Der Einstein-Lobachewski-Geschwindigkeitsraum

[SCR]

Zitat von zeitgenosse

Beobachtungen zeigen, dass sich die Sternensysteme voneinander entfernen. Dasselbe gilt für die frei fallenden Uhren.

Zwei frei fallende Uhren ruhen in gewissem Abstand zueinander - Ihre Geodäten in der Raumzeit beschreiben zwei Hyperbeln, die sich zusehens voneinander entfernen. Siehst Du das auch so?

EDIT:

Zitat von zeitgenosse

In diesem Fall ist es ein pseudoriemannscher 5-Raum.

Unterstellst Du ein RS-Modell?

[SCR]

Und hier dann das bereits andiskutierte, von AE in der ART mit dem Vorliegen einer Nicht-Euklidischen Geometrie begründete Ehrenfest-Paradoxon im kompletten Kontext:

Zitat von S. 773 Unten - S. 775 Unten

§ 3. Das Raum-Zeit-Kontinuum. Forderung der allgemeinen Kovarianz für die die allgemeinen Naturgesetze ausdrückenden Gleichungen.

In der klassischen Mechanik sowie in der speziellen Relativitätstheorie haben die Koordinaten des Raumes und der Zeit eine unmittelbare physikalische Bedeutung. Ein Punktereignis hat die X1-Koordinate x1, bedeutet: Die nach den Regeln der Euklidischen Geometrie mittels starrer Stäbe ermittelte Projektion des Punktereignisses auf die X1-Achse wird erhalten, indem man einen bestimmten Stab, den Einheitsmaßstab, x1mal vom Anfangspunkt des Koordinatenkörpers auf der (positiven) X1-Achse abträgt. Ein Punkt hat die X4-Koordinate x4 = t, bedeutet: Eine relativ zum Koordinatensystem ruhend angeordnete, mit dem Punktereignis räumlich (praktisch) zusammenfallende Einheitsuhr, welche nach bestimmten Vorschriften gerichtet ist, hat x4 = t Perioden zurückgelegt beim Eintreten des Punktereignisses. 1)

Diese Auffassung von Raum und Zeit schwebte den Physikern stets, wenn auch meist unbewußt, vor, wie aus der Rolle klar erkennbar ist, welche diese Begriffe in der messenden Physik spielen; diese Auffassung mußte der Leser auch der zweiten Betrachtung des letzten Paragraphen zugrunde legen, um mit diesen Ausführungen einen Sinn verbinden zu konnen. Aber wir wollen nun zeigen, daß man sie fallen lassen und durch eine allgemeinere ersetzen muß, um das Postulat der allgemeinen Relativität durchführen zu können, falls die spezielle Relativitätstheorie für den Grenzfall des Fehlens eines Gravitationsfeldes zutrifft.

Wir führen in einem Raume, der frei sei von Gravitationsfeldern, ein Galileisches Bezugssystem K(x,y,z,t) ein, und auBerdem ein relativ zu K gleichförmig rotierendes Koordinatensystem K'(x',y',z',t'). Die Anfangspunkte beider Systeme sowie deren Z-Achsen mögen dauernd zusammenfallen.

Wir wollen zeigen, daß für eine Raum-Zeitmessung im System K' die obige Festsetzung fur die physikalische Bedeutung von Längen und Zeiten nicht aufrecht erhalten werden kann. Aus Symmetriegründen ist klar, daß ein Kreis um den Anfangspunkt in der X-Y-Ebene von K zugleich als Kreis in der X'-Y'-Ebene von K' aufgefaßt werden kann. Wir denken uns nun Umfang und Durchmesser dieses Kreises mit einem (relativ zum Radius unendlich kleinen) Einheitsmaßstabe ausgemessen und den Quotienten beider Meßresultate gebildet. Würde man dieses Experiment mit einem relativ zum Galileischen System K ruhenden Maßstabe ausführen, so würde man als Quotienten die Zahl π erhalten.

Das Resultat der mit einem relativ zu K' ruhenden Maßstabe ausgeführten Bestimmung würde eine Zahl sein, die größer ist als π. Man erkennt dies leicht, wenn man den ganzen Messprozeß vom "ruhenden" System K aus beurteilt und berücksichtigt, daß der peripherisch angelegte Maßstab eine Lorentzverkürzung erleidet, der radial angelegte Maßstab aber nicht. Es gilt daher in bezug auf K' nicht die Euklidische Geometrie; der oben festgelegte Koordinatenbegriff, welcher die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie voraussetzt, versagt also mit Bezug auf das System K'. Ebensowenig kann man in K' eine den physikalischen Bedürfnissen entsprechende Zeit einführen, welche durch relativ zu K ruhende, gleich beschaffene Uhren angezeigt wird.

Um dies einzusehen, denke man sich im Koordinatenursprung und an der Peripherie des Kreises je eine von zwei gleich beschaffenen Uhren angeordnet und vom "ruhenden" System K aus betrachtet. Nach einem bekannten Resultat der speziellen Relativitätstheorie geht - von K aus beurteilt - die auf der Kreisperipherie angeordnete Uhr langsamer als die im Anfangspunkt angeordnete Uhr, weil erstere Uhr bewegt ist, letztere aber nicht. Ein im gemeinsamen Koordinatenursprung befindlicher Beobachter, welcher auch die an der Peripherie befindliche Uhr mittels des Lichtes zu beobachten fähig wäre, würde also die an der Peripherie angeordnete Uhr langsamer gehen sehen als die neben ihm angeordnete Uhr. Da er sich nicht dazu entschließen wird, die Lichtgeschwindigkeit auf dem in Betracht kommenden Wege explizite von der Zeit abhängen zu lassen, wird er seine Beobachtung dahin interpretieren, daß die Uhr an der Peripherie "wirklich" langsamer gehe als die im Ursprung angeordnete. Er wird also nicht umhin kommen, die Zeit so zu definieren, daB die Ganggeschwindigkeit einer Uhr vom Orte abhängt.

---

1) Die Konstatierbarkeit der "Gleichzeitigkeit" für räumlich unmittelbar benachbarte Ereignisse, oder - präziser gesagt - für das raumzeitliche unmittelbare Benachbartsein (Koinzidenz) nehmen wir an, ohne für diesen fundamentalen Begriff eine Definition zu geben.

Anmerkung: Ob nun in diesem Fall eine elliptische oder hyperbolische Geometrie anzunehmen sei - Darüber schweigt sich AE an dieser Stelle leider aus.

[zeitgenosse]

Zitat von SCR

Ihre Geodäten in der Raumzeit beschreiben zwei Hyperbeln, die sich zusehens voneinander entfernen. Siehst Du das auch so?

Jetzt kannst du zeigen, ob du verstehst oder nur kopierst. Indem du die Christoffelsymbole anwendest.

Die Rechnungen wolle er danach hier veröffentlichen, damit wir es prüfen können.

Gr. zg

[SCR]

Hi zg,

ja - Interessanter Ansatz. Können wir gerne einmal probieren: Wenn wir bei § 9. Gleichung der geodätischen Linie (bzw. der Punktbewegung) der ART angelangt sind - Denn da gehört das thematisch hin.

Soviel vorab: d²/dt²(ct)=0 gilt auch in diesem Falle.

In dem Zusammenhang: Du bist Dir aber schon sicher, dass Du mein Ergebnis dann auch prüfen könntest?
(Ich schaffe es aber auch immer wieder selbst mich immer tiefer in die Sch**** reinzureiten. )

Zitat von SCR

Unterstellst Du ein RS-Modell?

("Mein" Fundamentaltensor müsste nämlich eigentlich auch eine 6x6 Matrix sein ).

[SCR]

Einsteins Schlußfolgerung aus diesem Beispiel (= Ehrenfest-Paradoxon):
- Alle Koordinatensystem/Geometrien sind grundsätzlich gleichberechtigt
- Es ist jedoch allgemeine Kovarianz zu fordern / sicherzustellen

Zitat von S. 775 Unten - S. 777 Mitte

Wir gelangen also zu dem Ergebnis: In der allgemeinen Relativitätstheorie können Raum- und Zeitgrößen nicht so definiert werden, daß räumliche Koordinatendifferenzen unmittelbar mit dem Einheitsmaßstab, zeitliche mit einer Normaluhr gemessen werden könnten.

Das bisherige Mittel, in das zeiträumliche Kontinuum in bestimmter Weise Koordinaten zu legen, versagt also, und es scheint sich auch kein anderer Weg darzubieten, der gestatten würde, der vierdimensionalen Welt Koordinatensysteme so anzupassen, daß bei ihrer Verwendung eine besonders einfache Formulierung der Naturgesetze zu erwarten wäre. Es bleibt daher nichts anderes übrig, als alle denkbaren 1) Koordinatensysteme als für die Naturbeschreibung prinzipiell gleichberechtigt anzusehen. Dies kommt auf die Forderung hinaus: Die allgemeinen Naturgesetze sind durch Gleichungen auszudrücken, die für alle Koordinatensysteme gelten, d.h. die beliebigen Substitutionen gegenüber kovariant (allgemein kovariant) sind.

Es ist klar, daß eine Physik, welche diesem Postulat genügt, dem allgemeinen Relativitätspostulat gerecht wird. Denn in allen Substitutionen sind jedenfalls auch diejenigen enthalten, welche allen Relativbewegungen der (dreidimensionalen) Koordinatensysteme entsprechen. Daß diese Forderung der allgemeinen Kovarianz, welche dem Raum und der Zeit den letzten Bestand physikalischer Gegenständlichkeit nehmen, eine natürliche Forderung ist, geht aus folgender Überlegung hervor. Alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen laufen stets auf die Bestimmung zeiträumlicher Koinzidenzen hinaus. Bestände beispielsweise das Geschehen nur in der Bewegung materieller Punkte, so wäre letzten Endes nichts beobachtbar als die Begegnungen zweier oder mehrerer dieser Punkte. Auch die Ergebnisse unserer Messungen sind nichts anderes als die Konstatierung derartiger Begegnungen materieller Punkte unserer Maßstäbe mit anderen materiellen Punkten bzw. Koinzidenzen zwischen Uhrzeigern, Ziiferblattpunkten und ins Auge gefaßten, am gleichen Orte und zur gleichen Zeit stattfindenden Punktereignissen.

Die Einführung eines Bezugssystems dient zu nichts anderem als zur leichteren Beschreibung der Gesamtheit solcher Koinzidenzen. Man ordnet der Welt vier zeiträumliche Variable x1,x2,x3,x4 zu, derart, daB jedem Punktereignis ein Wertesystem der Variablen x1 .... x4 entspricht. Zwei koinzidierenden Punktereignissen entspricht dasselbe Wertesystem der Variablen x1 .... x4; d. h. die Koinzidenz ist durch die Übereinstimmung der Koordinaten charakterisiert. Führt man statt der Variablen x1 .... x4 beliebige Funktionen derselben, x1',x2',x3',x4' als neues Koordinatensystem ein, so daß die Wertesysteme einander eindeutig zugeordnet sind, so ist die Gleichhelt aller vier Koordinaten auch im neuen System der Ausdruck für die raumzeitliche Koinzidenz zweier Punktereignisse. Da sich alle unsere physikalischen Erfahrungen letzten Endes auf solche Koinzidenzen zuruckführen lassen, ist zunachst kein Grund vorhanden, gewisse Koordinatensysteme vor anderen zu bevorzugen, d.h. wir gelangen zu der Forderung der allgemeinen Kovarianz.

---

1) Von gewissen Beschränkungen, welche der Forderung der eindeutigen Zuordnung und derjenigen der Stetigkeit entsprechen, wollen wir hier nicht sprechen.

Und als Nächstes kommt dann endlich der (zumindest der Einstieg in den) Fundamentaltensor: Sorry dass Du solange warten musst, zg.

Zitat von SCR

3. Er spricht explizit von "festen Körpern" - Nochmal Hmm. Vielleicht im Sinne "ponderabler" Objekte? -> Nochmal merken und weiterlesen.

Hier exemplarisch so eine Argumentation zum EP über "starre Körper":

Zitat von wikipedia zum EP

Die ursprüngliche Formulierung geht von einer starren Scheibe aus, die in Rotation versetzt wird. Der Radius R der Scheibe, gemessen im Laborsystem, verändert sich bei der Beschleunigung nicht. Aber der Umfang U unterliegt der Lorentzkontraktion. Dieser scheinbare Widerspruch zeigt nur, dass starre Körper im Allgemeinen nicht kompatibel zur Relativitätstheorie sind.

Der Begriff "starr" müsste demnach gleichbedeutend mit "euklidisch" sein (oder anders: mit einem Körper, auf den eine euklidische Geometrie anzuwenden ist - bzw. dann eben genau nicht mehr).

[Uli]

Zitat von SCR

Einsteins Schlußfolgerung aus diesem Beispiel (= Ehrenfest-Paradoxon):
- Alle Koordinatensystem/Geometrien sind grundsätzlich gleichberechtigt
- Es ist jedoch allgemeine Kovarianz zu fordern / sicherzustellen

Und als Nächstes kommt dann endlich der (zumindest der Einstieg in den) Fundamentaltensor: Sorry dass Du solange warten musst, zg.

Hier exemplarisch so eine Argumentation zum EP über "starre Körper":

Der Begriff "starr" müsste demnach gleichbedeutend mit "euklidisch" sein (oder anders: mit einem Körper, auf den eine euklidische Geometrie anzuwenden ist - bzw. dann eben genau nicht mehr).

"Starrer Körper" ist eine Idealisierung; sie bezeichnet ein Objekt, dessen Punkte all ihre Abstände zu den anderen Punkten des Objektes beibehalten: die Geometrie des Objektes verändert sich nicht - es ist starr.
In der Praxis gibt es so etwas nur näherungsweise: wenn du beispielsweise einen Festkörper verschiebst, so übst du eine Kraft aus, die das Ding deformiert (wenn es elastisch genug ist, dann nur vorübergehend).

Diese relativistisch schnell rotierende Scheibe kann also unmöglich ein starrer Körper sein, da sich ihre Geometrie durch die Bewegung ("Umfang") laut RT verändert.

Uli

[SCR]

Hi Uli,

Du hast da sicherlich Recht - Vielleicht kann man es so formulieren:
Die Scheibe wird sich auf Grund der bei diesem Rotations-Experiment auftretenden "klassischen" Kräfte bereits sehr früh so deformiert (= zerstört), dass der Kernaspekt des Ehrenfest-Paradoxons gar nicht erst zum Tragen kommen kann (?).
(Sprich: Einen Werkstoff, der die dabei auftretenden Belastungen aushält, gibt es nicht).

Denken wir uns stattdessen einen relativ zu uns bewegten Körper auf einer linearen Bahn: Auf diesen ist die Längenkontraktion anzuwenden.

Oft formuliert "Der Körper 'erscheint' dem Beobachter verkürzt".

Was bedeutet hier "erscheint"?
- Ein rein optischer Verzerrungseffekt? So wie ich es verstehe: Nein.
- Verkürzt sich der Körper real? So wie ich das verstehe: In dem Sinne, dass dabei das Material gestaucht wird, aus dem der Körper besteht: Nein.
Es handelt sich um eine für den Beobachter reale, aber kräftefreie Verkürzung.

Vielleicht liegt es auch nur an meinem Verständnis vom Begriff "starr":
Der Körper wird in meinen Augen weder in irgendeiner Art und Weise "weicher" noch verändert er "selbst" seine Beschaffenheit/Form - Denn das müsste der Körper meiner Meinung nach aus seiner Eigensicht (bzw. ein zu ihm ruhender Beobachter) dann letztendlich auch bestätigen können.

Ich denke vielmehr, das liegt an der für beide Beobachter unterschiedlich wirkenden Geometrie der Raumzeit, in der das eigentlich selbe Geschehen stattfindet: Die Geometrie der Raumzeit ist aus der Eigensicht immer (näherungsweise) euklidisch, diese geometrische Näherung versagt aber, wenn man aus der Sicht des jeweils anderen (= "aus der Ferne") auf das selbe Geschehen blickt:
So wie die Erde lokal flach erscheint (und deshalb lokal problemlos mit "euklidischen Mitteln" gearbeitet werden kann), mit zunehmender Entfernung / Vergrößerung des betrachteten Gebiets die tatsächlich vorliegende Kugel-/Ellipsoid-Form aber immer mehr zum Tragen kommt.

Das hört sich im Moment selbst für mich nach furchtbaren Geschwafel an - Aber was besseres kriege ich dazu aktuell auch nicht zu Papier.
Deshalb hau' ruhig d'rauf!

[JoAx]

Zitat von zeitgenosse

Einen absoluten Raum gibt es in Gestalt des Universums. Dieses ist ja nicht unendlich, sondern als 3-Sphäre der Rand eines 4-Raumes.

Ebenso gibt es auch eine absolute Zeit, die durch frei fallende kosmologische Uhren repräsentiert wird.

Gr. zg

Hallo zeitgenosse!

Ehrlich gesagt, weiss ich nicht, was ich darauf antworten soll. Jedes Mal, wenn ich einen Ansatz zu finden versuche, muss ich feststellen, dass ich etwas unterstellen, über mögliche Folgerungen aus diesen knappen Sätzen spekulieren muss.

Deswegen lasse ich das, und stelle Fragen:

1. Welche Funktion übernimmt dieser "absolute Raum"?
2. Was sind "kosmologische frei fallende Uhren", und was sagen sie uns?


Gruss, Johann

[Uli]

Zitat von SCR

Hi Uli,

Denken wir uns stattdessen einen relativ zu uns bewegten Körper auf einer linearen Bahn: Auf diesen ist die Längenkontraktion anzuwenden.

Oft formuliert "Der Körper 'erscheint' dem Beobachter verkürzt".

Was bedeutet hier "erscheint"?

Um diese Frage zu beantworten, muss man sich die Situation im Ruhesystem des Körpers anschauen: da hat er seine invariante Ruhelänge. Da wirken also keine kontrahierenden Kräfte.

Ein dazu bewegter Beobachter wird aber seine Länge verkürzt messen.

Man nutzt da manchmal anstatt "messen" das Wort "erscheinen" - wohl um anzudeuten, dass es keine stauchenden Kräfte auf einen gleichförmig bewegten Körper geben kann (was ja auch im Widerspruch zum Relativitätsprinzip wäre).

Uli

[SCR]

Hi Uli,

ja, wie Du es dargestellt hast ist es natürlich wesentlich sinnvoller :
Das macht es vom Verständnis her wesentlich leichter, dass keine Kräfte auf den Körper wirken, wenn ihn ruhen lässt und stattdessen den Beobachter bewegt.

Dennoch ist da immer noch der Begriff des "starren" Körpers, der mit der RT aufgegeben werden müsse:
Der Körper ist aber weder "starr" noch wird er "unstarr" (oder wie man es immer bezeichnen möchte) - Das zeigt doch genau Dein Beispiel.

Bleibt IMHO also nur
a) eine "optische Täuschung" / "optische Verzerrung" oder
b) eine real vorliegende, nicht-euklidische Geometrie

Und ich denke die korrekte Antwort lautet b).

Denn für a) müsste man ja ein irgendwie geartetes, verzerrendes Medium ("Linse") zwischen Beobachter und Körper annehmen - und das müsste zudem auch noch geschwindigkeitsabhängig verzerren. Das kann ich nicht so ganz vorstellen.

Aber diese Einschätzung/Beurteilung kann natürlich auch falsch sein.