Problem mit der Lösung des Flachheitsproblems

[Ich]

Zitat von Timm

Dann habe ich eine riesige Sphäre und Ω wird gegen 1 getrieben. Ich hatte die Lösung des Flachheitsproblems so verstanden, daß Ω = 1 resultiert, mit k = 0.

Nein, eher wie in der von dir zitierten Quelle Ω-1~1e-62 oder so. 0 ist nur der Limes.

Und ich denke so müßten es diejenigen Kosmologen verstehen, die von einem unendlich großen Universum ausgehen, also keiner auch noch so große Sphäre.

Ich denke, dass solch Redeweisen noch Überbleibsel aus der Ära vor 30 Jahren sind, als man zwischen dem tatsächlichen Universum und einer einfachen FRW-Metrik sprachlich keinen Unterschied machte.

Es ist überall die Rede davon, daß das Universum räumlich flach ist, was die Sphäre eigentlich ausschließt. Wenn das aber strikt gilt, müßte es schon vor der Inflation flach gewesen sein und damit die Inflation unnötig.

Es gilt nicht strikt. Es gilt auch die FRW-Metrik nicht strikt: Lokal mag vor der Inflation positive Krümmung geherrscht haben, anderswo negative - das sagt nichts über die globale Topologie aus. Aber was immer die lokale Krümmung war, sie wurde gegen Null (aber nicht auf exakt Null) gebügelt.

[Timm]

Zitat von Ich

Es gilt nicht strikt. Es gilt auch die FRW-Metrik nicht strikt: Lokal mag vor der Inflation positive Krümmung geherrscht haben, anderswo negative - das sagt nichts über die globale Topologie aus. Aber was immer die lokale Krümmung war, sie wurde gegen Null (aber nicht auf exakt Null) gebügelt.

Hat dann k lokal unterschiedliche Vorzeichen, vor und nach der Inflation jeweils dasselbe? Macht ein Wert von k lokal überhaupt Sinn?

Ergibt sich der globale Wert von k aus einer Art Mittelung? Wenn etwa die lokal positiven Krümmungen überwiegen ist global k = 1?

Wenn ich das soweit richtig verstehe, ist nach der Inflation das Universum lokal nahezu flach, was aber nichts über die globale Geometrie aussagt, die ist heute so wie sie vor der Inflation war. D.h. wer heute von global k = 0 ausgeht, braucht dafür keine Inflation. Das würde aber alles bedeuten, daß in unserem beobachtbaren Universum lokal nahezu flach - wie derzeit angenommen - keineswegs global exakt flach nahelegt.

[Ich]

Zitat von Timm

Hat dann k lokal unterschiedliche Vorzeichen, vor und nach der Inflation jeweils dasselbe?

Die lokale Krümmung nach der Inflation kommt aus den Fluktuationen des Inflatonfelds. Was vorher war, sollte keinen nennenswerten Einfluss darauf haben.

Macht ein Wert von k lokal überhaupt Sinn?

Bedingt Man kann natürlich lokal einen Schnittkrümmungsradius definieren und sogar messen - wobei der natürlich immer positiv wäre. Der kosmologische Krümmungsradius ist wieder was anderes, weil der nur in der FRW-Metrik vorkommt und für seine Definition die Gültigkeit des Hubblgesetzes voraussetzt. Um den zu bestimmen, muss man also über Regionen mitteln, die groß genug sind, dass man näherungsweise eine solche Metrik darüberlegen kann. Wenn man das macht, muss nicht zwangsweise überall dasselbe herauskommen.

Ergibt sich der globale Wert von k aus einer Art Mittelung? Wenn etwa die lokal positiven Krümmungen überwiegen ist global k = 1?

Wenn man so will, ja. Eigentlich ist k eine Eigenschaft der FRW-Metrik, nicht des tatsächlichen Universums. Wenn das Universum auf den größten Skalen nicht homogen ist, dann gibt es auch kein vernünfitges globales k. Wenn aber die positive Krümmung überwiegt, dann ist die Topologie kompakt.

Wenn ich das soweit richtig verstehe, ist nach der Inflation das Universum lokal nahezu flach, was aber nichts über die globale Geometrie aussagt, die ist heute so wie sie vor der Inflation war. D.h. wer heute von global k = 0 ausgeht, braucht dafür keine Inflation. Das würde aber alles bedeuten, daß in unserem beobachtbaren Universum lokal nahezu flach - wie derzeit angenommen - keineswegs global exakt flach nahelegt.

Allein schon für global k~=0 braucht man die Inflation, weil die Nullkrümmung instabil ist und irgendwie erzwungen werden muss. Wenn man von global k=0 ausgeht, ist immer noch nicht geklärt, wie das zustande kommen soll - die einzelnen Regionen des Universums waren ja nicht in kausalem Kontakt miteinander ohne Inflation.
Allgemein gilt natürlich: Wir wissen nur, wie unser beobachtbares Universum aussieht. Was auf millionenfach größeren Skalen (so es die gibt) passiert, entzieht sich unserer Kenntnis. Es gibt auch keine stichfesten theoretischen Argumente, warum das Universum als Ganzes genau so aussehen sollte wie unser beobachtbares Teilstück.

[Timm]

Zitat von Ich

Die lokale Krümmung nach der Inflation kommt aus den Fluktuationen des Inflatonfelds. Was vorher war, sollte keinen nennenswerten Einfluss darauf haben.

Du meinst hier wohl mit lokal die Anisotropie des CMB bei ca. 1° Winkelausdehnung. Diese Dichteschwankungen führt man auf solche Fluktuationen zurück, wobei 1° annähernd flach ergibt.
Mit "Hat dann k lokal unterschiedliche Vorzeichen, vor und nach der Inflation jeweils dasselbe?" meinte ich das beobachtbare Universum. Mit lokal in diesem Sinne sollte die Krümmung gegen Null gehen, ihr Vorzeichen aber beibehalten.

Zitat von Ich

Allein schon für global k~=0 braucht man die Inflation, weil die Nullkrümmung instabil ist und irgendwie erzwungen werden muss.

Ja.

Zitat von Ich

Wenn man von global k=0 ausgeht, ist immer noch nicht geklärt, wie das zustande kommen soll - die einzelnen Regionen des Universums waren ja nicht in kausalem Kontakt miteinander ohne Inflation.

Spielt das eine Rolle?
Das beobachtbare Universum war vor der Inflation in kausalem Kontakt. Trotzdem geht man für es von k~=0 aus, nicht von k=0.

Ob in kausalem Kontakt oder nicht sollten nach der Inflation die anfänglich unterschiedlichen lokalen Krümmungen gegen Null gehen, bzw. Ω -> 1 aber nicht Ω = 1. Ich denke, wenn es so ist, sollte das auch global gelten.

Das Resümee dürfte sein, daß die Inflation weder lokal noch global k = 0 erzwingt.

[Ich]

Zitat von Timm

Spielt das eine Rolle?
Das beobachtbare Universum war vor der Inflation in kausalem Kontakt. Trotzdem geht man für es von k~=0 aus, nicht von k=0.

Ohne Inflation würde ein solcher Bereich aber nicht das beobachtbare Universum füllen.

Ob in kausalem Kontakt oder nicht sollten nach der Inflation die anfänglich unterschiedlichen lokalen Krümmungen gegen Null gehen, bzw. Ω -> 1 aber nicht Ω = 1. Ich denke, wenn es so ist, sollte das auch global gelten.

Es ist ja auch denkbar, dass unser Universum quasi aus einer Inflationsblase in einem viel größeren Universum hervorgegangen ist. Oder dass - siehe "Eternal Inflation" - die Inflation nicht in allen Bereichen des Universums zum Erliegen gekommen ist. Da kann man, momentan zumindest, nur spekulieren.

Das Resümee dürfte sein, daß die Inflation weder lokal noch global k = 0 erzwingt.

Nicht im mathematischen Sinne, nein.

[TomS]

Zitat von Timm

Das Resümee dürfte sein, daß die Inflation weder lokal noch global k = 0 erzwingt.

Das k = 0 (oder +1 bzw. -1) ist ein Artefakt der hochsymmetrischen Friedman-Lösungen. Es ist strikt konstant, es kann nicht dynamisch erklärt werden. In einem inhomogenen Universum verliert es seinen Sinn.

Inflation ist ein Mechanismus, ein gekrümmtes Universum in ein Universum mit näherungsweise flacher Geometrie zu überführen.

Die Topologie eines 3-dim. raumartigen Schnitts ändert sich dadurch nicht; sie ist invariant unter der Dynamik bzw. Zeitentwicklung.

[Bernhard]

Zitat von TomS

In einem inhomogenen Universum verliert es seinen Sinn.

Ich sehe aber kein Problem darin, anschaulich verschiedene Teile verschiedener Friedmann-Universen zusammenzukleben.

[TomS]

Kann man tun, jeder Patch hätte dann zunächst "sein eigenes k". Dieses bleibt jedoch sicher nicht konstant, denn die Dynamik würde die Grenzen der Patches "verschmieren", wodurch wieder lokal variable Krümmung resultieren würde.

Auch dann wäre allerdings die globale Topologie festgelegt und würde sich im Zuge der Dynamik (Zeitentwicklung) nicht ändern.

[Timm]

Zitat von TomS

Inflation ist ein Mechanismus, ein gekrümmtes Universum in ein Universum mit näherungsweise flacher Geometrie zu überführen.

Die Topologie eines 3-dim. raumartigen Schnitts ändert sich dadurch nicht; sie ist invariant unter der Dynamik bzw. Zeitentwicklung.

Wenn also ein Kosmologe von einem unendlich großen Universum ausgeht und den Effekt der Inflation berücksichtigt, geht er implizit von k = 0 aus, denn die beliebig große Sphäre scheidet aus (und etwas wie die Pseudosphäre mit k = -1 dürfte er kaum im Sinn haben). Und damit hätte das Universum bereits vor der Inflation euklidische Geometrie.

Ersteres liest man öfter, Letzeres kam mir in diesem Kontext noch nicht unter.

[TomS]

Zitat von Timm

Wenn also ein Kosmologe von einem unendlich großen Universum ausgeht und den Effekt der Inflation berücksichtigt, geht er implizit von k = 0 aus, denn die beliebig große Sphäre scheidet aus (und etwas wie die Pseudosphäre mit k = -1 dürfte er kaum im Sinn haben). Und damit hätte das Universum bereits vor der Inflation euklidische Geometrie.

Ersteres liest man öfter, Letzeres kam mir in diesem Kontext noch nicht unter.

Wenn also ein Kosmologe von einem unendlich großen Universum ausgeht, präzise formuliert und den Effekt der Inflation berücksichtigt, geht er implizit von einer nicht-kompakten Topologie aus (die beliebig große Sphäre scheidet aus; etwas wie die Pseudosphäre mit k = -1 könnte er im Sinn haben - warum nicht?) Und damit hätte das Universum bereits vor der Inflation eine nicht-kompakte Topologie jedoch nicht notwendigerweise euklidische Geometrie.