Einsteins Uhrenhypothese

[Hawkwind]

Zitat von JoAx

Moment. Die Vierergeschwindigkeit, solange diese definiert ist, ist immer = c.

Das stimmt doch nicht: die Vierergeschwindigkeit ist ein Vierervektor, dessen Komponenten alle möglichen Werte annehmen können, aber immer derart, dass die Minkowskilänge dieses 4-Vektors c ergibt:

Sei die 4-Geschwindigkeit:

v=(gamma*c, gamma*v)

v steht dabei für die vertraute 3-Geschwindigkeit.
Dann ist das Quadrat ihrer Minkowskilänge:

v.v = gamma^2*c^2 - gamma^2*b^2

Wenn v gegen c, dann wächst gamma über alle Grenzen und oben stände die Differenz 2er divergierender Terme. Wenn man gamma einsetzt, sieht man aber leicht, dass es aus der Formel für die Minkowskilänge eh herausfällt:

gamma^2 = c^2/(c^2 - v^2)

oben eingesetzt: v.v = c^2
Es besteht also nicht einmal die Notwendigkeit eine Grenzwertbetrachtung für die Länge des 4-Vektors für v gegen c durchzuführen.
Die einzelnen Komponenten der 4-Geschindigkeit



fliegen dir für v = c freilich um die Ohren, obwohl der Betrag endlich und gleich c ist.
Die räumlichen Komponenten der 4-Geschwindigkeit stimmen eben nur für den nichtrelativistischen Grenzfall
v sehr klein gegen c
mit der vertrauten 3-Geschwindigkeit überein. Der räumliche Anteil der 4-Geschwindigkeit geht für v gegen c eben nicht gegen c, sondern wächst für über alle Grenzen - ebenso wie die zeitliche Komnponente.

Dieser vielleicht paradox anmutende Punkt "Komponenten unendlich, aber Betrag = c" ist eine Konsequenz der Minkowskimetrik (1, -1, -1, -1).

Gruß,
Hawkwind


Nachtrag: für die Physik interessanter ist sicher der Viererimpuls

p = (E/c, p)

dessen Komponenten immer endlich sind (auch für v=c).

[quick]

Hallo Benjamin,

Zitat von Benjamin

Zeit als auch Länge sind Begriffe, die nur für materielle (massebehaftete) Teilchen Sinn ergeben. Der Begriff des Inertialsystems ist nur für Materie anwendbar. Keine Materie, kein Inertialsystem. Somit sind auch Inertialsysteme nur für Geschwindigkeiten kleiner c definiert. (Wobei ich auch Inertialsystemen für größer c keine Bedeutung beimesse.)

Ergeben die Begriffe Zeit und Länge nicht auch für "impulsbehaftete" Teilchen einen Sinn? (z.B. im Hinblick auf Dopplereffekt)

mfg
quick

[JoAx]

Hi!

Zitat von Hawkwind

Das stimmt doch nicht: die Vierergeschwindigkeit ist ein Vierervektor, dessen Komponenten alle möglichen Werte annehmen können, aber immer derart, dass die Minkowskilänge dieses 4-Vektors c ergibt:
...

Ok. Danke schön. Das war präzise. Ich hab' wohl die Länge meinen wollen.

Denn, würde daraus

Zitat von Hawkwind

v.v = c^2

nicht folgen ->

v=c?

Zitat von Hawkwind

Die einzelnen Komponenten der 4-Geschindigkeit fliegen dir für v = c freilich um die Ohren, obwohl der Betrag endlich und gleich c ist.

Und darum geht es mir. Wenn mir die einzelnen Komponenten um die Ohren fliegen, dann kann der Vektor doch nicht definiert sein, oder?

Kann man das hier:

v=(gamma*c, gamma*v)

auch für v=c ohne weiteres anschreiben?


Gruß, Johann

[Marco Polo]

Zitat von JoAx

Ok. Danke schön. Das war präzise. Ich hab' wohl die Länge meinen wollen.

Hmmm...? Du schriebst ja von c. Jetzt soll also nicht die Vierergeschwindigkeit immer c ergeben sondern Längen?

Oder wie meintest du das?

Grüsse, Marco Polo

[JoAx]

Hi Marc!

Zitat von Marco Polo

Interessant in diesem Zusammenhang ist die Tatsache, dass bei Firefox alles schön untereinander lag, beim Internet-Explorer hingegen nicht.

Vlt. liegt es daran, dass ich es im Firefox formatiert habe. Aber es stimmt schon, dass IE sich am wenigsten an die "W3-Forschriften" hält.

Das hier: ╮╯╭╰│

kann auch hilfreich bei Matritzen sein. Bsp.:

....╭. ╮
xl..│ 1l│
X=│ 0l│
xl..│ 3l│
....╰. ╯

Einfach alles auswählen (markieren), um zu sehen, wie das gemacht wurde.


Gruß, Johann

[JoAx]

Zitat von Marco Polo

Hmmm...? Du schriebst ja von c. Jetzt soll also nicht die Vierergeschwindigkeit immer c ergeben sondern Längen?

Oder wie meintest du das?

Ja, ok. Der Betrag der Vierergeschwindigkeit? Besser?

Natürlich stellt sich hier die Frage, ob ein selbst Vektor undefinierbar sein kann, aber mit einem definierten Betrag.


Gruß, Johann

[Marco Polo]

Zitat von JoAx

Ja, ok. Der Betrag der Vierergeschwindigkeit? Besser?

Eigentlich auch nicht, befürchte ich.

Nicht der Betrag, sondern die Minkowskilänge dieses Vektors ergibt immer c (siehe Hawkwinds Beitrag).

So richtig kapieren tu ich das aber momentan auch noch nicht.

Gruss, Marco Polo

[JoAx]

Zitat von JoAx

Natürlich stellt sich hier die Frage, ob ein selbst Vektor undefinierbar sein kann, aber mit einem definierten Betrag.

Wir betrachten die Funktion

f(x)=1/x

und stellen die Frage nach der Fläche eines Rechtecks, welcher sich ergibt, wenn man den Betrag der x Koordinate mit dem dazugehöhrigen Funktionswert multipliziert:

x*f(x) = x*1/x = 1

D.h., dass wir auch hier einen invarianten Wert haben. Auch dann, wenn x->0 strebt, oder sogar =0 ist! Aber ein Vektor

v={x, f(x)}

an der Stelle x=0?

v={0, ∞}

Was wäre das denn?

In Minkowski Raumzeit sieht der Vektor dann, wohl aufgrund der Metrik, so aus:

v={∞, ∞}

Schön, oder?


Gruß, Johann

[Hawkwind]

Zitat von JoAx

Kann man das hier:

v=(gamma*c, gamma*v)

auch für v=c ohne weiteres anschreiben?


Gruß, Johann

nee, ist nicht definiert.

[JoAx]

Guten Morgen!

Zitat von Hawkwind

nee, ist nicht definiert.

Danke, das meinte ich.

Zitat von Marco Polo

Eigentlich auch nicht, befürchte ich.

Na so was!
Noch ein Versuch. Wir wissen, dass der Abstand zwischen zwei Weltpunkten invariant ist, und dass seine Länge im eigenen BS dem Produkt aus Eigenzeit und der Lichtgeschwindigkeit gleich ist.

ds^2=c^2dt^2 - dr^2=c^2dt'^2=const.

ds=Wurzel(c^2dt^2 - dr^2)=cdt'

ds/dt' = Wurzel(c^2dt^2 - dr^2)/dt' =
= gamma*Wurzel(c^2dt^2 - dr^2)d/dt =
= Wurzel{gamma^2[(c^2dt^2)/dt^2 - dr^2/dt^2]} =
= Wurzel{[c^2/(c^2-dr^2/dt^2)]*[c^2 -dr^2/dt^2]} =
= c = const. = cdt'/dt'

Passt es jetzt?


Gruß, Johann