z^(m/n)-z0=0

[richy]

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Hi
Hab die Threadteile hier verschoben

Im alten Forum ging es mal um komplexe Zahlen. Ich hatte mir dann die Aufgabe ausgedacht die Wurzeln der Gleichung z^(1/Pi)=i zu berechnen.
Mit folgendem Hintergedanken :

Eigenzitat aus dem alten Thread
Zitat:
Bei der Aufgabenstellung z^(1/Pi)=i lag der Gag in der unendlichen Anzahl von Loesungen. Ich war mir dabei aber nicht sicher.
Pi oder e sollten nur Repraesentanten fuer irrationale Zahlen sein.
Ich war mir auch nicht sicher, ob in der Aufgabenstellung
z^(n/m)=i, z=i^(m/n) (m,n element N, teilerfremd) der Zaehler m Einfluss auf die Anzahl der Loesungen nimmt.

Eine kleine Beispielrechnung hat gezeigt :
- Alleine n bestimmt die Anzahl der Loesungen
- m bestimmt die Anzahl der "Umdrehungen" in der komplexen
Ebene bis eine Periodizitaet auftritt.

z^(1/Pi)=i besitzt also unendlich viele Loesungen auf dem Einheitskreis.
Ebenso z^(1/e)=i
Jede Gleichung der Form z^(1/p)=i, (p irrational) weist unendlich
viele Loesungspunkte auf dem Einheitskreis auf.
Dabei hatte ich folgende Umformung benutzt:

i^p=exp(ln(i^p))=exp(p*ln(i))=
exp( p * [ ln|i| + i*(arg(i)+2*k*Pi) ] )=
exp( p * [ i*(Pi/2+2*k*Pi) ] )=
cos(p*(Pi/2+2*k*Pi))+i*sin(p*(Pi/2+2*k*Pi));

Selbiges Ergebnis erhaelt man ueber
1) i^p=
2) (exp(i*(Pi/2+2*Pi) ))^p =
3) exp(i*p*(Pi/2+2*k*Pi) ) =
4) cos( p*(Pi/2+2*k*Pi) ) +i*sin( p*(Pi/2+2*k*Pi) )

k element N
Diese Umformung scheint mir aber nicht fuer alle Zahlen p=m/n gueltig.
Fuer m=1 funktioniert die Rechnung.

Ist z^(1/p)=i nicht aequivalent zu allen Wurzeln von z=i^p ?
Wie berechne ich korrekt alle Loesungen von z^(n/m)=i ?
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Hi

Bin am verzweifeln, denn auch Maple liefert das falsche Ergebnis.

Beispiel:
z^(2/3)=i
Mein Loesungsweg liefert :
z1=-1/2*2^(1/2)+1/2*I*2^(1/2)
z2= 1/2*2^(1/2)-1/2*I*2^(1/2)

Selbiges Ergebnis liefert Maple wenn man eintippt:
> r:=solve(z^(n/m)=I,z);

Macht man nun die Probe erhaelt man :
z1^(2/3)= I (Der Hauptwert ist also korrekt)
z2^(2/3)= .8660254036-.4999999999*I

Was laeuft denn hier schief ?