#131
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AW: Abgleich meines Wissens
Zitat:
ich habe mich mit den mehrdimensionalen Objekten vor langer Zeit schon mal beschäftigt. Die Begriffe Oberfläche und Sphäre habe ich zum Begriff "Begrenzungsraum" zu meinem besseren Verständnis wie folgt verallgemeinert: 1. Der Begrenzungsraum einer vierdimensionalen 'Kugel' ist dreidimensional. Das ist eine dreidimensionale 'Sphäre'. 2. Der Begrenzungsraum einer dreidimensionalen Kugel ist zweidimensional. Dieser Begrenzungsraum ist eine zweidimensionale Sphäre, die gewöhnliche Kugeloberfläche. 3. Der Begrenzungsraum einer zweidimensionalen 'Kugel' ist eindimensional. Dieser Begrenzungsraum ist eine eindimensionale 'Sphäre', die gewöhnliche Kreisumfangslinie. 4. Der Begrenzungsraum einer eindimensionalen 'Kugel' ist nulldimensional. Dieser Begrenzungsraum ist eine nulldimensionale 'Sphäre', zwei gewöhnliche mathematische Punkte. Deine Formel Vn = (2*pi^(n/2) * r^(n-1))/(gamma*n/2) ist nicht ganz korrekt. Richtig lautet sie: Vn = [2*pi^(n/2) * r^(n-1)]/[gamma(n/2)] Setzt man beim Beispiel 4 in die Formel n = 1 ein, dann ergibt sich: Vn = [2*pi^(1/2) * r^(1-1)]/[gamma(1/2)] Nachdem gamma(1/2) = pi^(1/2) ist, ergibt sich: Vn = 2. Der Begrenzungsraum einer eindimensionalen Strecke ist 2. Das heißt, er wird von zwei nulldimensionalen Punkten begrenzt. Ein Beispiel, wie man durch etwas mehr Abstraktion ein besseres Verständnis gewinnt. M.f.G Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#132
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AW: Abgleich meines Wissens
Moin,
Weshalb jetzt genau? Können wir aber auch so stehen lassen. Zitat:
Mogel mich mal "mfg" dazwischen ("with kind regards"). Grüße, amc |
#133
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AW: Abgleich meines Wissens
Hallo Marco Polo (?),
Zitat:
Eine 1-Sphere ist ein Kreis. Und zwar explizit die Kreislinie und nicht die Kreisscheibe. Eine Linie besitzt weder Volumen noch Fläche. Die Kreislinie umschliesst lediglich eine Fläche ("Flächeninhalt eines Kreises") - Eugen Bauhof nannte das "Begrenzungsraum". Eine 2-Sphere ist eine Kugeloberfläche - Es ist nicht die Kugel. Die 2-Sphere ist eine Fläche - Eine Fläche besitzt kein Volumen. Sie umschließt lediglich einen Raumbereich dessen Volumen einer Kugel mit dem Radius der betreffenden Sphere entspricht. Würde Bernd in einer elliptischen Welt leben wäre es im letztendlich egal, wir groß das 3D-Volumen wäre welches seine 2D-Welt umschliesst: Das spieltr für ihn keine Rolle, er interagiert nicht mit diesem - salopp formuliert - "Was auch immer Bereich". @amc: Die Rückfrage war absolut berechtigt. Ich hatte allgemein n-Spheren im Kopf als ich vom endlichen Volumen schrieb - Für <3-Spheren gibt es aber kein Volumen. "Das Misstrauen" in die generelle Gültigkeit meiner Aussage war völlig gerechtfertigt. Zitat:
Ganz grob gesprochen liegt ein Rand dort vor "wo es nicht mehr weitergeht". Dort, wo (virtuelle) "Ränder" miteinander verklebt sind ist dies nicht der Fall. Ebenso wenn eine Mannigfaltigkeit in eine bestimmte Richtung "offen" (= unendlich) ist. "Üblicherweise" betrachtet man die Mannigfaltigkeiten als unberandet (Zylinder, Möbius-Band, ...). Ansonsten schreibt man das dazu (Man schneidet z.B. aus dem unberandeten Zylinder "ein Rohrstück" heraus). siehe Antwort von amc: "with kind regards". wkr ist noch unüblicher als mfg. :-) wkr Marcus |
#134
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AW: Abgleich meines Wissens
Wie kommt man aufdbauend von dem bisher Gesagten von den 2- zu den 3-Mannigfaltigeiten?
Eigentlich recht einfach: Durch Hinzufügen einer weiteren Dimension unter Berücksichtigung der bekannten Grundprinzipen "verkleben/nicht verkleben" und "verdrillen/nicht verdrillen". Am Beispiel 2-Torus: Würde Bernd einer 2D-Welt der Gestalt 2-Torus leben wären der linke mit rechten und der obere mit dem unteren Bilschirmrand verbunden. Käme noch die dritte Dimension "verklebt" hinzu könnte er nach vorne hinauslaufen und von hinten wiederkommen - Er würde in einem 3-Torus leben. In der bildlichen Vorstellung eines Torus wäre die Oberseite seiner Oberfläche jeweils überall mit der Unterseite seiner Oberfläche verbunden - Das ist visuell so nicht mehr darstellbar/vorstellbar. Euklidische 3-Mannigfaltigkeiten stellt man sich deshalb besser so vor: Ausgangsituation ist ein 3D-Kubus der den Raum repräsentiert. Ist er nach allen Seiten offen (= unendlich) repräsentiert er "die trivalste Topologie". Sind alle sich gegenüberliegenden Seiten des Kubus jeweils miteinander verklebt handelt es sich um den 3-Torus. Dazwischen gibt es alle möglichen Spielarten zwischen "verklebt" und "nicht verklebt" - Ausgehend von den 3 Grundtypen der euklidischen 2-Mannigfaltigkeiten (Fläche, Zylinder, Torus) ergeben sich dadurch die 6 erwähnten Grundtypen euklidischer 3-Mannigfaltigkeiten. Zitat:
Natürlich kann man die Seitenflächen des Ausgangskubus auch noch "verdrillen" - Dann erhält man auch "eine endliche Anzahl" an Grundtypen nicht-orientierter 3-Mannigfaltigkeiten (Ich glaube so um die 16 - Ich weiss es gar nicht genau. Das ist im Endeffekt aber auch egal). Stellt man sich den 3-Torus als Kubus mit "verklebten" Seitenflächen vor sollte es auch anschaulich nachvollziehbar sein, weshalb es sich immer noch um eine euklidische Mannigfaltigkeit handelt (z.B. Parallelen-Axiom). In der in der Topologie diskutiert man grundsätzlich einen "flachen Torus" wenn man nichts ausdrücklich anderes erwähnt: Das bedeutet nichts anderes als dass die Oberfläche des toplogischen 2-Torus nicht als Teilmenge eines 3D-Raums zu verstehen ist/als Teilmenge desselben ausgedrückt werden kann. wkr Marcus Ge?ndert von Marcus Ulpius (05.11.12 um 13:28 Uhr) |
#135
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AW: Abgleich meines Wissens
Hallo Timm,
Zitat:
Hälst du deine Kentnisse/dein Wissen in diesem Themenbereich für ausreichend gefestigt um die von dir genannte(n) Einschätzung(en) anderer Personen auch selbst vertreten zu können? Oder anders gefragt: Bist du bereit dich mit den betreffenden fachlichen Hintergründen auseinanderzusetzen damit du dir am Ende selbst ein Urteil erlauben kannst (Formulierung zumindest als Zielsetzung)? Ich sehe nämlich keinen Sinn darin auf "Aber du liegst falsch weil XYZ hat gesagt dass wäre ganz anders" einzugehen wenn nicht gleichzeitig die dahinterstehenden Argumente Gegenstand der Diskussion sind. wkr Marcus P.S.: a. Fällt dir irgendetwas an der von dir zitierten Antwort von Georg Wolschin auf? b. Fällt dir irgendetwas an dem von dir verlinkten Artikel auf? |
#136
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AW: Abgleich meines Wissens
Hallo Timm,
Aus besagtem Dokument: Zitat:
Zitat:
Zitat:
wkr Marcus Ge?ndert von Marcus Ulpius (07.11.12 um 17:13 Uhr) |
#137
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AW: Abgleich meines Wissens
Hallo Timm,
ich sehe keinen qualitativen Unterschied zwischen folgenden beiden Aussagen: a. Im Mittelalter ging man noch davon aus die Erde wäre eine flache Scheibe. b. "Die Frage nach der Topologie des Universums - trivial oder nicht-trivial - ist schlicht und einfach unentschieden." Niemand kann leugnen dass beides verbreitet (selbst in seriösen Quellen) zu lesen wäre - Auch ich nicht. Das ändert allerdings nichts daran dass beide Aussagen inhaltlich unzutreffend sind. Und aus diesem Grund lasse ich mich nicht auf solche Spielchen wie "Du stimmst mir jetzt erst einmal zu dass das so ist sonst rede ich nicht mehr mit dir" ein - Ich bin nun einmal a. anderer Meinung und ausserdem b. nicht im Kindergarten. Übrigens: Ich würde in einer Publikation zu diesem Thema (ziemlich) exakt dasselbe Fazit wie Wolschin ziehen - Sogar (fast) im selben Wortlaut: Ein insgesamt gelungener Artikel, Danke für den Link. wkr Marcus |
#138
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AW: Abgleich meines Wissens
Deine andere Meinung sei Dir ja unbenommen, Marcus Ulpius.
Warten wir doch einfach die Planck-Daten ab. Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus Ge?ndert von Timm (09.11.12 um 16:17 Uhr) |
#139
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AW: Abgleich meines Wissens
Hallo Timm,
Das verstehe ich nicht ganz. Worauf bezieht sich das Wort "andere"? Du hattest doch den Spektrum-Artikel von Wolschin eingebracht.
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mit freundlichem Gruß aus Hannover Unendliche Genauigkeit ist eine Illusion |
#140
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AW: Abgleich meines Wissens
Hallo Timm,
Zitat:
Könntest du bitte einmal möglichst exakt den Wortlaut wiedergeben a. was/wie du ihn genau gefragt b. was/wie er dir geantwortet hat Danke. wkr Marcus |
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