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Wissenschaftstheorie und Interpretationen der Physik Runder Tisch für Physiker, Erkenntnis- und Wissenschaftstheoretiker

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  #1  
Alt 18.10.16, 09:02
fossilium fossilium ist offline
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Standard quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Hi zusammen,

ihab eine Frage und bitte Euch, sie mir zu beantworten: es geht um quantenmechanische Objekte und Verschränkung.

Bisher konnte im Kontext philosophischer Überlegungen zur Verschränkung keine konsistente Deutung der zugehörigen Theorie gefunden werden (Verletzung der Lokalität, Kausalität, Realität oder Logik). Ich versuche nachstehend eine konsistente Deutung der Theorie, indem ich die Verwendung üblicher komplizierter physikalischer Begriffe vermeide (Teilchen, Zustand, Welle usw.).

Ich bezeichne ein real existierendes physikalisches Objekt, das nicht mit den Formeln klassischer Theorien beschrieben werden kann, als quantenmechnisches Objekt (qm Objekt).

Das qm Objekt soll ein Objekt der Realität außerhalb von uns sein. Eine nähere Bestimmung hat das Objekt allerdings nicht. Es soll also n i c h t eine Welle oder ein Teilchen sein, sich auch nicht in irgendeinem bestimmten oder unbestimmten Zustand befinden. Das Objekt ist nur ein reales Objekt, das nicht anschaulich beschreibbar ist, sonst nichts, es befindet sich auch nicht in irgendwelchen Zuständen. Ich setze also keine „Eigenschaften“ voraus – es ist ein reales Objekt ohne nähere Bestimmung. Das sich durch das Vakuum ausbreitende Licht kommt ihm nahe.

Allerdings kann man dem Objekt unter bestimmten Bedingungen ein Phi als Lösung der Schrödingergleichung zuordnen – mehr aber auch nicht.

Wenn ein solches qm Objekt, egal was es aus metaphysischer Sicht darstellt, und egal wie bestimmt oder unbestimmt es ist, mit einem Meßgerät wechselwirkt, dann erhalte ich einen Meßwert. Ich kann daher jedem qm Objekt zu den Zeitpunkten v o r einer solchen Messung Möglichkeiten für einen Meßwert zuordnen. Ich betrachte nun qm Objekte, die bei einer Wechselwirkung mit einem Meßgerät einen Drehimpuls h/2 übertragen – ich nenne sie Spin-1/2-Objekte. Dann kann ich diesen qm Objekten zu den Zeitpunkten vor der Messung des Spins immer zwei sich gegenseitig ausschließende Möglichkeiten für ein zukünftiges Meßergebnis zuordnen: Spin up- oder Spin down. Beide Möglichkeiten können im Zuge der Messung zur Realität werden, aber immer nur eine allein, nicht beide gleichzeitig, und bei sehr vielen Messungen solcher gleichartiger qm Objekte wird im Mittel jede der beiden Möglichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 Realität werden.

Zwei qm Objekte können – so die Theorie - sich so miteinander verbinden, daß wir danach jedem einzelnen von Ihnen k e i n e Möglichkeiten mehr für einen Meßwert zuordnen können, sondern nur noch dem aus den beiden Objekten bestehenden Ganzen (Verschränkung).

Jetzt betrachten wir mal ein Experiment mit so zwei verschränkten Spin-1/2-Objekten. Die Objekte werden - beobachtbar - von einer Quelle emittiert und bewegen sich voneinander fort, sie sollen aber hinsichtlich ihres Spins verschränkt sein. Man kann, so sagt die Theorie, solange die Spinzustände verschränkt sind, nicht den Spin der einzelnen Objekte messen. Nur den Spin des Gesamtsystems kann man messen. Man kann also dem Gesamtsystem zu allen Zeitpunkten vor der Spinmessung wieder zwei sich ausschließende Möglichkeiten für einen Meßwert zuweisen, nämlich spin „up“ oder spin „down“ - weil man bei einer Messung am Gesamtssystem keine anderen Spin-Werte erhalten kann, als bei einer Messung an seinen Bestandteilen, wenn diese getrennt vorliegen. Die Möglichkeitsmenge für ein Meßergebnis, die vor der Verschränkung jedem seiner beiden Bestandteile getrennt zugekommen ist, kommt nun dem Gesamtsystem allein zu.

Nach diesen Vorbetrachtungen lasse ich nun das so verschränkte qm Gesamtsystem - dem wie gesagt zwei sich ausschließende Möglichkeiten für einen Spin-Meßwert zugeordnet sind -, mit einem Meßgerät wechselwirken.

Eine Spinmessung setzt in diesem Fall natürlich eine Ortsmessung voraus.
Ich erhalte dann z.B. am Ort des qm Objektes 1 den Spinwert „up“ für das Gesamtsystem. Die Möglichkeit, Spin „up“ zu messen, ist damit Realität geworden. Sie ist damit automatisch aus der Menge an Möglichkeiten für einen Meßwert des Gesamtsystem ausgeschieden. Diese Möglichkeit existiert in der Möglichkeitsmenge für das Gesamtsystem nicht mehr.

Die Möglichkeitsmenge bestand vor der Messung aber aus z w e i Möglichkeiten eines Spin-Meßwertes: Spin „up“ und Spin „down“. Wenn die Möglichkeit für eine Spin-„up“-Messung aus der Möglichkeitsmenge ausgeschieden ist, dann ist in der Möglichkeitsmenge nur noch e i n e Möglichkeit für einen Meßwert vorhanden: die Möglichkeit für einen Meßwert Spin „down“. Bei einer weiteren Messung am Gesamtobjekt, die nur am Ort des Objektes 2 stattfinden kann, wird man immer den Spin-Wert „down“ erhalten. Nicht weil die beiden Objekte über irgendeine Ausbreitungsstrecke korreliert sind, sondern weil es bei einer Messung am Gesamtsystem eben nur noch diese eine Möglichkeit für einen Meßwert gibt. Gibt es nur eine Möglichkeit, wird diese aus rein logischen Gründen Realität.

Was will ich damit sagen ? Ich versuche die in der Wirklichkeit stattfindende Ausbreitung eines verschränkten Systems und das Ergebnis einer Spin-Messung an dem System so zu beschreiben, daß die Grundannahmen Lokalität, Kausalität, Realität und Logik nicht beeinträchtigt sind. Ich beschreibe dabei das, was in der Wirklichkeit stattfinden könnte - also keine modellhafte Beschreibung, sondern eine widerspruchsfreie (metaphysische) Beschreibung – also eine Deutung der Theorie.

Die Wahrung von Lokalität, Kausalität und Realität ist bei dieser Beschreibung meines Erachtens gewährleistet.

Meine Frage ist nun: bin ich bei meiner metaphysischen Beschreibung irgendwo in Widerspruch zu physikalischen Erkenntnissen geraten ?

Grüße
Fossilium
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  #2  
Alt 18.10.16, 13:57
Ich Ich ist offline
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Zitat:
Zitat von fossilium Beitrag anzeigen
Nur den Spin des Gesamtsystems kann man messen. Man kann also dem Gesamtsystem zu allen Zeitpunkten vor der Spinmessung wieder zwei sich ausschließende Möglichkeiten für einen Meßwert zuweisen, nämlich spin „up“ oder spin „down“ - weil man bei einer Messung am Gesamtssystem keine anderen Spin-Werte erhalten kann, als bei einer Messung an seinen Bestandteilen, wenn diese getrennt vorliegen.
Das ist Unsinn. Das Gesamtsystem hat (als Summe zweier Spin 1/2) einen intrinsischen Spin von entweder 0 (1/2 - 1/2) oder 1 (1/2 +1/2). Kommt darauf an, wie es präpariert ist.
Eine Messung des Spins des Gesamtsystems in eine bestimmte Richtung ergibt im ersten Fall immer 0. Im zweiten Fall kann -1, 0 oder 1 rauskommen.

Geändert von Ich (18.10.16 um 14:10 Uhr)
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  #3  
Alt 18.10.16, 16:51
Hawkwind Hawkwind ist offline
Singularität
 
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Zitat:
Zitat von fossilium Beitrag anzeigen
...
Jetzt betrachten wir mal ein Experiment mit so zwei verschränkten Spin-1/2-Objekten. Die Objekte werden - beobachtbar - von einer Quelle emittiert und bewegen sich voneinander fort, sie sollen aber hinsichtlich ihres Spins verschränkt sein. Man kann, so sagt die Theorie, solange die Spinzustände verschränkt sind, nicht den Spin der einzelnen Objekte messen. ...
Sagt die Theorie das wirklich?
Nach meinem Verständnis kannst du schon den Spin eines der Teilchen messen. Aufgrund der Verschränkung kennst du dann den Spin des anderen Teilchens, ohne ihn zu messen. Den Gesamtspin des kombinierten Systems kennst du ja sowieso, auch ohne überhaupt irgendetwas zu messen ... eben aufgrund der Verschränkung, z.B. Gesamtspin=0 wegen Drehimpulserhaltung, weil die Objekte aus dem Zerfall eines Elternobjektes mit Spin 0 stammen.
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  #4  
Alt 18.10.16, 20:19
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
Singularität
 
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Nein, die Theorie sag das natürlich nicht.

Die Aussage, der Spin einzelner Objekte sei nicht messbar, solange diese verschränkt sind, ist falsch. Richtig ist, dass die beiden Objekte nur solange verschränkt bleiben, bis der Spin eines einzelnen Objektes gemessen wird.
__________________
«while I subscribe to the "Many Worlds" theory which posits the existence of an infinite number of Toms in an infinite number of universes, I assure you that in none of them am I dancing»
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  #5  
Alt 18.10.16, 22:56
fossilium fossilium ist offline
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Das ist Unsinn. Das Gesamtsystem hat (als Summe zweier Spin 1/2) einen intrinsischen Spin von entweder 0 (1/2 - 1/2) oder 1 (1/2 +1/2). Kommt darauf an, wie es präpariert ist.
Eine Messung des Spins des Gesamtsystems in eine bestimmte Richtung ergibt im ersten Fall immer 0. Im zweiten Fall kann -1, 0 oder 1 rauskommen.
Bist Du sicher ? Ich sprach von einem verschränkten System, keinem Gemisch.
Danach sollte der Spinzustand des verschränkten Systems nicht aus der den Spinzuständen seiner Teile erklären lassen. Ich bin mir aber nicht sicher, was diese Behauptung im vorliegenden Fall genau bedeutet.

Was meinst Du mit "hat einen Spin". Ist ein System aus zwei verschränkten Spin-1/2-Objekten immer in einem Eigenzustand ? - Ich bin versuche alle Begriffe wie "haben", "Zustand" usw. zu vermeiden, weil sie nie wirklich passen. Die von mir gestellte Frage war: welche Möglichkeiten für einen Meßwert sind zu erwarten, nicht welche Spinwerte das Objekt "hat". Ich denke aber Du meinst, man mißt am verschränkten Objekt immer eine Drehimpulsübertragung 1h, 0h, oder -1h - oder ? Das heißt zunächst, dem verschränkten System kann ich drei Möglichkeiten für einen Meßwert zuordnen.

Grüße Fossilium

Geändert von fossilium (18.10.16 um 23:33 Uhr)
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  #6  
Alt 18.10.16, 23:11
fossilium fossilium ist offline
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Nein, die Theorie sag das natürlich nicht.

Die Aussage, der Spin einzelner Objekte sei nicht messbar, solange diese verschränkt sind, ist falsch. Richtig ist, dass die beiden Objekte nur solange verschränkt bleiben, bis der Spin eines einzelnen Objektes gemessen wird.
Hi Tom,
es geht hier um die Beschreibung eines qm Objektes, das verschränkt ist. Die Frage ist, ob ich eine Messung an diesem verschränkten System vornehmen kann oder nicht. Wenn nicht, kann ist dieses grundsätzlich nicht beobachten - wir haben es dann mit einem Objekt zu tun, das sich durch Wirkung in der realen Welt nicht äußert. Man kann dann von einem physikalischen Objekt eigentlich nicht mehr sprechen.

Falls ich eine Messung an einem verschränkten Objekt nur dadurch vornehmen kann, indem ich eine bis zur Messung unbestimmte Eigenschaft eines der Teile, aus denen es sich zusammensetzt, messe, dann wird meine Beschreibung notwendigerweise in einen logischen Widerspruch geraten: ein verschränktes Objekt hat keine vermeßbaren Teile, eben weil verschränkt ist.
Man kommt so aus der Frage, kann ich ein verschränktes Objekt vermessen, nicht heraus.

Ich muß aus diesen Gründen davon ausgehen, daß ich eine Messung an einem verschränkten Objekt durchführen kann, und daß ich einen Messwert, der den Zustand des verschränkten Systems nach der Messung kennzeichnet, auch erhalte.

Der Sachverhalt muß doch logisch einwandfrei beschreibbar sein.

Wenn die beiden Objekte nur so lange verschränkt bleiben, bis der Spin eines einzelnen Teilchens gemessen wird, bedeutet das nicht, daß die Aussage, der Spin der Teile des verschränkten Objektes sei nicht meßbar, falsch ist ! Bitte bei den Implikationen korrekt bleiben.

LG Fossilum

Geändert von fossilium (18.10.16 um 23:28 Uhr)
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  #7  
Alt 19.10.16, 08:31
Ich Ich ist offline
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Zitat:
Zitat von fossilium Beitrag anzeigen
Bist Du sicher ? Ich sprach von einem verschränkten System, keinem Gemisch.
Du sprachst vom "Spin des Gesamtsystems". Und der kann 0 oder1 sein, wie z. B. bei Mesonen. Siehe auch "Multiplizität".
Zitat:
Danach sollte der Spinzustand des verschränkten Systems nicht aus der den Spinzuständen seiner Teile erklären lassen. Ich bin mir aber nicht sicher, was diese Behauptung im vorliegenden Fall genau bedeutet.
Tja, das weiß ich auch nicht, weil ich nicht weiß, wo du das her hast. Gesamtspin 0 bedeutet jedenfalls, dass die beiden Einzelspins gegensätzlich ausgerichtet sind, dass also beim zweiten Teilchen "down" rauskommt, wenn das erste "up" hatte. Bei Gesamtspin 1 sind sie gleich ausgerichtet, es kommt also entweder bei beiden "up" oder bei beiden "down" raus. Es macht also einen Unterschied, ob du das System misst oder seine Bestandteile, weil das Gesamtsystem auch noch die Option "weder uo noch down" hat.
Zitat:
Ich denke aber Du meinst, man mißt am verschränkten Objekt immer eine Drehimpulsübertragung 1h, 0h, oder -1h - oder ? Das heißt zunächst, dem verschränkten System kann ich drei Möglichkeiten für einen Meßwert zuordnen.
Ich weiß nicht, was du mit "Drehimpulsübertragung" meinst. Wenn du ein solches System, ohne es auseinanderzureißen, in einen Stern-Gerlach-Versuch gibst, dann siehst du entweder einen Punkt oder 3, abhängig vom Gesamtspin. Das sind die möglichen Spinausrichtungen des Systems. Wenn du es auseinander reißt, siehst du für die Einzelteile 2 Punkte.
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  #8  
Alt 19.10.16, 20:20
fossilium fossilium ist offline
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Hallo Ich,

ich verstehe Dich, und sehe die Sache jetzt auch klarer. Mein Problem ist aber, daß deine Form der Darstellung – wie sie ja gängig ist - nicht widerspruchsfrei ist: soweit ich weiß, ist ein verschränktes System ein Objekt, bei dem man keine Aussagen über die Einzelteile machen kann. Die Individualinformation ist über alle Teile verschmiert. Jedes Teil trägt Informationen über alle anderen und wenn ich an einem Teil messe, hat dies instantan Auswirkungen auf alle anderen. So ist es üblicherweise in hundert Varianten in allen Lehrbüchern zu lesen.

Kannst Du dann hingehen und die Information über das Gesamtsystem aus den Individualinformationen seiner Teile konstruieren ? Du sagst: wenn das eine Teilchen so ist, und das andere so – dann ist das System so. Du referierst auf Individualeigenschaften der Teile, aber es gibt keine Teile mit Individualeigenschaften.

Auch der Kommentar von TomS birgt einen Widerspruch in sich: wenn ich den Spin des verschränkten Systems messen will, und ich dies nur an einem der Teile tun kann, wenn das System zerfallen ist, ja dann kann ich keine Messung am System mehr machen, weil das verschränkte System, an dem ich messen will, ja zerfallen ist und nicht mehr existiert. Messe ich aber an einem Teil allein, dann kann das Teil aus logischen Gründen nicht mit einem anderen verschränkt sein. Ist es aber, die Korrelation mit dem zweiten Teil ist ja bei der Messung am ersten Teil bekanntlich noch da – also doch nicht zerfallen. Also messe ich doch am verschränkten System.

Es ist schon ein Wiederspruch zu sagen: ich messe den Spin eines Teils eines verschränkten Systems. Es gibt keinen Spin von einem Teil. Man muß schon konsequent sein – es gibt nichts, was korreliert ist und gleichzeitig getrennt.

Ich möchte gerne eine Beschreibung finden, die widerspruchsfrei ist. Daher möchte ich überhaupt nicht auf Teile, Zustände, usw. referieren. Ich will nur die Meßergebnisse im Blick haben. Man kann letzendlich sehr einfach die Theorie interpretieren, indem man sagt: ein verschränktes System bestehend aus zwei Spin 1/2 – Teilchen ist ein System, dem ich immer nur zwei Möglichkeiten für einen Meßwert zuordnen kann – die Alternative up oder down. Die gleiche Möglichkeitsmenge wie für ein Spin ½ -Teilchen allein. Das bedeutet, daß die Theorie nicht einen Zustand beschreibt, sondern Meßmöglichkeiten. Diese Sichtweise hat große Konsequenzen, auf die wir a ber jetzt nicht eingehen müssen.

Ich habe versucht, die Beschränkung auf die beiden Möglichkeiten für einen Meßwert aus den Eigenarten des verschränkten Systems selbst zu konstruieren. Du sagst nun – nein eine Messung am verschränkten System führt zu vier Ergebnissen, statt zwei. Ich dachte, wenn ich den Spin eines der korrelierten Teilchen messe, dann kann das nur up oder down sein, und dann ist der des anderen Teilchens instantan festgelegt, also down oder up. Ich kriege nicht vier Ergebnisse am korrelierten System, sondern nur zwei.

Vielleicht kriegst Du nur vier Ergebnisse beim Stern Gerlach Versuch, weil da gar keine Messung am verschränkten System stattfindet, sondern bereits an zerfallenen Systemen ?

Danke jedenfalls dafür, daß Du dich des leidigen Themas annimmst.

LG Fossilium
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  #9  
Alt 19.10.16, 20:30
fossilium fossilium ist offline
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Zitat:
Zitat von Hawkwind Beitrag anzeigen
Sagt die Theorie das wirklich?
Nach meinem Verständnis kannst du schon den Spin eines der Teilchen messen. Aufgrund der Verschränkung kennst du dann den Spin des anderen Teilchens, ohne ihn zu messen. Den Gesamtspin des kombinierten Systems kennst du ja sowieso, auch ohne überhaupt irgendetwas zu messen ... eben aufgrund der Verschränkung, z.B. Gesamtspin=0 wegen Drehimpulserhaltung, weil die Objekte aus dem Zerfall eines Elternobjektes mit Spin 0 stammen.
Hi Hawkwind,
das ist bestimmt richtig, wie Du schreibst, aber ich könnte daraus schließen, daß eine Korrelation garnicht existiert. Wenn ich den Spin des kombinierten Systems messen will, muß ich an einem seiner Teile eine Spinmessun g machen, zum Beispiel +1/2. Dann wäre der Spin des anderen Teils nicht durch Korrelation, sondern durch Drehimpulserhaltung auf -1/2 festgelegt.
LG Fossilium
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  #10  
Alt 20.10.16, 08:39
Ich Ich ist offline
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Standard AW: quantenmechanische Objekte + Verschränkung

Zitat:
Zitat von fossilium Beitrag anzeigen
ich verstehe Dich, und sehe die Sache jetzt auch klarer.
Das ist ja schon mal was.
Zitat:
Mein Problem ist aber, daß deine Form der Darstellung – wie sie ja gängig ist - nicht widerspruchsfrei ist: soweit ich weiß, ist ein verschränktes System ein Objekt, bei dem man keine Aussagen über die Einzelteile machen kann.
Ich muss hier mal präzisieren: "nicht widerspruchsfrei" bezieht sich auf das, was du bei deiner Lektüre der Lehrbücher verstanden hast, nicht auf "meine Form der Darstellung".
Zitat:
Die Individualinformation ist über alle Teile verschmiert. Jedes Teil trägt Informationen über alle anderen und wenn ich an einem Teil messe, hat dies instantan Auswirkungen auf alle anderen. So ist es üblicherweise in hundert Varianten in allen Lehrbüchern zu lesen.
Nun, hoffentlich meistens ohne die "instantanen Auswirkungen", das hört sich für mich zu sehr nach Kausalbeziehung an. Ich muss aber anmerken, dass ich mir beim besten Willen nicht vorstellen kann, du hättest hunderte (oder auch nur mehrere) Lehrbücher über Quantenmechanik gelesen. Multiplizität ist ein Einsteigerthema und hätte dir schon beim ersten Lehrbuch unterkommen müssen.
Zitat:
Du sagst: wenn das eine Teilchen so ist, und das andere so – dann ist das System so. Du referierst auf Individualeigenschaften der Teile, aber es gibt keine Teile mit Individualeigenschaften.
Nein, das sage ich nicht. Lies sorgfältig:
Zitat:
Zitat von Ich
Gesamtspin 0 bedeutet jedenfalls, dass die beiden Einzelspins gegensätzlich ausgerichtet sind, dass also beim zweiten Teilchen "down" rauskommt, wenn das erste "up" hatte.
"gegensätzlich ausgerichtet" ist eine Systemeigenschaft, nicht eine Individualeigenschaft. Und der zweite Teil des Satzes ist nur eine Erläuterung dessen, was "gegensätzlich ausgerichtet" bedeutet, wenn man die Einzelteilchen messen würde (was das System zerstören würde).
Zitat:
Auch der Kommentar von TomS birgt einen Widerspruch in sich: wenn ich den Spin des verschränkten Systems messen will, und ich dies nur an einem der Teile tun kann, wenn das System zerfallen ist
Auch das hast TomS nie gesagt, sondern explizit das Gegenteil. Es würde die Diskussion schon vereinfachen, wenn du dich auf die gemachten Aussagen beziehen würdest und nicht auf sinnentstellend abgewandelte Versionen.
Zitat:
Es ist schon ein Wiederspruch zu sagen: ich messe den Spin eines Teils eines verschränkten Systems. Es gibt keinen Spin von einem Teil.
Nein, das ist kein Widerspruch. Man darf bloß nicht erwarten, dass man damit das System nicht zerstören würde.
Zitat:
Man kann letzendlich sehr einfach die Theorie interpretieren, indem man sagt: ein verschränktes System bestehend aus zwei Spin 1/2 – Teilchen ist ein System, dem ich immer nur zwei Möglichkeiten für einen Meßwert zuordnen kann – die Alternative up oder down. Die gleiche Möglichkeitsmenge wie für ein Spin ½ -Teilchen allein. Das bedeutet, daß die Theorie nicht einen Zustand beschreibt, sondern Meßmöglichkeiten. Diese Sichtweise hat große Konsequenzen, auf die wir a ber jetzt nicht eingehen müssen.
Nun, diese "Sichtweise" ist einfach falsch, und das wurde dir auch schon mit Quellen dargelegt..
Zitat:
Du sagst nun – nein eine Messung am verschränkten System führt zu vier Ergebnissen, statt zwei.
Ich sagt, sie führt entweder zu drei Ergebnissen, oder zu einem, je nachdem, wie das System präpariert ist. Und das ist auch so, da brauchst du nicht zu diskutieren. Lies einfach ein Lehrbuch oder im Internet nach, ausgehend von dem Wikipediaartikel.

Überhaupt möchte ich anmerken: Das Thema riecht nach Jenseits. Ich lasse es solange hier, solange ich das noch als Diskussion über Quantenmechanik deuten kann, sprich: man sich mit den Resultaten derselben auseinandersetzt.

Geändert von Ich (20.10.16 um 08:44 Uhr)
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