auch erfuellt wenn alle Summanden gleich Null sind :
dp(i)/di ln(p(i))+dp(i)/di =0 (Kettenregel beim ln kuerzt p(i))
dp(i)/di*(ln(p(i))+1)=0
dp(i)/di=0 => p(i)=konstant
******************
(ln(p(i))+1)=0 waere auch konstant

Ich meine die Rechnung liefert nur zufaellig das Ergebnis
Der Ansatz dS/di=0 scheint mir nicht richtig.
Man muesste die Variationsrechnung anwenden
__________________

WTF? Leitest du da nach dem Index ab, oder was?

[Hamilton]

Ich hab das nicht umsonst hier reingestellt- es ist eine Extremwertaufgabe, die sich mit Lagrange lösen lässt.

Dazu überlege man sich, welche Funktion man maximieren will- also S
und dann überlege man sich die Nebenbedingung.
Diese gilt generell für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Wenn man das hat, benutze man Lagrange um auf die Lösung zu gelangen.