Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[richy]

Aber an 4=4 lässt sich doch wohl nicht rütteln, oder?

Nein, selbstverstaendlich nicht. Und ich bemerkte ja, dass der Betrag stimmt.
Und ebenso sehe ich ein, dass der Vektor exp(i*2*0) in die selbe Richtung zeigt wie der Vektor exp(i*2*Pi). Und das sind die Richtungen die sich ergeben wenn ich nach der komplexen Gebrauchsanweisung vorgehe. Darin ist stets enhalten, wie die Gleichung zustande kam. 2^2 oder(-2)^2 faellt nicht vom Himmel. Sondern den Ausdruck kann man durch folgende Operationen konstruieren :

2=-2 (ok, druecken wir erstmal ein Auge zu. Das konnen wir reparieren)
2^2=(-2)^2

In der komplexen Darstellung bleibt der Ansatz jedoch stets erhalten. Dass man die Gleichung nicht auf beiden Seiten einfach radiziert entspricht hier der Maßnahme dass man z.B. von exp(i*2*Pi) das Argument um 2*Pi zurueckdreht nach exp(i*0*Pi)

Und nochmal : Ich bemerke das nur, weil dies der Grund fuer die diskutierte Ungleichung ist.
Im Rellen laesst sich x^2 und (-x)^2 nicht unterscheiden. Im Komlexen waere dies moeglich, aber man verzichtet darauf und richtet sich an die Vorgaben im Reellen.

Daraus ergibt sich die Konvention, dass man die Winkel im Komplexen nur auf einem Ast betrachtet :

4*exp(i*2*0+m*2*Pi)=4*exp(i*2*P+n*2*Pi, ) fuer m=0, n=-1 folgt
4*exp(i*2*0)=4*exp(i*2*0)

Man betrachtet das Argument als Mehrdeutig um damit den gewohnten Verhaeltnissen im Reellen gerecht zu werden. Ok akzeptiert.
Und unter dieser Konvention akzepiere ich dann auch : 2^2=(-2)^2

Allerdings wuerde ich lieber formulieren : Die Gleichung x^2=4 hat die Loesungen 2 und -2

[richy]

Wie erklaert sich mit der vereinbarten Konvention diese Ungleichung ?




Man drueckt die Groessen in Exponentiaschreibweise aus.
Wenn das Argument groesser gleich 2*Pi ist zieht man von diesem 2*Pi ab.
Das passiert bei Wurzel((-1)(-1))=1
Und so ergibts sich der Zusammenhang in der Grafik.

[Hawkwind]

Zitat von richy

Wie erklaert sich mit der vereinbarten Konvention diese Ungleichung ?




Man drueckt die Groessen in Exponentiaschreibweise aus.
Wenn das Argument groesser gleich 2*Pi ist zieht man von diesem 2*Pi ab.
Das passiert bei Wurzel((-1)(-1))=1
Und so ergibts sich der Zusammenhang in der Grafik.

1 = sqrt{(-1)*(-1)}

ist ja zweifellos korrekt, denn 1 ist die positive Wurzel aus dem Produkt (-1)*(-1) - also 1.

Im nächsten Schritt machst du eine unzulässige Umformung auf der rechten Seite, denn

sqrt{(-1)*(-1)} != sqrt(-1) * sqrt(-1)

Das Produkt auf der rechten Seite ist nicht die positive Wurzel aus
sqrt{(-1)*(-1)}. Richtig wäre

sqrt{(-1)*(-1)} = [+sqrt(-1)] * [-sqrt(-1)]

sodass auf der rechten Seite das Produkt aus einer komplexen Zahl und ihrem komplex konjugiertem steht: i * (-i) - solche Produkte sind ja positiv reeell. Aber das weisst du eh alles. Dennoch ich gebe zu, ist es verblüffend, wie man hier mit den Operationen, die man im Reellen "aus dem Rückenmark heraus" macht, aufpassen muss: sqrt(a*b) = sqrt(a)*sqrt(b) ist nur korrekt, wenn die Wurzeln reell sind.

Gruß,
Hawkwind

[EMI]

Mal ein klein wenig Geschichtliches, falls es interessiert.

Die Potenz war schon durch ihre Anwendung bei geometrischen Berechnungen bzw. durch Gleichungen zweiten und höheren Grades im Altertum bekannt.
Die Babylonier hatten schon Tabellen mit Quadratzahlen und Potenzen. In den "Elementen" des EUKLID (4. Jh. v.u.Z.) findet man (a+b)² bereits ausgerechnet.
Zum ersten mal tritt der Begriff Potenz bei HIPPOKRATES (5. JH. v.u.Z.) auf, auch PLATON (427-347 v.u.Z.) hat ihn häufig verwendet.
Die jetzige Schreibweise der Potenz geht im wesentlichen auf DESCARTES zurück.

Wie die Potenzen waren auch die Wurzeln bereits im Altertum bekannt. Die Babylonier besassen bereits Tafeln von rationalen Quadratwurzeln.
Die irrationalen Quadratwurzeln wurden näherungsweise mit Hilfe des Verfahrens vom arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet.
Als Formel benutzte man dazu √(a²+b) ≈ a + b/2

Im Mittelalter wurde die Wurzelrechnung weiter ausgebaut. Im 9.Jh. wussten die Inder bereits, dass die quadratische Gleichung und die Quadratwurzel doppeldeutig sind, sowie, dass sich die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht reell bestimmen lässt.

Auch die alten Griechen hatten sich mit der Frage beschäftigt, die Länge der Seite eines Quadrates anzugeben, dessen Flächeninhalt bekannt ist.
Analog fragten sie auch nach der Länge der Seite eines Würfels dessen Rauminhalt bekannt ist und benutzen dazu die Kubikwurzel.

Wurzeln aus negativen Zahlen wurden seit dem 17.Jh. verwendet und führen seit dem den Namen: imaginäre Zahlen.
Die Mathematiker des 17.Jh. stützten sich dabei auf die 1572 erschienene Algebra von BOMBELLI, der bereits eine Theorie der reinimaginären Zahlen entwickelt hatte.
Die Lehre von den komplexen Zahlen wurde später durch BERNOULLI, EULER und vor allem durch GAUSS weiter entwickelt.
Auf GAUSS geht auch die Darstellung in der Ebene (Gaußche Ebene) zurück. Die komplexen Zahlen bilden die Grundlage für die Funktionentheorie.

Gruß EMI

[quick]

Hallo richy,

Zitat von richy

Und das Hamsterbeispiel hat nochmals gezeigt wo der Hase bei dem zitierten Widerspruch begraben liegt.
(-1)^2 =1. Hier geht die Information ueber das urspruengliche Vorzeichen verloren.
exp(i*2*Pi). In dieser Schreibweise bleibt das Ausgangsvorzeichen im Winkel erhalten.

Wurzel(exp(i*2*Pi))=-1
Wurzel(exp(i*2*0))=1

Mag sein, dass die Bezeichnung "Operator i" für "Normalos" wie dir und mir als übertrieben erscheint, je mehr ich aber drüber nachdenke, desto logischer erscheint es mir.....
Denk mal daran, was (stillschweigende) Konventionen/Vereinbarungen bedeuten. Die Art und Weise, wie man mit Operanden umgehen möchte, wird durch Operatoren vereinbart.

Das Zeichen rechts von der Gleichung

Wurzel(exp(i*2*0))=1
....was ist das?

Ein Bit, ein Byte, ein Brötchen?
Es ist eine Zahl (vereinbarungsgemäß), mit nichts dahinter! ....und davor?
Ach ja, .....ein Plus muß man sich denken.
Sonst noch was? Klar, es ist die zweite Zahl aus dem Dezimalsystem, usw....(jetzt fällt mir aber nichts mehr ein dazu )
Lange Rede, kurzer Sinn..., rechts vom Gleichheitszeichen steht eigentlich auch ein Operator. Der wirkt und ist natürlich ein anderer, als der links vom Gleichheitszeichen stehende.

Vielleicht könnten wir uns darauf einigen, dass "i" ein Vektor mit imaginärem Operator ist, bzw. ein Operator mit imaginärem Vektorcharakter?

mfg
quick

[Hawkwind]

Zitat von quick

Vielleicht könnten wir uns darauf einigen, dass "i" ein Vektor mit imaginärem Operator ist, bzw. ein Operator mit imaginärem Vektorcharakter?

mfg
quick

... oder gar ein Imaginär mit operativem Vektorcharakter ... ?

[quick]

Hallo Hawkwind,

Zitat von Hawkwind

Ja, die Bezeichnung von i als Operator ist etwas überzogen. dann wäre auch die Zahl 3 eine Operator, denn auf das Objekt 4 angewendet, erzeugt sie eine 12. i entsteht aus einer Verallgemeinerung der reellen Zahlen; es ist also eine Zahl.

Nein, bei deinem Beispiel 3*4 sind 3 und 4 die Operanden, "*" ist der Operator.

Bei "34" heißt die Operation vereinbarungsgemäß 4+(3*10). [In anderen Sprachen z.B. (3*10)+4 ]

"34" oktal interpretiert ergibt die interessante Zahl 42.

mfg
quick

[Benjamin]

i ist meines Erachtens absolut kein Operator. i ist die imaginäre Einheit, wobei "Einheit" eine durchaus tiefgründige Bezeichnung dafür ist. Auch die Einheiten der Physik werden als Dimension bezeichnet und in der Tat spannt i eine Dimension auf. Der Raum der reellen Zahl ist eindimensional, der Raum der imaginären Zahlen ebenso. Mit einander verknüpft ergeben sie den 2-dim. Raum der komplexen Zahlen.
Wobei "Raum" hier ein schwammiger Ausdruck ist, da die Zahlen eigentlich eine Menge darstellen und erst unter definierten Operationen zu einem Raum werden.

Wichtig für mich ist jedenfalls, dass man unterscheidet zwischen Zahlen, Operatoren und Vektoren. i ist nichts von all dem. i ist eine Einheit, kann daher aber als Einheitsvektor genutzt werden, wenn man einen entsprechenden Vektorraum definiert.
Operatoren sind grundsätzlich verschieden und repräsentieren Rechenoperationen! Siehe dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Operator_(Mathematik)

[quick]

Hallo Benjamin,

Zitat von Benjamin

i ist meines Erachtens absolut kein Operator. i ist die imaginäre Einheit, wobei "Einheit" eine durchaus tiefgründige Bezeichnung dafür ist.

Ich muß zugeben, bei genauerem Hinsehen, könntest du Recht haben.
"i" wäre nach deiner Logik also die elementare Einheit des eindimensionalen imaginären Zahlenraums.

Zitat von Benjamin

Wichtig für mich ist jedenfalls, dass man unterscheidet zwischen Zahlen, Operatoren und Vektoren. i ist nichts von all dem. i ist eine Einheit, kann daher aber als Einheitsvektor genutzt werden, wenn man einen entsprechenden Vektorraum definiert.

Das Hervorgehobene (durch mich) erscheint mir unklar.
Ich bin ja mathematisch ziemlich unbedarft, aber allein die Prozedur des "Vektor-machens" (Definieren) riecht für mich nach Operation und dafür brauch ich immer einen Operato(e)r!

In dem von dir angegebenen Link steht ein weiterer über lineare Operatoren.

Der Begriff Linearer Operator wurde in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt und ist synonym zum Begriff der linearen Abbildung. Eine lineare Abbildung ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper. Werden Vektorräume über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen betrachtet und sind diese mit einer Topologie versehen (lokalkonvexe Räume, normierte Räume, Banachräume), so spricht man vorzugsweise von linearen Operatoren.

Die Kompetenz der Macher von MATLAB möchte ich auch nicht in Frage stellen.....
"Why Use Operators for Complex Numbers?

Use operators to handle complex numbers because Stateflow action language does not support complex number notation (a + bi), where a and b are real numbers."

"i" als imaginäre Einheit zu betrachten finde ich ok.
Aber ich habe jetzt in diesem Zusammenhang so oft von Operator gelesen, wo ist er denn versteckt...?

mfg
quick

PS: Da fällt mir gerade ein, -die vielgesuchten "versteckten Variablen"-, sind das vielleicht versteckte Operatoren?

[quick]

Zitat von Hawkwind

... oder gar ein Imaginär mit operativem Vektorcharakter ... ?

*...das ultimative Sahnehäubchen!*


mfg
quick