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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben. |
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#1
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Quantenfeldtheorie
Hallo,
ich habe hier in den letzten Tagen viel gepostet. Hier ist nochmal eine grundsätzliche Verständnisfrage: Ich habe aus den Antworten meiner Posts herausgehört, dass man folgendes unterscheiden muss: In QM1 wird ein Teilchen quasi schon als Feld behandelt, in dem Sinne, dass es dort eine Wellengleichung gibt, die das Teilchen beschreibt. Wo genau ist der Unterschied zur der Quantenfeldtheorie? |
#2
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AW: Quantenfeldtheorie
Ups, der Post wurde schon abgesendet.
Es geht darum, dass jemand mir den Unterschied zwischen der Wellengleichung eines Teilchens erklärt (oder auch einer Vielteilchen-Wellenfunktion) und der Felder in der Quantenfeldtheorie? Bei beidem ist wohl der Hilbertraum die mathematische Grundlage. Ich hoffe jemand versteht das Problem, dass ich da habe. |
#3
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AW: Quantenfeldtheorie
Ich habe mir den Hilbertraum genauer angeschaut. Vll lässt sich hier mein Problem klären.
Benutzt man in QM1 und Quantenfeldtheorie verschieden strukturierte Hilberträume? Was ist ein Element im Hilbertraum bei QM1 und Quantenfeldtheorie? In QM1 kann man die Einteilchen-Wellenfunktion als Funktion aus dem R³ in die komplexen Zahlen verstehen, die quadrat-integrabel sein muss. |
#4
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AW: Quantenfeldtheorie
In der QM1 benutzt man im wesentlichen den L²(B) der quadratintegrablen Funktionen f über einem Bereich B, oder den l² der quadrat-summierbaren Folgen. Für einen kompakten Bereich B kann man einen Isomorphism finden, gegeben durch die Fouriertransformation o.ä.
Für nicht-kompakte Bereiche funktioniert das zunächst nicht, da die Fouriertransformation eine unitäre Transformation auf dem L² selbst ist. Allerdings kann man für Wellenpakete auf dem L²(-∞,+∞) argumentieren, dass diese mittels Legendrefunktionen als Basis des L² dargestellt werden können; dann definieren die Koeffizienten bzgl. dieser Basis gerade wieder eine Folge im l². Ebene Wellen oder temperierte Distributionen im Abschluss des L² sind meiner Meinung nach lediglich Artefakte der Rechenmethodik und haben keine physikalische Relevanz. Physikalische Zustände sind immer in gewisser Weise lokalisierte Zustände. Damit landet man in der QM1 immer beim l². Elemente des l² entsprechen nun gerade den Zuständen des N-dim. quantenmechanischen Oszillators. Ein Basisvektoren des letzteren lautet gerade |n₁, n₂, ...>, ein beliebiger Zustand kann durch Superposition aus diesen Basiszuständen konstruiert werden, z.B. für N = 3 |ψ> = ψ₁₀₀ |1,0,0> + ψ₂₀₀ |2,0,0> + ψ₁₀₁ |1,0,1> Nun ist natürlich nicht jedes Problem ein N-dim. harmonischer Oszillator. Da jedoch zwischen beliebigen separablen Hilberträumen immer ein Isomorphismus existiert, kann jedes Problem auf diesen Hilbertraum abgebildet werden (was für konkrete Berechnungen völlig impraktikabel wäre ;-) Die strukturelle Unterscheidung zwischen den Problemen liegt dann aber nicht in den Hilberträumen oder den Zuständen begründet, sondern in den darauf zu betrachtenden Operatoren. Nicht der Zustand trägt die Bedeutung, sondern nur der Zustand bezogen auf die Observablen, also z.B. den Hamiltonoperatoren H = p²/2m + ½ mω²x² H = p²/2m - α/r Einen a-Teilchen-Hilbertraum Hª erhältst du formal als direktes Produkt mit Symmetrisierung über diesen 1-Teilchen-Hilberträumen h = h¹ Hª = (h ⊗ h ⊗ ...) = ⨂ª h In der Hamiltonschen Formulierung der QFT benutzt man den Fockraum F als Verallgemeinerung des Hilbertraumes für unendlich viele Teilchen. Der Fockraum ist die direkte Summe der symmetrischen Tensoren über den a-Teilchen-Hilberträumen F = ⨁ Hª = 1 ⊕ h ⊕ (h ⊗ h) ⊕ (h ⊗ h ⊗ h) ⊕ ... Zitat:
Die zugrundeliegenden Hilberträume sind identisch. Man könnte auch ein N-Teilchen-Problem der QM1 im Fockraum definieren; der wesentliche Punkt ist, dass in der QM1 keine Operatoren verwendet werden, die die Teilchenzahl ändern.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. Ge?ndert von TomS (27.10.18 um 22:24 Uhr) |
#5
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AW: Quantenfeldtheorie
"der wesentliche Punkt ist, dass in der QM1 keine Operatoren verwendet werden, die die Teilchenzahl ändern. "
Auch hier habe ich eine Frage: Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren stellen doch keinen physikalischen Vorgang da!? Oder doch? Meiner bisherigen Anschauung nach, hat man einen Zustand im Hilbertraum und ein physikalischer Vorgang ist die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators auf diesen Zustand!? |
#6
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AW: Quantenfeldtheorie
Zitat:
Aber diverse Kombinationen stellen durchaus reale Vorgänge dar; z.B. wird die Vernichtung von Elektron und Positron mit Erzeugung eines Photons durch ein Produkt dreier derartiger Operatoren beschreiben. Richtig. Und im Hamiltonoperator der QED kommt u.a. dieses o.g. Produkt vor.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
#7
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AW: Quantenfeldtheorie
Zitat:
Man findet diese Sichweise übrigens "so in etwa" auch in einem der populärwissenschaftlichen Bücher von R. Feynman. Ich denke es war: QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie. D.h. in dem Buch wird das ansatzweise so formuliert. Zitat:
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Freundliche Grüße, B. |
#8
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AW: Quantenfeldtheorie
Zitat:
Messung und Detektor sind nicht Bestandteil des Formalismus der QFT (so wie auch in der orthodoxen QM). Tatsache ist, dass man asymptotischen Zuständen scharf definierten Impuls etc. zuschreibt und dass es gerade diese asymptotischen Zustände sind, die üblicherweise mittels der Feldoperatoren sowie Fouriertransformation eingeführt werden. Das ist jedoch weder notwendig - man kann auch andere Zustände verwenden - noch immer sinnvoll - nämlich dann nicht, wenn z.B. keine asymptotischen Zustände existieren wie im Falle des Confinements von Quarks und Gluonen. Dass es gerade diese asymptotischen Zustände sind, die man Streuexperimenten misst, bedeutet keineswegs, dass der Formalismus diese Messung oder den Detektor mathematisch beschreibt. Man benutzt im Formalismus lediglich mathematische Objekte, die man dann im Kontext einer Messung interpretieren kann. Genau.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
#9
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AW: Quantenfeldtheorie
Schade. Ich dachte man käme so zu einer möglichst anschaulichen Deutung, aber ich bekomme da aktuell leider auch nicht mehr hin.
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Freundliche Grüße, B. |
#10
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AW: Quantenfeldtheorie
Zitat:
Zudem kennt die Quantenfeldtheorie keinen fundamentalen Unterschied zwischen Teilchen und Wechselwirkungen ("Feldern") mehr: sie werden gleich behandelt; Wechselwirkung werden über Felder/Quanten vermittelt. Oder war das schon beantwortet worden? Ge?ndert von Hawkwind (06.11.18 um 11:32 Uhr) Grund: typo |
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