Das relativistische Zwillingsparadoxon

[Slash]

Zitat von Ich

Hi Slash,

man könnte so eine Größe wie a²t definieren, die analog zu dem dir bekannten I²t die aufgetretenen Beschleunigungen summiert. Und dann ist es (in flachser Raumzeit) sicher auch so, dass der Zwilling mit a²t>0 jünger ist, wenn der andere a²t=0 hat. Und auch andersherum gilt: wenn wir von Weltlinien zweier Zwillinge sprechen, dann hat der jüngere a²t>0. Da gibt es also einen qualitativen Unterschied in den Zwillingen, und das wir auch gerne in der Populärwissenschaft herausgestrichen, um die oft fälschlich gemachte Annahme zu widerlegen, die beiden Bezugssysteme seie gleichwertig (was zu einem Paradox führen würde).
Also alles schön und gut.
Aber:
Wenn für beide a²t>0 gilt, kannst du anhand dieser Kenntnis nicht sagen, für wen weniger Zeit vergeht. Man kann natürlich über Integration aus der Beschleunigung die Geschwindigkeit ermitteln und dann \sqrt{1-v^2} wiederum integrieren, um an die Zeitdilatation zu kommen. Aber in dieser Rechnung ist a faktisch eliminiert und nur noch v vorhanden, so dass es vielleicht etwas zweifelhaft ist, in diesem Zusammenhang von "mehr beschleunigt" zu reden.

Hallo Ich,

ich würde folgende Größe vorschlagen:

J = sqrt ( int ( aT(t) * a(t) ) dt ) und t = t_start bis t_ende

a(t) = (ax(t), ay(t), az(t))T , also der Beschleunigungsvektor (transponiert, damit oben das Skalarprodukt ein Skalar ergibt)

Zitat von Ich

Wenn für beide a²t>0 gilt, kannst du anhand dieser Kenntnis nicht sagen, für wen weniger Zeit vergeht.

Ich bin mir auch nicht sicher, ob J dann ein Maß dafür wäre, festzustellen, welcher Zwilling der jüngere ist, ich glaube aber ja - müsste man nachrechnen.

VG
Slash

[Slash]

Zitat von Hawkwind

Aber die Länge von Weltlinien hat ja nun einmal mit Beschleunigung zu tun: wenn du 2 Ereignisse durch Weltlinien miteinander verbindest, dann sind die Weltlinien unbeschleunigter Objekte eben am längsten, d.h. auf ihnen vergeht am meisten Eigenzeit.

Gibt es es - wenn es nur den leeren Raum(zeit) gibt und die beiden Zwillinge - ein für sie messbares Unterscheidungsmerkmal, zu entscheiden, wer von ihnen der jüngere ist (außer der Eigenzeit)?

VG
Slash

[Slash]

Zitat von Marco Polo

Aber dennoch ist die Beschleunigung nicht der Kern des Zwillingsparadoxons, wie weiter oben von dir behauptet.

Hallo Marco,

ich denke Kern ist die Asymmetrie.

VG
Slash

[Slash]

Zitat von TomS

Nein, habe ich nicht.

Ein Zwilling bleibt in Ruhe auf der Erde. Der zweite Zwilling fliegt auf einer Kreisbahn mit konstanter Bahngeschwindigkeit; die Kreisbahn tangiert die Erde; er passiert die Erde periodisch nach jeweils einem Rundflug; bei jedem Vorbeiflug liest er seine Uhr ab stellt sie wieder auf Null zurück. Der Zwilling auf der Erde geht genauso vor. Bei jedem Vorbeiflug (Abstand Null) vergleichen die beiden Zwillinge ihre Uhrenm bevor sie sie auf Null zurücksetzen.

Aber dann hast du die Beschleunigung:

a = v² / r

https://de.wikipedia.org/wiki/Zentrifugalkraft#Formeln


es gilt außerdem Umfang u = 2*pi*r
und T = Zeit pro Rundflug
also v = u / T

also a = v² / r = 4*pi² * r/ T)

also a ~ r -> Beschleunigung proportional zum Radius , eben der Weglänge.

Das gilt auch bei zwei Zwillingen.

Vielleicht sehe ich es auch falsch, bitte gerne korrigieren.

VG
Slash


VG
Slash

[Slash]

Zitat von TomS

Ich werde eine Beitrag im Physikerboard mit einem Beispiel ergänzen.

EDIT: erledigt - siehe letzter Beitrag http://www.physikerboard.de/topic,37...paradoxon.html

Du hast aber hier in deinem Beispiel mit der kreisförmigen Bewegung auch eine Beschleunigung.

(Wie oben in einem anderen Beitrag bemerkt).

[Ich]

Zitat von Slash

Ich bin mir auch nicht sicher, ob J dann ein Maß dafür wäre, festzustellen, welcher Zwilling der jüngere ist, ich glaube aber ja - müsste man nachrechnen.

Nein, sicher nicht. Wenn du von der Regelungstechnik kommst, kannst du dir bei gegebenem J beliebige Bewegungsprofile ausdenken, die alle vollkommen unterschiedliche Durchschnittsgeschwindigkeiten (bzw. Zeitdilatationen) haben.
Ein fast triviales Beispiel ist, wenn einer am Anfang wegbeschleunigt und spät wieder so zurück beschleunigt, dass er wieder am Ausgangspunkt ankommt. Der hat eine höhere mittlere Geschwindigkeit als einer, der erst lange wartet und kurz voe Schluss weg- und hinbeschleunigt.

Zitat von Slash

ich denke Kern ist die Asymmetrie.

Ja, Kern des vermeintlichen Paradoxons ist die nicht vorhandene, aber unterstellte Symmetrie. Das kann man auch über die Erwähnung von Beschleunigung auflösen. Damit kommst du aber nur soweit, dass man keine gleichen Ergebnisse für die Zwillinge erwarten muss, aber nicht dahin, was man stattdessen erwarten sollte.

Was alle anderen hier immer meinen ist nicht das Paradoxon an sich, denke ich, sondern die Erklärung für die Tatsache, dass unterschiedliche Zeiten vergehen. Die liegt in der Geometrie. Das Schöne an dieser Erklärung ist, dass sie gleichzeitig das Paradoxon auf höchst intuitive Weise auflöst, viel nachvollziehbarer als jede Rechnerei mit Beschleunigungen. Es ist einfach für jeden (außer Harti, fürchte ich) vollkommen klar, dass unterschiedliche Wege unterschiedliche Längen haben können.

[TomS]

Die Argumentation mit fehlender Symmetrie läuft dann ins Leere, wenn beide Zwillinge jeweils unterschiedlich beschleunigen und somit keiner von beiden ein Inertialsystem definiert. Dann kann man z.B. durch simplen Vergleich der beiden Beschleunigungen a(t) sofort feststellen, dass keine Symmetrie vorliegt. Daraus alleine folgt jedoch nichts!

Betrachtet man dagegen die Geschwindigkeiten v(t) und berechnet die Integrale, dann folgt daraus sofort die Zeitdilatation.

@Slash, Hawkwind: ja, auch in meinen Beispielen liegen Beschleunigungen vor; aber daraus folgt - außer in Spezialfällen - nichts.

[Hawkwind]

Zitat von TomS

Betrachtet man dagegen die Geschwindigkeiten v(t) und berechnet die Integrale, dann folgt daraus sofort die Zeitdilatation.

Ja, sowieso.

[Hawkwind]

Zitat von Slash

Gibt es es - wenn es nur den leeren Raum(zeit) gibt und die beiden Zwillinge - ein für sie messbares Unterscheidungsmerkmal, zu entscheiden, wer von ihnen der jüngere ist (außer der Eigenzeit)?

VG
Slash

Der Unterschied der Eigenzeiten ist doch per definitionem genau das, was die Zeitdilatation ausmacht. Eigenzeit ist die Zeit die auf der mitgenommenen Armbanduhr des Reisenden verstreicht.

Einfach einsetzen in Toms 2. Formel von oben in seiner Postings im anderen Forum:



Das mit den Weltlinien und den Eigenzeiten ist auch bei Embacher ganz gut erklärt, finde ich:
http://homepage.univie.ac.at/franz.e...paradoxon.html

[Slash]

Zitat von TomS

Die Argumentation mit fehlender Symmetrie läuft dann ins Leere, wenn beide Zwillinge jeweils unterschiedlich beschleunigen und somit keiner von beiden ein Inertialsystem definiert. Dann kann man z.B. durch simplen Vergleich der beiden Beschleunigungen a(t) sofort feststellen, dass keine Symmetrie vorliegt. Daraus alleine folgt jedoch nichts!

Man könnte doch ein 3. Inertialsystem definieren, auf welchem Start und Wiedersehereignis stattfinden.

Zitat von TomS

Betrachtet man dagegen die Geschwindigkeiten v(t) und berechnet die Integrale, dann folgt daraus sofort die Zeitdilatation.

Betrachtet man dagegen Beschleunigung und Anfangsbedingung a(t) + v0 berechnet die Integrale, also die Geschwindigkeiten v(t) und berechnet die Integrale, dann folgt daraus fast auch sofort die Zeitdilatation.

Zitat von TomS

@Slash, Hawkwind: ja, auch in meinen Beispielen liegen Beschleunigungen vor; aber daraus folgt - außer in Spezialfällen - nichts.

Da bin ich zu wenig Physiker, um das beurteilen zu können.

VG
Slash