z^(m/n)-z0=0

[fransmanegeng]

Hi richy,
bevor wir fortfahren, möchte ich betonen, dass ich in diesem Gebiet kein Experte bin.
Das Problem ist die Definition von (.)^1/n.
a) Nehmen wir aus C die negativen Zahlen und die Null weg, dann kann man jedes z eindeutig in Koordinaten schreiben z = (r,t), wenn z = re^it,
t aus (-pi,+pi). Man kann hier z^1/n = (r,t)^1/n = (r^1/n,t/n) setzen. Es gilt
(z^1/n)^n = z. Betrachten wir jetzt z^m/n für z = i = (1,pi/2), m = 3, n = 2.

(i^3)^1/2 = (-i)^1/2 = (1,-pi/2)^1/2 = (1,-pi/4)
(i^1/2)^3 = ((1,pi/2)^1/2)^3 = (1,pi/4)^3 = (1,3pi/4)

b) Nehmen wir die Urbildmenge für z^1/n, also die Lösungsmenge der Gleichung x^n =z. In diesem Fall gilt: (z^m)^1/n = (z^1/n)^m.
Die Aufgabe lautet dann: Die Menge aller z mit der Eigenschaft, z0 ist ein Element aus z^m/n.
Sie ist äquivalent mit der Gleichung z^m = z0^n.
Ist z0 = (r,t), wobei t jetzt beliebig ist, dann sind w = (r^n/m,tn/m) die Lösungen. (r,t + 2pi/n) bezitzt die gleiche Lösung.
Muss man bei deiner Lösung:
1) arg(z0) mit n/m multiplizieren
2) arg(z0) bei e mit i multiplizieren
3) i bei cos und sin weglassen?

Man kann a) so modifizieren, dass man immer genau eine Lösung bekommt, sie ist in b) enthalten.

Grüsse fm