|
Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben. |
|
Themen-Optionen | Ansicht |
#21
|
||||||
|
||||||
AW: Polya und Primzahlen
Hi Bauhof
Vielen Dank fuer die Quellenangabe. Ein Buch ueber Erdoes steht bei mir im Regal. Wohl zu lange her, dass ich das gelesen habe. Zitat:
Zitat:
Selbiges trifft dann auch fuer Timms Frage zu. Meine Naeherung ueber C*x*ln(x) waere auch nur eine qualitative Abschaetzung. Da nun aber bekannt ist dass die Summe der Primzalkehrwerte divergiert, koennte man das Majorantenkriterium verwenden.( Falls meine Vorgehensweise ueberhaupt korrekt ist das Produkt ueber den ln in eine Summe zu transformieren und dann zu argumentieren, dass wenn diese Summe divergiert auch das Produkt divergiert. ) Ich hab mir das nur mal kurz graphisch mit der Naeherung ln[(C*x*ln(x)-1)/(C*x*ln(x)-2)] angeschaut. Die scheint fuer alle C groesser zu sein als 1/(C*x*ln(x)) Wobei beide Funktionen fuer groessere Werte "fast gleich" sind. (Warum eigentlich ?) Korrekterweise muesste man dies statt C*x*ln(x) fuer die Primzahlen zeigen. Und dann waere Timms Produkt divergent. Ich vermute jetzt doch eher, dass es divergent ist. Zitat:
Zitat:
Ich bin davon aber nicht infiziert. Zitat:
Zitat:
Ge?ndert von richy (08.10.09 um 07:38 Uhr) |
#22
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
@Timm
Anhand der Vorbetrachtungen hatte ich eine Beweisidee : 1) Zeige dass gilt : exp(1/x) < (x-1)/(x-2), fuer alle x>epsilon, z.b. x>=3 Leider ist mir dies bisher noch nicht gelugen :-( Die Idee waere dann wie folgt gewsen : 2) Damit wuerde die Ungleichung auch fuer alle Primzahlen gelten : exp(1/p) < (p-1)/(p-2) 3) Untersuche statt product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) das Produkt product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) = exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity)) Dank Herrn Euler, Erdoes und Herrn Bauhof wissen wir, dass die Summe im Exponenten divergent ist Wuerde 1) gelten, so wuerde auch das Produkt product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) divergieren. Ge?ndert von richy (08.10.09 um 04:01 Uhr) |
#23
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
warum ich an der Bedingung 1) etwas zweifle :
1/p hat die Ableitung -1/p^2 ln((p-1)/(p-2)) hat die Ableitung -1/[(p-1)*(p-2)] -1/p^2 = -1/[(p-1)*(p-2)] hat nur eine Loesung p=2/3 Der Betrag der Ableitung von ln((p-1)/(p-2)) ist fuer p>3 groesser als der von 1/p. Und da sich beide Ableitungen hier nicht mehr schneiden bleibt dies auch so. ln((p-1)/(p-2)) faellt somit stets schneller als 1/p und muss 1/p daher zwangslaeufig schneiden. Bestenfalls im Unendlichen. Da beide Funktionen dort gegen Null streben scheint dies plausibel. Aber wie zeigt man dies ? Ge?ndert von richy (08.10.09 um 03:48 Uhr) |
#24
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
Folgendes scheint recht einfach zum Erfolg zu fuehren :
Zitat:
Anmerkung : die Taylorreihe von 1/(1-x) lautet 1+x+x^2+x^3+x^4 ... Zitat:
Und ich meine jetzt fuehrt das Minorantenkriterium tatsaechlich zum Erfolg. Betrachten wir nur : ∏(1-1/p)^-1 = ∞ p prim 1/(1-(1/p)) laesst sich auch schreiben als p/(p-1). Dies ist fuer p element N der direkte Nachfolger von (p-1)/(p-2). Da die Funktion monoton faellt gilt nun wirklich : p/(p-1)<(p-1)/(p-2) Und da dies fuer alle p gilt, gilt es auch fuer alle Primzahlen. Da das Produkt ueber p/(p-1) divergiert, divergiert auch das Produkt ueber (p-1)/(p-2). Jetzetles aber :-) Traera und A u s m a r s c h Ge?ndert von richy (08.10.09 um 22:53 Uhr) |
#25
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
hast du es schon mal mit der Regel von L'Hospital probiert? M.f.G. Eugen bauhof
__________________
Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#26
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
Hi Bauhof
Erstmal warum habe ich geschrieben die Funktionen streben gegen 0 ? exp(1/x) und (x-1)/(x-2) streben gegen 1 oder (1/x) und ln[(x-1)/(x-2)] streben gegen 0 Aber ich betrachte ja den Fall exp(1/x) und (x-1)/(x-2) "... streben gegen 1" waere korrekt. Zitat:
Geht auch z.B. ueber (1-1/x)/(1-2/x) 1) Fuer x>2 sind beide Funktionen streng monoton fallend. Das sieht man an den Ableitungen. 2) und fuer z.B. x= 2 oder x=3 ist (x-1)/(x-2) groesser als exp(1/x). Die Expo Funktion ist rot. 3) Die Funktionen "schneiden" sich im Unendlichen bei dem Wert 1 Kann ich daraus schon folgern dass die gruene Funktion stets groesser ist als die rote ? Sich beide also nur im Unendlichen schneiden und nicht zuvor ? Aber Maple hat ueber einen numerischen Loeser "behauptet" es gaebe zuvor schon ein Schnittpunkt. Bei x=360897195.4 Daher bin ich verunsichert. Das kann aber auch eine numerische Fehlfunktion sein. Was meinst du ? Im Grunde ist die Divergenz mit dem zweiten Beweis aber bestaetigt. Die erste Methode waere fast eleganter. Wobei Timm die Frage anscheinend nicht mehr interessiert :-) Gruesse richy Ge?ndert von richy (08.10.09 um 13:26 Uhr) |
#27
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
Falls ich das richtig verstehe, dann betrachtest du die Gleichung (1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2) und willst wissen, ob ein endlicher, reeller Wert für x>0 existiert, der die Gleichung befriedigt. Wenn nicht, was möchtest du dann wissen? Zitat:
Mit Fortran ist man natürlich viel flexibler als mit Maple oder Mathematika, denn man kann problemangepasst programmieren. Die Programmierung dauert natürlich länger, da müsstest du dich schon ein paar Tage gedulden. Mein PC verfügt über eine CPU mit zwei Kernen mit je 3,2GHz Taktfrequenz und einen Hauptspeicher mit 4GB. M.f.G. Eugen Bauhof
__________________
Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#28
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
Hi Bauhof
Zitat:
UGL) exp(1/x) < (x-1)/(x-2) fuer x>epsilon, z.b. x>3 Den nur dann kann ich das Minorantenkriterium anwenden. Nach einem Produkt suchen dessen Faktoren kleiner als die des betrachteten Produktes sind und das dennoch divergiert. Dafuer waeren natuerlich die Loesungen der Gleichung exp(1/x) = (x-1)/(x-2) interessant. Die ist aber transzendent. Gibt es fuer x>3 keinen endlichen reelen Wert als Schnittpunkt, so gilt die UGL). Ich meine aus meinen Punkten 1)2)3) geht dies bisher nicht hervor. Ein Punkt 4) waere aber, dass sich die Ableitungen der beiden Funktionen fuer x>3 nicht schneiden. D.h. der Betrag der Steigung der gruenen Funktion ist stets groesser als der der roten. Sie faellt stest steiler. Und daher kann sie sich nicht unterhalb der roten Funktion dem Grenzwert 1 naehern. Ud aus selbigem Grund die rote Funktion auch nicht mehrmals schneiden. Das koennte mit 1)2)3) ausreichend sein, das der einzigste Schnittpunkt im Unendlichen liegt. Zitat:
Zitat:
richy Ge?ndert von richy (08.10.09 um 22:54 Uhr) |
#29
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
welchen Wert soll epsilon haben? Vielleicht hast du gemeint: für x>epsilon mit epsilon=3? M.f.G. Eugen Bauhof
__________________
Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#30
|
||||
|
||||
AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
(x-1)/(x-2) - exp(1/x) = 0 Die beiden Funktionen verlaufen asymptotisch und die Differenzen ihrer Funktionswerte konvergieren im Unendlichen gegen Null. Als einen Beweis kann man das nicht gelten lassen, jedoch als ein sehr starkes numerisches Indiz. Grüsse, rene
__________________
Realität ist eine Frage der Wahrnehmung |
Lesezeichen |
|
|