Das relativistische Zwillingsparadoxon

[Hawkwind]

Zitat von TomS

Finde ich nur teilweise.

M.E. sollte die Argumentation nicht auf Inertialsysteme fokussieren (diese sind nur Spezialfälle) und insbs. nicht mittels Lorentztransformationen argumentieren.

Ich finde es meistens didaktisch sinnvoll, mit dem speziellen und überschaubareren Fall zu beginnen und danach erst die Allgemeinheit zu erschließen. Aus der Diskussion des Zwillingsparadoxons würde ich so auch die ART heraushalten - sie wird ja nicht benötigt. Im Kontext der SRT macht es viel Sinn, einen Beobachter in einem Inertialsystem zu platzieren - warum auch nicht?

[Ich]

Zitat von Slash

Ich war nur etwas "schockiert", als du das Wort katastrophal verwendest, nachdem ich überhaupt Beschleunignung in den Mund genommen hatte. Ich vermute, das liegt daran, dass es zu dem Thema - mir gar nicht bekannt - schon früher schon Diskussionen gab.

Das hast du falsch in Erinnerrung. Als "didaktisch katastrophal" habe ich die "Interpretation der Vierergeschwindigkeit" aus Wikipedia bezeichnet, die du verwendet hast. Da geht's nicht um Beschleunigung, sondern um "Geschwindigkeit durch den Raum" und "Geschwindigkeit durch die Zeit" und solche Dinge. Und ja, dazu gab's frühere Diskussionen, siehe hier und die Links darin.
Hat übrigens nichts mit dir zu tun, ich habe diese Veranschaulichung früher auch verwendet. Empfinde sie aber mittlerweile eben als "didaktisch katastrophal".

Ich kann ohne die Randbedingungen: Gemeinsamer Startpunkt, Gemeinsame Geschwindigkeit beim Start und beim Wiedersehen = 0 sowie eine betragsmäßig maximal mögliche Beschleunigung (wie in der Technik oft vorhanden) in der Tat keine allgemeine gültige Aussage treffen, die meine "Beschleunigungsintegral" - Argumentation untermauert. Wenn diese Bedingungen vorhanden sind, dann denke ich, dass der Satz von Feldbaum anwendbar ist (dann sind es Rechtecke, also die maximale Fläche unter dem Integral und alles andere ist vom Betrag her flächenmäßig weniger).

Die Randbedingungen darfst du gerne verwenden, bis auf die begrenzte Beschleunigung, die wirkt m.E. künstlich und hat nichts mit dem Paradoxon zu tun.
Aber selbst wenn du sie verwendest, kriegst du nur raus, dass die Kurve mit der größten Zeitdilatation auch maximalen integrierten Beschleunigungsbetrag hat. Schon der Umkehrschluss ist aber falsch, und für alle Kurven außer dieser einen gibt es gar keinen Zusammenhang mehr. Du kannst wirklich einfache Gegenbeispiele finden.

Es gibt anschauliche Formulierungen / Darstellungen des Zwillingsparadoxon, die argumentieren, dass mindestens ein Zwilling (kurzzeitig) beschleunigt sein muss, während es der andere nicht muss, weil eben ein Zwilling eine Richtungsänderung durchführt. Wenn man nun sagt, dass eine Richtungsänderung eine Beschleunigung ist, dann finde ich es nicht so abwegig, dies auch so zu nennen. Andererseits ist der Begriff Beschleunigung vielleicht im Rahmen der SRT / ART zu sehr vorbelastet.

Nein, das ist alles schön und gut. Damit kann man die Asymmetrie begründen, deren Nichtberücksichtigung zu einem Paradoxon führen würde. Aber mehr nicht. Das habe ich dir schon mal geschrieben.

[TomS]

Zitat von Hawkwind

Ich finde es meistens didaktisch sinnvoll, mit dem speziellen und überschaubareren Fall zu beginnen und danach erst die Allgemeinheit zu erschließen.

Das tue ich auch, allerdings ohne verfehlten Fokus auf Inertialsysteme und ganz ohne Lorentztransformationen.

Zitat von Hawkwind

Aus der Diskussion des Zwillingsparadoxons würde ich so auch die ART heraushalten - sie wird ja nicht benötigt.

Das tue ich auch (bis auf einen kleinen Hinweis).

Zitat von Hawkwind

Im Kontext der SRT macht es viel Sinn, einen Beobachter in einem Inertialsystem zu platzieren - warum auch nicht?

Weil es auch ohne diese Einschränkung genauso verständlich erklärbar ist und weil man dadurch Missverständnisse vermeidet. Die Einschränkung auf Inertialsysteme muss man insbs. immer dann vornehmen, wenn man zuvor mittels dieser blödsinnigen Lorentz-Transformation argumentiert hat.

Meine Strategie ist ganz simpel:
1) Eigenzeiten entsprechen Längen von Weltlinien;
2) das "Zwillingsparadoxon" resultiert aus zwei unterschiedlich langen Weltlinien;
3) zum anschaulichen Diskutieren und Vergleichen von (Längen von) Weltlinien können diese irgendwie geartet sein; ich benötige keine Geraden;
4) für eine einfache Beispielrechnung führe ich dann evtl. einen Beobachter in einem Inertialsystem ein; ich zeige aber auch, wie das für zwei nicht-inertiale (z.B. kreisförmig bewegte) Beobachter funktioniert

Es geht nur darum, klarzumachen, dass (4) ein Spezialfall ist; die Schritte (1 - 3) funktionieren aber genausogut ohne diese Einschränkung. Wer nur bis (3) liest, kann völlig beruhig abbrechen und ist trotzdem nicht auf der falschen Spur.

Ist das falsch?

Der einzige Nachteil dieser Vorgehensweise wäre - wenn alle Darstellungen sich daran halten würden - dass es keine Threads wie diesen gäbe ...

[Hawkwind]

Zitat von TomS

4) für eine einfache Beispielrechnung führe ich dann evtl. einen Beobachter in einem Inertialsystem ein; ich zeige aber auch, wie das für zwei nicht-inertiale (z.B. kreisförmig bewegte) Beobachter funktioniert

Es geht nur darum, klarzumachen, dass (4) ein Spezialfall ist; die Schritte (1 - 3) funktionieren aber genausogut ohne diese Einschränkung. Wer nur bis (3) liest, kann völlig beruhig abbrechen und ist trotzdem nicht auf der falschen Spur.

I

Da haben wir uns missverstanden: (4) ist kein Spezialfall. ich führe einen inertialen Beobachter ein, in dessen Ruhesystem ich die Eigenzeitintegrale der beiden nichtinertialen Reisenden berechne. Das ist ja jetzt kein Verlust an Allgemeinheit, oder?

Die Argumentation mit den Längen der Weltlinien finde ich persönlich ja auch sehr schön und elegant. Sie ist aber irgendwie schon etwas "abgehoben" für einen Anfänger, finde ich. Z.B. muss man sich immer vor Augen halten, dass dies Linien im 4-dim. Raum mit Minkowski-Metrik sind, wo z.B. erstaunlicherweise die Geraden zwischen 2 Ereignissen (die inertial Reisende ja zurücklegen) am längsten sind; deshalb altern sie ja mehr.

Unter einer Beschleunigung andererseits kann sich jeder etwas vorstellen; Weltlinien in 4-dim. nicht-euklidischen Räumen sind schon ein anderes Kaliber.
Deshalb finde ich die Argumentation über asymmetrische Beschleunigung der beiden Reisenden (damit eben der Effekt relativistischer Geschwindigkeiten sich "manifestiert") auch nicht so verkehrt.

[TomS]

Zitat von Hawkwind

Da haben wir uns missverstanden: (4) ist kein Spezialfall. ich führe einen inertialen Beobachter ein, in dessen Ruhesystem ich die Eigenzeitintegrale der beiden nichtinertialen Reisenden berechne. Das ist ja jetzt kein Verlust an Allgemeinheit, oder?

OK, da haben wir uns in der Tat missverstanden.

Ja, zur Berechnung führt man irgendein Koordinatensystem ein; und praktischerweise ein Inertialsystem. Das ist kein Verlust an Allgemeinheit.

Ich bin nur vorsichtig in meiner Argumentation und sage, dass ich in Worten - nicht in Formeln - alles erklären kann, ohne ein Inertialsystem einführen zu müssen.

Zitat von Hawkwind

Die Argumentation mit den Längen der Weltlinien finde ich persönlich ja auch sehr schön und elegant. Sie ist aber irgendwie schon etwas "abgehoben" für einen Anfänger, finde ich. Z.B. muss man sich immer vor Augen halten, dass dies Linien im 4-dim. Raum mit Minkowski-Metrik sind, wo z.B. erstaunlicherweise die Geraden zwischen 2 Ereignissen (die inertial Reisende ja zurücklegen) am längsten sind; deshalb altern sie ja mehr.

Das kann sein, obwohl ich das persönlich nicht glaube.

Das Problem ist, dass ich meinen Ansatz nie wirklich durchexerzieren kann, weil jeder schon irgendwie was weiß, oder meint, was zu wissen. Man muss immer erst mal mit irgendwelchen falschen Vorstellungen aufräumen.

[TheoC]

Ich hab das Gedankenexperiment mit dem kreisförmig fliegenden Zwilling erweitert um ein mächtiges schwarzes Loch in der Mitte.

Ein Zwilling, ausserhalb des SR, aber schon im Einfluss der Graviation des SL "steht" an einem fixen Punkt (unser SL rotiert nicht), muss also, um an diesen "Fixpunkt" zu bleiben, ständig beschleunigen um nicht in das SL zu fallen.
Der andere Zwilling fliegt mit hoher Geschwindigkeit um das SL herum, wobei die Fliehkraft exakt gleich ist wie die Anziehungskraft.

Der "stehende" Zwilling ist somit ständig beschleunigt (kann er messen durch die Kraft mit der es ihm an die Wand drückt), der rotierende nicht (ist schwerelos), zumindest nicht nach der ersten Runde, nachdem er einmalig beschleunigt worden ist.

Der rotierende Zwilling trifft zyklisch den stehenden Zwilling, und durch Uhrenvergleich (wenn die Zwillinge nach einer Umdrehung des rotierenden Zwillings wieder am selben Punkt sind) kann jetzt leicht festgestellt werden, welche Uhr langsamer geht.

==> der schnell fliegende aber unbeschleunigte Zwilling alter weniger schnell.

Ist das korrekt?

lg
Theo

[Plankton]

Spannend jetzt.

[TomS]

Wie hast du den Zwilling auf einem Orbit angesetzt? a) auf einer Geodäte (kein Kreis oder Ellipse), oder b) auf einem exakten Kreis?

Für (b) must du die Periodendauer explizit berechnen; für (a) fällt sie bei der Lösung der Geodätengleichung mit ab.

Am einfachsten verwendest du zunächst einen Spezialfall, nämlich den stabilen, geodätischen und zugleich kreisförmigen Orbit beim 3-fachen des Schwarzschildradius r = 3RS, d.h. speziell (a = b).

In dem von mir verlinkten Beitrag steht eine Formel zu (b)

Außerdem siehe hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics

[TheoC]

Hi TomS

ich denke es ist eine Geodäte, auf der unser Zwilling fliegt, gleich einem um die Erde kreisenden Satelliten.

Eigentlich interessiert mich nur, ob mein Gedankenmodell stimmt, und wir hier einen Fall haben eines nicht beschleunigten, schnellen Zwillings, und eines permanent beschleunigten langsamen Zwilling, bei welchem der langsame, aber permanent beschleunigte Zwilling schneller altert.

lg + Danke
Theo

[TomS]

Zitat von TheoC

Hi TomS

ich denke es ist eine Geodäte, auf der unser Zwilling fliegt, gleich einem um die Erde kreisenden Satelliten.

Eigentlich interessiert mich nur, ob mein Gedankenmodell stimmt, und wir hier einen Fall haben eines nicht beschleunigten, schnellen Zwillings, und eines permanent beschleunigten langsamen Zwilling, bei welchem der langsame, aber permanent beschleunigte Zwilling schneller altert.

OK

Ich hatte nur gerade die einfache Rechnung zu einer Kreisbahn vor Augen, die nicht unbedingt einer Geodäten entspricht. Es gilt

T^2(r,v) = [f(r) - v^2] t^2

T: Eigenzeit
t: Koordinatenzeit

Für großen Radius r geht f(r) gegen 1, d.h. wir erhalten das Ergebnis der SRT für flache Raumzeit.

Offensichtlich nimmt T mit wachsendem v ab. Außer dass wir hier ein f(r) statt einer 1 haben, sieht die Formel praktisch so aus wie in der ART. Die Schlussfolgerungen sind ähnlich. Die für beide identische Raumzeit-Geometrie, kodiert in f(r), beeinflusst beide gleich; der Unterschied in den Eigenzeiten resultiert ausschließlich aus v. Der Langsame altert also schneller, weil er langsamer ist. Dabei ist es auch gleichgültig, ob eine Geodäte vorliegt oder nicht.

Ich würde nicht mit "Beschleunigung", "Fliehkraft" usw. argumentieren.

Das Ergebnis ist ein Spezialfall und gilt so nicht für beliebige Raumzeiten. Insbs. kann man i.A. die Effekte der Raumzeit, hier f(r) sowie der Geschwindigkeit v nicht sauber trennen.