Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum - Seite 10

SCR · #91 26.03.10, 11:38

Der Thread gefällt mir: Ich habe mir auf Basis Eurer aktuellen Infos noch einmal ein paar Stellen der ART durchgelesen und verstehe auf Anhieb wieder etwas mehr.
Denke ich zumindest

.

Wo ich aber grundsätzlich immer noch am Knobeln bin: Das "Zeit-Element".

Zitat:

Zitat von AE

X1, X2, X3 seien die räumlichen Koordinaten; X4 die zugehörige, in geeignetem Maßstab gemessene1) Zeitkoordinate. [...]
------------
1) Die Zeiteinheit ist so zu wählen, daß die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit - in dem "lokalen" Koordinatensystem gemessen - gleich 1 wird.

Warum hat das Zeit-Element im metrischen Tensor ein entgegengesetztes Vorzeichen zu den Raum-Elementen?

EMI · #92 26.03.10, 14:56

Zitat:

Zitat von SCR

Warum hat das Zeit-Element im metrischen Tensor ein entgegengesetztes Vorzeichen zu den Raum-Elementen?

Die Invarianzbeziehung für das Quadrat des Weltlinienelements:

ds² = dx1²+dx2²+dx3²+dx4² = dx'1²+dx'2²+dx'3²+dx'4² = inv.

stellt man mit:

dx4² = (i c dt)² = -c²dt² und dx'4² = -c²dt'²

in der Form (Lorentztrafo):

dx1²+dx2²+dx3²-c²dt² = dx'1²+dx'2²+dx'3²-c²dt'²

dar. Die beiden Seiten der Gleichung stellen Lichtkugeln mit den Radien ct bzw. ct' dar, deren Mittelpunkte im Koordinatenursprung liegen.
Wir können daher schreiben:

x1²+x2²+x3²=ct² und x'1²+x'2²+x'3²=ct'²

Die Überlegung dazu:
Im Moment wo die Ursprünge der Systeme S und S' mit der Relativgeschwindigkeit v zusammenfallen, wird ein Lichtsignal ausgesandt.
Beobachter in den Nullpunkten von S und S' stellen wegen der Konstanz von c fest, dass sich das Licht um beide Ursprünge auf einer Kugeloberfläche ausbreitet,
die für S und S' die obige Gleichungen erfüllt.

Die Metrik der Welt ist durch das invariante Linienelement gegeben.
In der ART wird das Linienelement verallgemeinert. Beim Übergang von S zu S' ist auch die kugelförmige Ausbreitung der Lichtwellen invariant.
Das bedeutet, dass die Lichtkugel durch die Lorentztrafo nicht in einen Lichtellipsoid verwandelt wird sondern erhalten bleibt.

Gruß EMI

Uli · #93 26.03.10, 17:58

Zitat:

Zitat von SCR

Der Thread gefällt mir: Ich habe mir auf Basis Eurer aktuellen Infos noch einmal ein paar Stellen der ART durchgelesen und verstehe auf Anhieb wieder etwas mehr.
Denke ich zumindest

.

Wo ich aber grundsätzlich immer noch am Knobeln bin: Das "Zeit-Element".

Warum hat das Zeit-Element im metrischen Tensor ein entgegengesetztes Vorzeichen zu den Raum-Elementen?

Weil die invariante Länge im Minkowskiraum
(ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2
ist und nicht
(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2

Folgt aus der Invarianz von c. So ist im besonderen der so definierte Minkowski-Abstand 2er beliebiger Weltpunkte eines Lichtstrahls immer gleich 0.

Gruß,
Uli

SCR · #94 26.03.10, 22:33

Danke - Nachvollziehbar.

Und im wiki steht auch noch eine Begründung dazu:
http://de.wikipedia.org/wiki/Raumzei...nkowski-Metrik
http://de.wikipedia.org/wiki/D%E2%80%99Alembertoperator

@zg: Die Links sehen sehr gut aus - Die pfeif' ich mir erst einmal rein

.

Und nebenbei:

Zitat:

Zitat von EMI

x1²+x2²+x3²=ct² und x'1²+x'2²+x'3²=ct'²

Oder auch
4Πx1²+4Πx2²+4Πx3²=4Πct² und 4Πx'1²+4Πx'2²+4Πx'3²=4Πct'² - Aber das soll jetzt nicht weiter interessieren.

zeitgenosse · #95 27.03.10, 03:06

Zitat:

Zitat von EMI

Die Metrik der Welt ist durch das invariante Linienelement gegeben.

Exakt.

Bei einem Übergang von einem Inertialsystem K in ein zweites K' bleibt das vierdimensionale Wegelement ds invariant.

Um die Zeit als gleichwertige Weltdimension zu erhalten, wird t mit c multipliziert (T*L/T = Dimension einer Länge).

Für ein Wegelement ds gilt im euklidischen Raum:

ds = √(x² + y² + z²)

Legt nun das Licht (c = const.) ein Wegelement ds in der Zeit dt zurück, gilt:

r² - (ct)² = 0

bzw.

- c²t² + dx² + dy² + dz² = 0

Mit dieser Notation werden die Koordinaten x, y, z positiv und ct negativ gewertet. Es liegt eine pseudo-euklidische Geometrie vor.

Dasselbe Ergebnis erzielt man durch Minkowskis Kunstgriff einer imaginären Zeitkoordinate:

(ict)² = (√-1)² * (ct)² = -1(ct)² = -c²t²

In einer gekrümmten Raumzeit (Riemannsche Mannigfaltigkeit) gilt hingegen:

ds² = g_ik dx^i dx^j

g_ik ist der inzwischen bekannte metrische Tensor mit den Diagonalelementen {-1, 1, 1, 1}.

Damit nun müsste auch SCR zufrieden sein.

Gr. zg

EMI · #96 27.03.10, 03:38

Zitat:

Zitat von zeitgenosse

Damit nun müsste auch SCR zufrieden sein.

Wenn ja, wäre das diesmal ja wirklich schnell gegangen.

Er pfeift sich ja z.Zt. deinen Link rein.
Hilft hoffentlich, wenn's man schon nicht im Kopf hat.

Gruß EMI

SCR · #97 27.03.10, 06:40

Das ist erst einmal "meine" aktuelle Zusammenfassung des Fundamentatensors:

Er stellt in dieser Form diag(1;1;1;-1) eine qualitative Berücksichtigung der
- Relativität der Gleichzeitigkeit wegen max = c (das negative Vorzeichen beim Zeitelement resultiert daraus, dass im jeweils anderen Koordinatensystem das korrespondierende Ereignis xyzt bzw. x'y'z't' zeitlich früher stattgefunden haben muß wenn ich es jetzt im "lokalen" Koordinatensystem "sehe")
- Ansonsten ist das Ganze grundsolide

räumlich euklidisch ("Umrechnungs-Faktoren" 1 auf der Diagonalen, 0 bei den "nicht-identischen" Dimensionen -> keine dimensionsübergreifende Beziehungen).

Der Rest resultiert aus der Wegelement-Formel. Gibt's zu der eigentlich auch eine Herleitung?

(EDIT: Ich vermute Pythagoras)

Die Vorzeichen müssten sich eigentlich unter bestimmten Umständen "rumdrehen" / "wechseln" - Hmm. 'Mal sehen.

Ach ja - Dann bei der ART.