Kollision trotz parallelem Kurs?

[SCR]

Zitat von zeitgenosse

Antwort: Kompakt ist eine Fläche dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Und das trifft für einen Quader/Würfel zu - Richtig?

Zitat von zeitgenosse

[...] und somit auch nicht überall differenzierbar.

Um eine innere Krümmung an einem Punkt einer Fläche zu bestimmen benötige ich mindestens 4 umliegende (= jeweils zwei sich gegenüberliegende) Referenzpunkte - korrekt?

[Jogi]

Hi SCR.

Zitat von SCR

Jede endliche Fläche ist (positiv?) gekrümmt.

Wie kommst 'n da drauf?

zg versucht, die Verschiedenheit von Topologie und Geometrie klar zu machen, und du schmeißt beides wieder in einen Topf.

Und das trifft für einen Quader/Würfel zu - Richtig?

Nicht wirklich.
Kompakt kann nur eine Fläche sein.
Der Sechsflächner wird aber von deren sechs an der Zahl begrenzt, daher der Name.

Um eine innere Krümmung an einem Punkt einer Fläche zu bestimmen benötige ich mindestens 4 umliegende (= jeweils zwei sich gegenüberliegende) Referenzpunkte

Du kannst doch nicht zur Bestimmung der inneren Krümmung einer Fläche Referenzpunkte von einer anderen Fläche verwenden.
Das ist imho nämlich das was du die ganze Zeit machen willst.
Du willst damit der Gesamtheit der Flächen eine summarische Krümmung zuweisen, die der sphärischen Krümmung der Kugel (dem runden Würfel) entspricht.
Wozu?
Um zu zeigen, daß der Würfel der Kugel homöomorph ist? - Das ist trivial.

Ich muß immer wieder auf deine Eingangsfrage (paralleler Kollisionskurs) zurückkommen:
Das ist primär keine Frage der Topologie, sondern der Geometrie.
Und nichteuklidische Geometrien sind auf den verschiedensten Topologien denkbar, egal ob kompakt, berandet, einfach zusammenhängend...

Zwischenfazit:
Wenn wir uns in die zwei Raumschiffe setzen, mit parallelem Kurs starten, den Joystick nicht anfassen und nach elfundachtzig Quintilliarden von Jahren immer noch den gleichen Abstand voneinander messen, dann können wir ziemlich sicher sein, in einem euklidischen 3Raum zu Leben.
Ob dieser aber einen Rand hat, und wie dieser aussieht, wissen wir dann immer noch nicht.

In allen anderen Fällen (Kollision/zunehmender Abstand) können wir vom nichteuklidischen 3Raum ausgehen.
Dabei müssen wir aber alternativ zu einer weiteren räumlichen Dimension auch über die zeitliche Dimension nachdenken, die Abstandsveränderung könnte ja auch der Expansion/Kontraktion und damit der zeitlichen Inhomogenität geschuldet sein.


Gruß Jogi

[möbius]

Das Problem könnte nach wie vor in der Frage liegen:
Warum existiert das Universum
Aber die Physiker/Kosmologen/String-Theoretiker/Loop-Quantengravitationstheoretiker usw. sind ja erst einmal damit beschäftigt, die Frage nach dem WIE zu beantworten ...
Gruß, möbius

[SCR]

Hallo Jogi,

Zitat von Jogi

Wie kommst 'n da drauf?

Lass' uns das bitte hinten anstellen - Das klärt sich vermutlich von alleine (und Du wirst am Ende wahrscheinlich dabei Recht behalten ).

Zitat von Jogi

Nicht wirklich.

Aha (Ein einfaches "Ja" oder "Nein" kennen Physiker wohl nicht ).

Zitat von Jogi

Du kannst doch nicht zur Bestimmung der inneren Krümmung einer Fläche Referenzpunkte von einer anderen Fläche verwenden. Das ist imho nämlich das was du die ganze Zeit machen willst. [...]

Das mag IYHO sein ist aber nicht IMHO:
Ich wollte mich versichern wieviele Umgebungs-Punkte man braucht um die innere Krümmung an einem Punkt einer Fläche zu bestimmen.
Wer spricht jetzt hier von anderen Flächen? Also ich nicht.
(So kommen wir dann zwangsläufig zu einer differenzierten Betrachtung der Punkte innerhalb der Fläche und der an der Kante - Oder etwa nicht?).

Zitat von Jogi

Zwischenfazit:
Wenn wir uns in die zwei Raumschiffe setzen, mit parallelem Kurs starten, den Joystick nicht anfassen und nach elfundachtzig Quintilliarden von Jahren immer noch den gleichen Abstand voneinander messen, dann können wir ziemlich sicher sein, in einem euklidischen 3Raum zu Leben.
Ob dieser aber einen Rand hat, und wie dieser aussieht, wissen wir dann immer noch nicht.
In allen anderen Fällen (Kollision/zunehmender Abstand) können wir vom nichteuklidischen 3Raum ausgehen.
Dabei müssen wir aber alternativ zu einer weiteren räumlichen Dimension auch über die zeitliche Dimension nachdenken, die Abstandsveränderung könnte ja auch der Expansion/Kontraktion und damit der zeitlichen Inhomogenität geschuldet sein.

Kein Widerspruch (find' ich sogar recht adrett ).

[SCR]

Hallo zg,

Zitat von zeitgenosse

Topologisch sind Kugel und Würfel einander somit verwandt.

Topologisch sind eine abgeschlossene Kugel und ein abgeschlossener Quader identisch.
Falls Nein: Worin bestehen die topologischen Unterschiede?

[Eyk van Bommel]

Hi Jogi,
schön dass ich mal wieder mit dir Diskutieren kann – wie geht’s

Zwischenfazit:
Wenn wir uns in die zwei Raumschiffe setzen, mit parallelem Kurs starten, den Joystick nicht anfassen und nach elfundachtzig Quintilliarden von Jahren immer noch den gleichen Abstand voneinander messen, dann können wir ziemlich sicher sein, in einem euklidischen 3Raum zu Leben.
In allen anderen Fällen (Kollision/zunehmender Abstand) können wir vom nichteuklidischen 3Raum ausgehen

Das sehe ich nicht ganz so. Man spricht ja gerne von der Raumzeit.
Daher (wie immer IMHO)
Würde Abstand größer, dann vergeht die Zeit schneller.
Wird der Abstand kleiner, dann vergeht die Zeit langsamer.
Abstandmessung erfolgt über z.b. Photonen = Abstand bleibt (lokal) konstant
Meine Erfahrung/Fazit:
Die Welt erlaubt uns nicht lokal Änderungen in der Raumzeit zu messen.

Gruß
EVB

[Jogi]

Zitat von SCR

Ich wollte mich versichern wieviele Umgebungs-Punkte man braucht um die innere Krümmung an einem Punkt einer Fläche zu bestimmen.

Ich bin kein Geometer, aber ich würde sogar sagen, sechs.
Soweit ich es verstanden habe, muß man die Winkelabweichungen eines Dreiecks messen, das man vergrößert oder verkleinert.
In hyperbolischen Geometrien verkleinern sich die Winkel beim Vergrößern des Dreiecks, in quantitativer Abhängigkeit vom Krümmungsgrad (et vice versa).

Wer spricht jetzt hier von anderen Flächen? Also ich nicht.

Sorry, ich dachte, es geht dir um die Gesamtkrümmung der kompletten Körperoberfläche, einer Näherung zur äquivalenten Sphäre.

(So kommen wir dann zwangsläufig zu einer differenzierten Betrachtung der Punkte innerhalb der Fläche und der an der Kante - Oder etwa nicht?).

Brauchen wir das?
Der letzte Punkt einer Fläche gehört nunmal zu ihrem Rand (und damit zur Fläche).
Ob dieser Punkt gleichzeitig zu einer anderen Fläche gehört ist doch schnurz, ein Punkt ist nulldimensional, davon kannst du beliebig viele zusammenpacken, die brauchen immer noch keinen Raum (nicht mal im 1Raum).

Ein Randpunkt unterscheidet sich selber nicht von einem Punkt in der Fläche, nur seine Umgebung (in diesem, und nur in diesem 2Raum) ist eine andere.
Der Punkt ist nicht ringsum von anderen Punkten umgeben.
Deshalb ist dieser 2Raum auch hier zu Ende, es geht einfach nicht weiter.


Gruß Jogi

[Jogi]

Hi Eyk.

Zitat von Eyk van Bommel

Hi Jogi,
schön dass ich mal wieder mit dir Diskutieren kann – wie geht’s

Es ging schon mal besser, aber das wird schon wieder...

Die Welt erlaubt uns nicht lokal Änderungen in der Raumzeit zu messen.

Gut aufgepasst.
Was schließen wir daraus?
- Mit dieser Methode lässt sich das fünfte Postulat also auch nicht beweisen/widerlegen.
Zumindest dann nicht, wenn die Krümmung allein zeitlicher Natur ist.


Gruß Jogi

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Jede endliche Fläche ist (positiv?) gekrümmt.

In Bezugnahme auf die elementare Differentialgeometrie (Gaußsche Flächentheorie) gilt:

Du bestimmst zwei Schmiegekreise (diese verkörpern die beiden Hauptkrümmungen einer Fläche):

http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmungskreis

http://www.ottmarlabonde.de/L1/Kruemmung01.html

Die Schmiegekreise befinden sich auf zueinander senkrecht stehenden (Hilfs)-Flächen, welche die zu untersuchende Fläche in der am Ort der Krümmung anliegenden Tangentialebene lotrecht schneiden:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi..._planes-en.svg

Daraus lässt sich die lokale Krümmung berechnen:

K = k1k2 = 1/(R1R2)

Für eine ebene Kurvenkrümmung reicht bereits ein einziger Schmiegekreis. Für eine Fläche benötigst du deren zwei (weil die Fläche bekanntlich mehr Freiheitsgrade besitzt).

Für eine 2-Sphäre (Kugeloberfläche) ergibt sich somit eine Gaußsche Krümmung von:

K = 1/R²

Beim Kubus (Würfel, Quader) ist es schwieriger, weil die Krümmung an den pathologischen Zonen (Ecken) nicht ermittelbar ist. Ansonsten sind seine sechs Flächen so eben wie die Euklidische Ebene.

Die totale Krümmung eines Körpers ergibt sich aus dem Oberflächenintegral über den Bereich einer Oberfläche. Um tiefer in diese Materie einzudringen, muss der Riemannsche Krümmungstensor bemüht werden. Umfassende Kenntnisse aus der Differentialgeometrie sind dazu meist unerlässlich. Ansonsten stochert man bloss im Trüben herum.

Zur Vertiefung ist der Griff zur Fachliteratur somit angesagt, z.B. mittels folgender Auswahl:

- Kühnel, Differentialgeometrie (Vieweg+Teubner)

- Bär, Elementare Differentialgeometrie (de Gruyter)

- Klotzek, Einführung in die Differentialgeometrie (Verlag Harri Deutsch)

Gr. zg

[Timm]

Zitat von Jogi

Zwischenfazit:
Wenn wir uns in die zwei Raumschiffe setzen, mit parallelem Kurs starten, den Joystick nicht anfassen und nach elfundachtzig Quintilliarden von Jahren immer noch den gleichen Abstand voneinander messen, dann können wir ziemlich sicher sein, in einem euklidischen 3Raum zu Leben.

Einspruch, Jogi,

das kann - schon der mitlesenden Leute zuliebe - so nicht stehen bleiben.

Ein euklidisches Universum (K=0) ist nicht statisch! Es expandiert für alle Zeiten. Die Raumschiffe entfernen sich voneinander.

Gruß, Timm