Selbstorganisation der Materie

[richy]

Zum Kohonen Netzwerk .
Das ist ein selbstorganisierendes Netzwerk mit einem recht einfachen Funktionsprinzip und verblueffenden Eigenschaften. Im Netz gibt es recht viele Informationen dazu.
http://de.wikipedia.org/wiki/Selbstorganisierende_Karte
http://wiki.atrox.at/index.php/Kohonen-Netzwerk

Eine Standardanwendung ist das Problem des Handlungsreisenden, fuer das es mit traditionellen Verfahren keinen effizienten Loesungsalgo gibt. Auf der Webseite hier kann man die Loesung mittels eindimensionalem Kohonen Netzwerk selbst ausprobieren:
http://www.htw-dresden.de/~iwe/Belege/Boerner/
Mit dem Schalter With Animation sieht man sehr schoen die Arbeitsweise.

Das Netzwerk ist sehr einfach auf dem Rechner zu implementieren.
Ich habe es auch schon fuer ein Triangulationsproblem verwendet.
Allerdings arbeitete es dort nicht ganz fehlerfrei.
(Aha, der Prof hier hatte die selbe Idee :-)
http://www.neuroinformatik.ruhr-uni-...moGNG/GNG.html
Speed: very fast waehlen. Delaunay Triangulation
Und aha. Mit einem Neural Gas Netzwerk waere ich damals erheblich besser gefahren.
Merde, leider gabs damals kaum Infos im www darueber :-)
Allerdings arbeitet das Netzwerk im Link auch nicht 100 % fehlerfrei.
Macht dennoch total Spass damit herumzuspielen :-)

BTW:
Effiziente Delaunay Triangulation ist wie der Handlungsreisende mit herkoemmlichen Algorithmen eine sehr anspruchsvolle Aufgabenstellung.

ciao

[quick]

Hallo Hamilton,

Zitat von Hamilton

Der Begriff Selbstorganisation ist so weit gefasst, dass er auch einfache Systeme ohne chaoscharakter mit einschließt.
Nehmen wir z.B. ein Räuber-Beute-System

Durch die "Mathematikerbrille" gesehen mag dies so erscheinen.
Nehme ich aber eine "Biologenbrille" sieht es wieder anders aus.
Was ich damit sagen möchte, ist, dass sich mathemathische(s) Selbstorganisation/Chaos vom natürlichen doch in einigen Punkten unterscheidet.
Ganz wichtig erscheint mir in der Natur die Erschöpflichkeit zu sein. Sie führt automatisch zu einer Selbstbegrenzung. Das mathematische Chaos schöpft hingegen aus unendlich vielen Zahlen. (Bitte korrigieren, wenn ich mich hier irre.)

Das Räuber-Beute-System ist bereits hochorganisierte Materie, dennoch ist auch hier das (natürliche) Chaos mehr oder weniger sichtbar/verborgen, z.B. im Verhalten und im Organismus der Lebewesen.
Eine Virusinfektion wäre mit dem von Dir beschriebenen Schmetterlingseffekt vergleichbar.
Was Attraktoren anbelangt, habe ich das Gefühl, dass sie sich entsprechend dem Organisationsgrad verästeln und sich auch als Fraktal bescheiben lassen müßten. -Ein (Gedanken-)Blitz?

mfg
quick

[Hamilton]

Das mathematische Chaos schöpft hingegen aus unendlich vielen Zahlen. (Bitte korrigieren, wenn ich mich hier irre.)

Das verstehe ich nicht ..?!

Dynamik und Chaos kann ich nur untersuchen, wenn ich von irgendetwas ein Modell in Form einer Abbildung oder ein paar DGLs habe.
Was Chaos außerhalb der Mathematik bedeutet? Dazu halte ich mich lieber bedeckt, weil ich mir nicht sicher bin, ob das überhaupt Sinn macht...

Attraktoren (insbesondere die von chaotischen Systemen) können gerne und oft Fraktale sein.
Die Hénon-map ist, glaub ich, ursprünglich auch ein Attraktor für irgendein Modell. Ein Querschnitt davon bidlet eine Cantor-Menge, was ein sehr einfaches Fraktal ist.

[richy]

Hi quick (Hamilton, deine Meinung zu dem Thema wuerde mich interessieren)

Das mathematische Chaos schöpft hingegen aus unendlich vielen Zahlen.
(Bitte korrigieren, wenn ich mich hier irre.)

Du irrst dich in dem Punkt schon etwas. Als Beispiel die diskrete logistische Gleichung, die ein Prototyp chaotischer Systeme darstellt :
y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k))
Der Ausdruck r*y(k) verkoerpert ein exponentielles Wachstum.
(1-y(k)) ist ein (Raeuber) Term, der diesem Wachstum entgegenwirkt.
Die Zeitschritte sind quantisiert und man koennte auch die Werte y(k) kuenstlich quantisieren ohne dass sich an dem Verhalten der Gleichung etwas aendern wuerde.
Der Zahlenvorrat waere dann keineswegs unbeschraenkt.

Im Gegenteil. Das chaotische Verhalten der Gleichung basiert darauf, dass das unbeschraenkte Wachstum der Gleichung y(k+1)=r*y(k) ueber den Term (1-y(k)) auf die Werte 0..1 begrenzt wird.

Es gibt aber tatsaechlich einen Unterschied zwischen physikalischem und mathematischem Chaos. .

Zunaechst die Fakten. Die besagen:
Satz 1)
Dass Differenzengleichungen und Differentialgleichungen ein voellig anderes Loesungsverhalten aufweisen koennen. Selbst dann, wenn die Differenzengleichung die diskretisierte Form (also Rechnersimulation) der Differentialgleichung darstellt.

Insbesonders gilt :
Bereits eine nichtlineare Differenzenlgleichung erster Ordnung (Bsp. logistische Abbildung) kann ein chaotisches Verhalten aufweisen.

Im Gegensatz dazu kann eine nichtlineare Differentialgleichung erst ab der Ordnung 2 ein chaotisches Loesungsverhalten aufweisen.
Ein Beispiel hierfuer waere die Differentialgleichung des chaotischen Pendels.
VORSICHT. DIESE AUSSAGE IST NUR UNTER VORBEHALT ALS GUELTIG ANZUSEHEN Siehe (*)

Das analoge (physikalische) Gegenstueck der logistischen Gleichung ist die logistische Differentialgleichung. Und sie ist wie die logistische Gleichung von der Ordnung 1. Da sie analog ist, kann sie kein chaotisches Verhalten aufweisen und weist daher ein voellig anderes Loesungsverhalten auf.
Im Rahmen einer Rechnersimulation wuerde man die logistische Gleichung einfach als instabile Implementation betrachten.

So weit so gut. Das ist alles noch verstaendlich.
So richtig kniffelig wird es dann, wenn ich mir folgende Frage stelle :

Frage 1)
Sind Raum und Zeit analoge Groessen oder quantisiert ?

(*)
Betrachten wir dazu das chaotische Pendel. Dieses wird durch eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben.
(Oder durch ein System von zwei DGLs erster Ordnung)
Jetzt wird es etwas komplizierter !
Ich hoffe die folgenden Gedankengaenge kann man dennoch nachvollziehen.
Der Lohn dafuer waere ein kleines mathematisch / physikalisches Paradoxon.

Die DGL des chaotischen Pendels ist (natuerlich) unloesbar !
(Warum natuerlich ?)
a)
Stellen wir uns vor wir geben Parameter und Anfangsbedingungen vor, die im physikalischem Modell zu einem chaotischen Verhalten fuehren.
Die Modellgleichung muesste also eine chaotische nichtperiodische Loesung aufweisen.
Alleine von diesem Aspekt her betrachtet.
Koennten wir die Gleichung loesen.
Wie sollte solch eine Loesung analytisch formulierbar sein ?
loesung(t)= ?

b)
Die Frage stellt sich aber deshalb schon gar nicht, weil wir solch eine Gleichung analytisch bisher nicht loesen koennen.
Das muss man sich im folgenden vor Augen halten !

Wie koennen wir unter diesen Voraussetzungen dann aber darauf schliessen, dass die DGL chaotische Loesungen aufweist ?
Dazu haben wir zwei Moeglichkeiten.

1) Wir simulieren die Gleichung auf dem Digitalrechner.
Dazu muessen wir diese diskretisieren. Satz 1) besagt aber, dass wir mit der Diskretisierung fundamental den Loesungscharakter der DGL veraendern.

2) Wir bauen uns ein physikalisches Pendel
Wir sehen : Das Pendel bewegt sich chaotisch.
Damit waere im Versuch gezeigt, dass auch analoge Systeme 2 ter Ordung ein
chaotisches Verhalten aufweisen koennen.

Jetzt erinnern wir uns aber an Frage 1)
Wer garantiert uns, dass die Natur analog und nicht diskretisiert ist ?
Verhaelt sich unser Pendel im Versuch vielleicht auch nur deshalb chaotisch, weil es einer Differenzengleichung genuegt, genauso wie in der Rechnersimulation, anstatt einer Differentialgleichung ?

Zur Erinnerung :
Analytisch koennen wir ueber das Loesungsverhalten der DGL des chaotischen Pendels keinerlei Aussage treffen.
DENN DIESE GLEICHUNG IST ANALYTISCH NICHT LOESBAR !
Wir koennen aus der Unloesbarkeit nicht einfach auf eine determiniert zufaellige (chaotische) Loesung schliessen.

Jetzt argumentieren wir :
Das chaotische Pendel zeigt im Versuch ein chaotisches Verhalten.
Daraus schliessen wir, dass die zugehoerige DGL ebenfalls chaotische Loesungen aufweisen muss.
Dazu muessen wir aber voraussetzen, das die physikalische Natur nicht diskretisiert ist. Wer garantiert uns das ?
Wer garantiert uns, dass das physikalische chaotische Pendel sich nicht deshalb chaotisch verhaelt, weil es einer Differenzengleichungen genuegt, wie in der Rechnersimulation und nicht einer Differentialgleichung ?

Ueber diese Problematik bin ich letztendlich auch bei B.Heim gelandet.
Was waere wenn Raum und Zeit quantisiert waeren ?
Heim schliesst aus seiner modifiziertem Massenformel auf solch eine Quantisierung. Damit quantisiert er die Grundgleichungen der ART.
Es ist aufgrund der obigen Betrachtungen einsichtig, dass sich hiermit nicht nur quantitativ neue Loesungen ergeben.
Es ergibt sich ein qualitativ neues Loesungsverhalten der nichtlinearen Grundgleichungen der ART. DZGL und DGL unterscheiden sich fundamental.

Vielleicht auch ein wichtiger Faktor warum RT und QM scheinbar nicht zusammen passen.
Dass Heims Loesungen der Grundgleichungen der ART nun sogar einen 6D oder 12 D Hyperraum erfordern.

Mir erscheint dies logisch.

[quick]

Hallo Hamilton,

Zitat von quick

Das mathematische Chaos schöpft hingegen aus unendlich vielen Zahlen. (Bitte korrigieren, wenn ich mich hier irre.)

Zitat von Hamilton

Das verstehe ich nicht ..?!

Wie so häufig hatte ich bei dieser Aussage eine bildhafte Vorstellung vor Augen: die Strukturen beim Apfelmännchen lassen sich theoretisch bis in alle Ewigkeit erkunden und immer sieht man Neues (Denke ich jedenfalls) .
Die "Ressourcen" zur Selbstorganisation der Materie (Baumaterial, Platz, Energie, Stabilität usw.)sind aber endlich, sodass über kurz oder lang Recyclingprozesse einsetzen (müssen).

Zitat von Hamilton

Was Chaos außerhalb der Mathematik bedeutet? Dazu halte ich mich lieber bedeckt, weil ich mir nicht sicher bin, ob das überhaupt Sinn macht...

Aber schön ist es trotzdem, -oder? Wenn ich so auf meinen Scheibtisch blicke...

mfg
quick

[seberta]

"Lösungen von Grundgleichungen der ART" sind das eine -
empirisch-experimentelle-Beobachtungsdaten sind das andere.

Welche Möglichkeiten der empirischen Überprüfbarkeit von 6D oder 12 D Hyperräumen gibt es zum gegenwärtigen Zeit-Punkt?
seberta

[Hamilton]

Bereits eine nichtlineare Differenzenlgleichung erster Ordnung (Bsp. logistische Abbildung) kann ein chaotisches Verhalten aufweisen.

Ja

m Gegensatz dazu kann eine nichtlineare Differentialgleichung erst ab der Ordnung 2 ein chaotisches Loesungsverhalten aufweisen.

Ähm, nein, ich glaube, es muss mindestens dritter Ordnung sein.
Bzw. aus drei DGL 1.Ordnung bestehen, was ja irgendwie das selbe ist

Ein Beispiel hierfuer waere die Differentialgleichung des chaotischen Pendels.

Bist du dir da absolut sicher? http://scienceworld.wolfram.com/phys...ePendulum.html
Es sind zwei DGL zweiter Ordnung, so wie ich das hier sehe.

Wie koennen wir unter diesen Voraussetzungen dann aber darauf schliessen, dass die DGL chaotische Loesungen aufweist ?

Man kann die Lyapunowexponenten bestimmen. ich hab leider vergessen wie, aber das steht irgendwo.. Für Chaos ist mindestens einer positiv.

[quick]

Hallo richy,

herzlichen Dank für Deine wirklich gehaltvollen Beiträge.
Meinem neuronalen Netzwerk will es einfach nicht gelingen, sich adäquat an mathematische Formeln anzupassen.

Ich habe mich also geirrt: Der Unterschied zwischen mathematischem Chaos und Materie-chaos liegt nicht im jeweiligen Mengenvorrat begründet.

Bei dem Unterschied, den Du herausgearbeitet hast, fällt mir vor allem auf, dass das mathematische Chaos ein deterministisches ist, obwohl -wie ich gelernt habe- eine Langzeitvorhersage nicht möglich ist.

Im Gegensatz zur Differenzengleichung der Logistischen Gleichung wäre die entspr. DGL 1.Ordnung wie eine "instabile Implementation".

Zitat von richy

Im Rahmen einer Rechnersimulation wuerde man die logistische Gleichung einfach als instabile Implementation betrachten.

Ich vermute, in einer natürlichen Umgebung kann beides stattfinden.
Zum Beispiel an der Phasengrenzfläche einer auskristallisierenden Substanz.
Wenn die Bedingungen unter Kontrolle sind (determiniert) bekommt man schöne große Kristalle. Man könnte aber auch z.B. schockgefrieren. Ergebnis: -ein schlecht beschreibbarer Brocken.
Passiert dies wegen der Unlösbarkeit einer DGL x.-ter Ordnung, oder weil die "Determinierung" im natürlichen Geschehen ihre Zeit braucht?

Ob Deine, bzw. Heims Überlegungen zwingend eine Quantisierung von Raum/Zeit verlangen, kann ich noch nicht ganz nachvollziehen.

Aus einem Bauchgefühl heraus würde ich sagen, die Zeit ist an sich analog. Sollte der Raum aber quantisiert sein, müßte ein Teil der Zeit virtuell werden, -bei Messvorgängen nicht erfassbar sein.

Lass Dich vom "Chaos" nicht unterkriegen.
Eine glückliche Hand beim Regeln der Parameter...

mfg
quick

[Gandalf]

Hi!

fällt mir vor allem auf, dass das mathematische Chaos ein deterministisches ist

gibt es denn ein mathematisches Chaos das 'nicht deterministisch' ist?

[richy]

Hi
@Hamilton
Vielen Dank, dass du dir die Muehe gemacht hast mit meinem Thread.
Die DGLs des Doppelpendels sind tatsaechlich 2 Gleichungen 2 ter Ordnung, entsprechen also einer DGL 4 ter Ordnung.

Ähm, nein, ich glaube, es muss mindestens dritter Ordnung sein.
Bzw. aus drei DGL 1.Ordnung bestehen, was ja irgendwie das selbe ist

Wahrscheinlich denkst du hier an das drei Koerperproblem. Im Netz habe ich mal die Angabe 2 ter Ordnung gefunden. Der Duffing Oszillator ist auch zweiter Ordnung und weist seltsame Attraktoren auf. Ganz sicher bin ich mir auch nicht.
Der Vergleich logistische Gleichung und logistische DGL zeigt aber bereits, dass beide Typen ein voellig anderes Loesungsverhalten aufweisen. Auf das wollte ich letztendlich hinaus.

Man kann die Lyapunowexponenten bestimmen. ich hab leider vergessen wie, aber das steht irgendwo..

Fuer Differenzengleichungen 1 ter Ordung steht das z.B auf meiner HP :-)
http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le1.htm

Ansonsten danke, dann das waere tatsaechlich die Loesung meiner Frage.
Allerdings unter der Voraussetzung, dass man den Ljapunuwexponenten der DGL analytisch bestimmen kann. Ansonsten wuerde man wiederum auf eine Diskretisierung zurueckgreifen.
Wie dies bei DGLs gehandhabt wird weiss ich momentan auch nicht. Ich muesste also nach Stabilitaetskriterien suchen, die analytisch fuer eine DGL hergeleitet werden koennnen. Denke mal so etwas gibt es.
Damit waere meine Aufgabenstellung geloest. Danke :-)

@quick

Bei dem Unterschied, den Du herausgearbeitet hast, fällt mir vor allem auf, dass das mathematische Chaos ein deterministisches ist,

Da wuerde ich zunaechst mal klar sagen : Ja (unter vorbehalt)
Wenn du eine chaotische Differenzengleichung nimmst oder einen numerischen Zufallsgenerator. Du erzeugst die Zufallszahlen indem du ein Programm ablaufen laesst. Das Programm ist festgelegt, determiniert. Die Zufallszahlen sind somit immer determiniert.

Der Vobehalt :
Unter den oben bereits genannten Gruenden ware dies bei einer DGL etwas anders. Ich kann sie ja nicht loesen. Koennte ich es waere die Loesung determiniert. Genauso bei einer Simulation auf dem Rechner.
Ich kenne verflixt noch mal keine explizite undeterminierte zufaellige mathematische Funktion :-) Ich kann mir nicht einmal vorstellen wie diese aussehen sollte. Ein undeterminiertes rnd(k) ohne Input aus der physikalischen Welt.

Wollte ich eine Diskretisierung vermeiden, koenntze ich die DGL auf dem Analogrechner simulieren. Dann waere es aber eine physikalische Loesung und wahrscheinlich durch Toleranzen nicht mehr determiniert.
(Eine Lottoziehung findet immer im fast gleichen System statt, das Ergebnis ist aber nicht determiniert)

Pauschal koennte man aber schon sagen, dass der mathematische Zufall immer determiniert ist. Der physikalische ist komplexer. Eine Mischung aus determiniertem Zufall und letztendlich diesem seltsamen physikalischen Zufall der Quantenebene. Dieser muss meiner Meinung nach daher auch seine Ursache ausserhalb unserers Systems dem 4 D Raum haben.
Dementsprechend auch unsere Ratlosigkeit bei der Endstation Wahrscheinlichkeitswelle.

Ob Deine, bzw. Heims Überlegungen zwingend eine Quantisierung von Raum/Zeit verlangen, kann ich noch nicht ganz nachvollziehen.

Meine Ueberlegung fuehrt eher zu einer Unentscheidbarkeit. Und Hamilton hat eine Loesung dafuer angegeben. Zudem ist die raumlich zeitliche quantisierung sicherlich so fein, dass meine Ueberlegung auch nicht greift. ( Ich habe mir dennoch vor 20 Jahren mal einen Laser gekauft um damit diesbezueglich zu experimentieren. Beim Spaltversuch muesste sich im quantisierten Fall das Beugungsbild periodisch vortsetzen. Naja ich war damals jung und naiv.
Quantenmechanik am Kuechentisch :-)

Heims Ansatz ist ganz anderer Art. Die Quantisierung folgt fundamentaler aus dem korrigierten Massengesetz. Bei ihm ist bedes quantisiert Raum und Zeit.

@seberta

Welche Möglichkeiten der empirischen Überprüfbarkeit von 6D oder 12 D Hyperräumen gibt es zum gegenwärtigen Zeit-Punkt?

Die Heim Theorie und damit der 6 D Raum ist angeblich seit Jahren schon in CERN falsifiziert.
(bzw nur 8 D ergibt sich ein vollstaendiges Modell, Information traegt mit dazu bei die Welt im innersten zusammenzuhalten)
Es gibt meines Wissens keine Dementi gegen diese Experimente, sie werden einfach ignoriert.
Hier kannst du Ergebnisse zu Heims theoretischen Vorhersagen und den Messwerten finden.
http://www.heim-theory.com/downloads...Ergebnisse.pdf
Di uebrsichtlichere englischsprachige Zusammenfassung bei en.wiki.org wurde leider vom Netz genopmmen.
Falls man dem allen keinen glauben schenkt, stellt die Theorie dennoch ein schoenes Beispiel dar, wie denn eine "TOE" in etwa aussehen wuerde. Wobei Heim diesen TOE anspruch selbst nicht gestellt hat. Es ist eine vereinheitlichte Feldtheorie.

Viele Gruesse an einem trostlosen Novembertag