Photon am Ereignishorizont

[SCR]

Hallo rene,

Zitat von rene

f_t = 1.00000000069637

[1] Mit Erdradius 6.356.775 m komme ich auf f_t = 1,0000000006979 -> Sollte passen.

Wie muß ich das Ergebnis interpretieren: Wenn auf der Erde eine Sekunde vergeht, vergeht für den ca. 1 LJ entfernten Astronauten ...?

Hallo EMI,

Zitat von EMI

Δfg/fo = (GeR³/r²c²)*(1-(R/r))
Setze dein r da ein und rechne mal schön selbst.

Ob da bei mir was bei rauskommt?
[2] Mein Ergebnis mit der Formel Δfg/fo[SIZE=2] = (GeR³/r²c²)*(1-(R/r)) lautet auf jeden Fall: Δfg/fo = 2,80374E-22

[3] Bei Anwendung der Formel Δfg/fo = (GM/rc²) - (GM/Rc²) erhalte ich mit meinen Werten Δfg/fo = 6,97897E-10

Bei [3] stimmen "die Stellen nach dem Komma" mit der Berechnung von rene [1] (unter Berücksichtigung geringfügig anderer Erdradius) überein.

Das Delta beider Frequenzen (und damit ihre Abweichung voneinander) beträgt also etwa 10^-10 (?) ... Hmm .

Das lässt nur einen Schluß zu: Ich kann nicht nur schlecht rechnen ... .

[EDIT:] ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ich hab's jetzt einmal "auf SL" gerechnet:

[A] Mit R(Erde)=rs (rs=2GM/c²) erhält man:
[A1] f_t = 1,5
[A2] Δfg/fo = 7,62434E-49
[A3] Δfg/fo = 0,5

[B] Mit R(Erde)=rg (rg=GM/c²) erhält man:
[B1] f_t = 2
[B2] Δfg/fo = 9,53043E-50
[B3] Δfg/fo = 1

* [A1]/[A3] und [B1]/[B3] liefern inhaltlich die gleichen Ergebnisse.
* Und so verdammt runde Werte am rs und am rg - Da vermutet man doch sofort selbst "Da haste Dich verrechnet!"
* Der Schwarzschildradius = EH ... und danach kommt nichts mehr ... Anscheinend doch: rg
* Und ganz nebenbei nix zu sehen von ∞ ...

Aber darüber kann ich mir morgen auch noch 'nen Kopf machen ->



[/EDIT] ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[EMI]

Zitat von SCR

Das Delta beider Frequenzen (und damit ihre Abweichung voneinander) beträgt also etwa 10^-10 (?) ... Hmm .

Zitat von rene

Ja klar, da sich g in Abhängigkeit zur Entfernung ändert

Zitat von EMI

Berücksichtigst Du noch, dass die Schwere von der Höhe H abhängig ist

Gruß EMI

PS: Das sind Formeln für schwache grav.Felder SCR

[SCR]

Hallo EMI,

Zitat von EMI

PS: Das sind Formeln für schwache grav.Felder SCR

Ja, habe es inzwischen selbst bemerkt - obwohl es ja vorher schon groß und breit dastand.

Und nu?

Ich muß mir Formel [2] noch einmal näher ansehen - Die sieht dahingehend ja noch am vielversprechendsten aus ...

Womöglich kann man ja gar keine quantitative Aussage zur grav. ZD treffen da die Objekte in gar keinem grav. Bezug zueinander stehen (E(pot)=0, ...). Dann ruhen sie einfach zueinander - und hätten nach SRT t'=t (?) - Soll jetzt aber (noch) keine These sein, muß da noch ein bißchen grübeln ...

P.S.: Selbst mit der Formel:
t' = c/a * ln(a*t/c + (1+(a*t/c)^2)^0,5)
- also einfach einmal "(Erd-)Beschleunigung" (a=g) versus "ruhend" -
komme ich für t = 1 s "nur" auf t' = 0,999999996343711 s

[rene]

Hallo SCR

Für starke Gravitationsfelder mit einer gekrümmten Raumzeit kann die flache Raumzeit Newtons nicht mehr angewendet werden, was für hinreichend schwache Gravitationsfelder asymptotisch möglich ist, worauf EMI bereits hingewiesen hat.

Für nicht-rotierende Neutronensterne, schwarze Löcher oder Raum-/Zeitgebiete in der Nähe des Schwarzschildradius’ kann die kugelsymmetrische Schwarzschild-Metrik angewendet werden. Jedoch ohne Computerunterstützung für die numerische Berechnung der Integrale (für die es leider keine geschlossene analytische Lösung gibt) wirst du dies nicht nachrechnen können.

Ich rechne dir gerne ein von dir gegebenes spezielles Beispiel aus, sofern du dir ein solches wünschst.

Grüsse, rene

[SCR]

Hallo rene,

Zitat von rene

Ich rechne dir gerne ein von dir gegebenes spezielles Beispiel aus, sofern du dir ein solches wünschst.

Danke für das Angebot - Ich würde das sehr gerne annehmen:
Ich denke da an ein Beispiel mit zwei Massen und x Astronauten (Damit g auch sicher Null wird ): Ich mache es noch rund und stelle es dann einmal hier rein.

Zitat von rene

Für nicht-rotierende Neutronensterne, schwarze Löcher oder Raum-/Zeitgebiete in der Nähe des Schwarzschildradius’ kann die kugelsymmetrische Schwarzschild-Metrik angewendet werden. Jedoch ohne Computerunterstützung für die numerische Berechnung der Integrale (für die es leider keine geschlossene analytische Lösung gibt) wirst du dies nicht nachrechnen können.

Na ja - Ein Ergebnis zu haben ist zwar schön, es nachvollziehen zu können wäre aber auch nicht schlecht.
Ich bin gerade dabei einmal eine Näherungslösung zu basteln - Wäre nett wenn Du, EMI oder jemand anderes da dann einmal drüber schauen könnte was ich da dann verbrochen habe.

[SCR]

Hallo rene,

hier das konkrete Beispiel:
Wir nehmen zwei SL von der Masse der Erde an:
- M(Erde) = 5,974E+24 kg
- G = 6,67428E-11 m³/(kg*s²)
- rs(Erde) = 0,00887274970165724 m

Die Positionen der beiden SL im Raum übertragen auf eine 2D-Riemann-Geometrie sollen sein: 0°E 90°N und 0°E 90°S
Umfang der (Raum-)Kugel: 4 Billionen Kilometer
(-> Abstand der beiden SL 2 Billionen Kilometer)

Vier Astronauten (Falls Du eine Masse brauchst: je 100 kg) befinden sich weiterhin an den Positionen:
0°E 0°N, 90°E 0°N, 180°E 0°N, 90°W 0°N.

Der Abstand aller jeweils benachbarten Objekte sollte demnach nun überall 1 Mio km betragen.

Anmerkung: Diese Anordnung dient alleinig dazu
a) eine stabile Ruhelage aller Massen zueinander
b) ein g=0 an den Positionen der Astronauten
zu erzielen.

Denn eigentlich interessiert mich jetzt berechnungstechnisch nur die ZD eines der vier Astronauten zum EH eines der beiden SLs.

Ich hoffe meine Ansprüche sind nicht zu hoch / es bereitet nicht zuviel Arbeit.
Ansonsten lass' es sein: Davon geht die Welt schließlich auch nicht unter.

Zum Thema "Näherungslösung":

Erst einmal einen Überblick verschaffen ...:
Höhenabhängigkeit der Erdschwerebeschleunigung 1
Höhenabhängigkeit der Erdschwerebeschleunigung 1

... und "ein Gefühl" für die Problematik entwickeln:


(Kritik gerne!)

[EMI]

Zitat von SCR

(Kritik gerne!)

Solch eine Durchrechnung scheint nicht gerechtfertigt, da hier Gebrauch vom Newtonschen Gravitationsgesetz gemacht wurde, dessen Anwendung gemäß der ART nur in erster Näherung zulässig ist.

Gruß EMI

[SCR]

Ja EMI, das wird einfach nix: Laut Newton müsste nach oben stehender Tabelle der EH ja auch bei etwa 1.153,25 m liegen ... Blöder Newton .

@rene: Ich hätte da auch noch das Beispiel des entfernten Beobachters, dessen Entfernung genau auf das Raumwachstum abgestimmt ist, sodass er stets seine Ruhelage behält - Ich werde die Eckdaten einmal zusammenstellen ...

[SCR]

Zitat von SCR

Laut Newton müsste nach oben stehender Tabelle der EH ja auch bei etwa 1.153,25 m liegen ...

Ausgangswerte waren:
I. G: Ist eine Konstante -> An der kann es nicht liegen.
II. M: Masse der Erde. Masse ist relativistisch -> Wird die Masse größer wenn sich ein SL bildet (abhängig von g)?
III. R: Radius / Höhe über dem grav. Zentrum. Entfernungen/Längen sind auch relativistisch -> Haben wir auch im G-Feld eine Längenkontraktion (abhängig von g)?
Oder beides (II. + III.)?
Aber II. wäre doch sogar eher "kontraproduktiv" (?) -> Also doch (nur) III.?

[EDIT:]
Berechnet man g "nach Newton" gemäß oben stehender Tabelle für R = 1.153,277 m erhält man ein g von 299.780.344 m/s².
Wendet man die SRT-Längenkontraktion auf ein v = 299.780.344 m/s an erhält man
R' = R*(1- v²/c²)^0,5 = 0,008989553 m
Das sieht doch auf Anhieb (zum Vergleich: rs=0,008872766 m) gar nicht einmal so schlecht aus ...
Hmmm. Aber Längenkontraktion in der ART? Frevel - Da kriege ich doch bestimmt gleich wieder eins zwischen die Hörner!
[/EDIT]

[rene]

Hallo SCR

Könntest du ein konservativeres Beispiel nennen, das nicht gleich von einem Beobachter am Ereignishorizont ausgeht? Dort entsteht eine Koordinatensingularität und hat eine unendliche Zeitdilatation zu einem feldfreien Beobachter zur Folge (Division mit Null).

Der feldfreie Beobachter lässt sich auch in quasi unendlicher Entfernung realisieren. Der zweite Beobachter im Gravitationspotential sollte wenigstens einen gewissen Abstand zum Ereignishorizont aufweisen, um das Beispiel durchzurechnen.


Ich stricke jetzt mal selber eines:

Auf einem Neutronenstern der 1.4fachen Sonnenmasse mit einem Radius von 10km befindet sich ein Turm von 100m Höhe (feldfreie Längenangaben). Wie gross ist die Zeitdilatation zwischen den Beobachtern auf der Oberfläche und auf der Turmspitze?

Man könnte jetzt auch noch die Zeitdilatationen der Turmbeobachter A und B aus Sicht eines feldfreien Beobachter C mit r3->∞ausrechnen. Das Prinzip ist das gleiche.


restart; Digits:=20;
M:=1.4*1.989e30; G:=6.67428e-11; c:=299792458;
a:=G*M/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r1:=10000;r2:=10100;

# Newton-Potential:

dE_pot:=-m*M*G*(1/r2-1/r1)

Zeitdilatationsfaktor :

f_t := 1 + M*G*(1/r2-1/r1) / c^2 ;

f_t = 1.0020474 (Newton-Näherung)




# Schwarzschild-Metrik:

with (linalg):

g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-r_s/r),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-r_s/r)),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r,r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=r1..r2)]);

r:=r1;

x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);

x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);


t_S1:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S1:=eval(x_mu_S[2,1]);


r:=r2;

x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]);

x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu);


t_S2:=eval(x_mu_S[1,1]);
r_S2:=eval(x_mu_S[2,1]);

dt:=(t_S2-t_S1)/(t_S1+t_S2)*2;


Zeitdilatationsfaktor:

f_t := 1+dt

f_t = 1.0034792 (Schwarzschild-Lösung)


Man sieht sofort, dass die Newton-Näherung die Schwarzschild-Lösung unterschätzt.

Noch eine Anmerkung zur Längenkontraktion der ART: Die hängt insbesondere davon ab, von wo aus (von welcher Schale) eine Strecke gemessen wird. Vermesse ich eine Strecke von oben (äussere Schale) z.B über die Lichtlaufzeit eines Laserstrahls, erhalte ich ein kürzeres Streckenintervall als wenn ich dieses von unten (innere Schale) vermesse, weil ich mit lokal fixierten Meterstäben und Uhren ein Raum-/Zeitgebiet unterschiedlicher Krümmung vermesse; und ich erhalte nochmal ein anderes Streckenintervall für einen Beobachter, der die Strecke abwandert und sie mit hintereinander gelegten Meterstäben ausmisst.

Am Beispiel des Turms ergeben sich die Beträge:

130.3574m über hintereinander gelegte Meterstäbe
169.6364m von oben gemessen über die Lichtlaufzeit
170.2276m von unten gemessen über die Lichtlaufzeit


Grüsse, rene