Math - Polya und Primzahlen

[richy]

Hi Bauhof
Bin zu bloed um bis fuenf zu zaehlen :-)
Ja, ich hab statt 1/4! 1/5! getippt

Die Reihe, die man durch die Summierung der Kehrwerte der Primzahlen erhält, sieht so aus:

1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...

Sicherlich auch nur vertippt. Du meintest Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen

Weiterhin :
Die Fakultaet einer Primzahl ist nicht die Primfakultaet=Primorial.
Offizielles Symbol: p#
Das Primorial entspricht der Fakultaet in der man alle nichtprimzahligen Faktoren streicht 2*3*5*7*11*13 ....
Oder eben dem Produkt der Primzahlen bis zu einer Stelle n.
Das besondere daran ist, dass das Primorial wie die Fakultaet alle aufeinanderfolgenden Primfaktoren enthaelt, (aber nicht so steil waechst wie die Fakultaet).
Einen geschlossenes Ausdruck gibt es dafuer natuerlich leider nicht, denn sonst koennte man ueber p(n+1)#/p(n)# jede Primzahl berechnen.

In Timms zitierter Vermutung zeigt sich, dass Primzahlen im Abstand von Primorials am haeufigsten auftreten. Das ist auch das eigentliche Thema, von dem ich bischen abgewichen bin.

1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...

Diese Reihe divergiert, aber sehr langsam.

Verstehe nicht warum die Reihe divergent sein soll. Das ist doch e-R, wobei R die Summe der Fakultaet der Kehrwerte der Nichtprimzahlen ist, also R=1+1/4!+1/6!+1/8!+1/9! und negativ kann die Summe nicht sein.
Es muessste doch gelten 0 < 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... < e

BTW
Mit der "ungerade"Fakultaet(n) + 2 komme ich immerhin auf eine 241 stellige Primzahl (Test n=1..150)
65639426708018986672507151381772735265405805254795 22779750428143933771428487157029025600572193689502 76104285285516744221164562355173053752804275846126 24336324231768502783970671432560740560286937050977 03902486688990937373600900173187255859377
ist prim
Bis prim(150)#/2 + 2 sind es nur 188 Stellen
Mit (n!+1) bis n=150 sind es auch nur 191 Stellen

[Bauhof]

Zitat von richy

... Sicherlich auch nur vertippt. Du meintest Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen.

Hallo Richy,

nein, ich habe mich nicht vertippt. Denn die Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen kann ich gar nicht gemeint haben, denn die ist mir bisher völlig unbekannt. Gibt es dazu eine Quelle?

M.f.G. Eugen Bauhof

[richy]

Hi Bauhof, Timm, all
Doch, du hast dich irgendwo vertippt.

Denn die Summierung der Kehrwerte der Fakultaet der Primzahlen kann ich gar nicht gemeint haben, denn die ist mir bisher völlig unbekannt.

Du hast aber die Reihe mit dem Fakultaetszeichen angeschrieben

Zitat von Bauhof

1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+...

Hauptsache wir reden nicht aneinander vorbei

Gibt es dazu eine Quelle?

Es gibt eine grosse Datenbank fuer Zahlenreihen OEIS
http://de.wikipedia.org/wiki/On-Line...eger_Sequences
Dort habe ich die Summe der Kehrwerte der Primorials gefunden, aber nicht die der Fakultaet der Primzahlen. Scheint tatsaechlich zu fehlen
Hier wenigstens die Reihe der einfachen Fakultaet der Primzahlen :
http://www.research.att.com/~njas/se...erman&go=Suche
(Die Primzahlen als Kettenbruchkoeffizienten gibt es dort auch)

Mit Maple kann man den gesuchten Wert leicht numerisch simulieren.
Die Reihe konvergiert sehr schnell gegen s := 0.6751984380
Die SUmme der Nichtprimzahlkehrwertfakultaeten muesste dann sg:=2.043083390 sein.
Man koennte spasseshalber Taylorreihen von Funktionen in ihre primzahligenund und nichtprimzahligen Reihen zerlegen. Aber Sinn macht das wohl keinen, ansonsten waere schon jemand anderes auf die Idee gekommen.
Hast du eine Quelle fuer die von dir gemeinten divergenten Reihe ?
1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+...
Und damit waeren wir nahe bei der eigentlichen Fragestellung von Timm.

Ich moechte erstmal zusammenfassen ob ich diese richtig verstanden habe :

i=0..N sei die Folge der natuerlichn Zahlen
ifactors(i)=p1,p2,p3...p_anzahl seien die Primfaktoren von i
"anzahl" sei die Anzahl der Primfaktoren von i
Jetzt bestimmt man fuer jeden Primfaktor pk den wert ak=(pk-1)/(pk-2)
k=1..anzahl
Da waere meine erste Frage: Fuer i=2 geht a doch gegen unendlich.
2 wird also ausgeschlossen und H(2) zu 1 normiert ?
Ansonsten berechnet sich H(i) als product(ak,k=1..anz) ?
So hast du es im Beispiel erlaeutert :

Das Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) ist somit 2*4/3*6/5 = 3,2.

Die Frage waere dann, ob das Produkt H gegen unendlich strebt oder konvergiert. Der Ausdruck besteht aus zwei Teilen. Der inneren Funktion, die im Intervall [3...OO] monoton vom Wert 2 auf 1 faellt.
Mit jeder neuen Primzahl naehert sich der Bruch dem Wert 1.
Und mit jeder neuen Primzahl wird ein Faktor groesser eins hinzugefuegt. So dass es rein formell klar ist, dass der Wert fuer die Primonials am groessten ist, da sie die meisten Faktoren enthalten. Allerdings ist mir noch immer nicht ganz klar wie Polya auf diesen Ausdruck kommt.

Jetzt koennte man voreilig argumentieren :
Na ich habe unendlich viele Faktoren eines Produkts, denn es gibt unendlich viele Primzahlen und jeder ist groesser 1 kleiner 2.
Das divergiert.
Ich meine aber dem ist nicht so.
Aehnlich wie bei exp(1)=limit( (1+1/n)^n,n=infinity) tritt der entscheidende Vorgang genau beim Grenzuebergang auf.
(1+1/n)^n ist dem Produkt H auch ansonsten recht aehnlich. Der Ausdruck in der Klammer strebt genauso gegen eins und der Exponent erzeugt schliesslich unendlich viele Faktoren.
Aber der Wert konvergiert gegen exp(1)

@timm
Das Problem ist nun, dass wir keinen analytischen Ausdruck dafuer haben. wie der Wert des jeweils neuen Primfaktors waechst. Man koennte sich hier vielleicht dem Primzahlsatz von Gauss bedienen, dass die Verteilung etwa x/ln(x) betraegt. Zunaechst ueberlegen, wie sich dies auf das Wachstum der Primfaktoren auswirkt.
Hier einige Beispiele die ich mit Maple gerechnet habe und die Problematik anschaulich darstellen. Fuer die unbekannte Wachstumsfunktion der Primzahlen habe ich einfach mal einige elementare Funktionen wie 2*p, p^2, p! eingesetzt:

product((p-1)/(p-2),p=3..infinity) = infinity
product((2*p-1)/(2*p-2),p=3..infinity) = infinity
product((10*p-1)/(10*p-2),p=3..infinity) = infinity

p waechst aber natuerlich nicht linear
lassen wir es quadratisch wachsen :
product((p^2-1)/(p^2-2),p=3..infinity)=1.536421919
Schon jetzt konvergiert das Produkt. (uebrigends gegen sehr eigentuemliche algebraische Ausdruecke, die natuerlich die Gammafunktion als allgemeine Fakultaet enthalten)

product((p!-1)/(p!-2),p=3..infinity)
kann Maple nicht loesen,komisch gestern ging das noch,stattdessen
product((p!-1)/(p!-2),p=3..10)=
s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..10))= 1.320027113
s:=evalf(product((p!-1)/(p!-2),p=3..100))=1.320027149
Wenn p^2 konvergiert muss auch p! konvergieren.
(Ich dachte anfangs in p wird die Primfakultaet eingesetzt.

Schliesslich noch ein Programm fuer die reale Situation :
a:=1;
> for i from 2 to 10000 do
> p:=ithprime(i);
> a:=evalf(a*(p-1)/(p-2));
> od;

ithprim(10 000)=104729
a=15.597311318
Da liege ich noch weit unter deinem numerischen Experiment ..


Moment geht gleich weiter ... i=100 000 laeuft gerade

[richy]

...
hab das Programm bei 33409, der Primzahl 394129 abgebrochen.
a=17.38318378

So kommt man ja nicht viel weiter, sondern man benoetigt

1) eine Abschaetzung des Wachstums der Primzahlen
2) Eine Angabe ob die von dir genannte Haeufigkeit H damit konvergiert oder divergiert
2a) Indem man das Produkt direkt auswertet
2b) Indem man ein Konvergenzkriterium fuer Produkte anwendet

zu1)
http://www.math.uni-bielefeld.de/bir...r/leit01-2.pdf

Wir bezeichnen mit pk die k-te Primzahl, also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, usw.
Satz.
Es gibt positive reelle Zahlen A < 1 < B, mit
A · n · ln n < pn < B · n · ln n,

So etwas habe ich mir fast gedacht. Das Wachstum liegt irgendwo zwischen linear und quadratisch.
Hier habe ich die Funktion fuer 2 Schranken bis 10 000 dargestellt :

Den Faktor 1.18 koennte man ueber die Methode der kleinsten Quadrate natuerlich noch genauer bestimmen.
Hier nochmals fuer die ersten 15 Primzahlen

Die Approximation ist hier noch sehr ungenau

Jetzt mal sehen was Maple zu dem Grenzwert meint :
s:=evalf(product((p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2),p=3..10000));
Error, (in product) object too large for the Student Edition

Tja, diese ewigen Studenten :-)
Fuer das Produkt
s:=evalf(product((1.18*p*ln(p)-1)/(1.18*p*ln(p)-2),p=3..1000));
spuckt Maple noch den Wert s := 7.180852157 aus

NUMERISCHES
***********
Ich will jetzt erstmal untersuchen wie gut 1.18*x*ln(x)
EDIT 1.15*x*ln(x)
das Haufigkeitsprodukt approximiert. Fuer kleine Primzahlen ist die Uebereinstimmung sehr schlecht. Also starte ich den Vergleich bei der tausendsten Primzahl :

Das kleine Programm :

N1:=1000;N2:=5000;aa:=1;bb:=1;c:=1.15;
> for i from N1 to N2 do
> aa:=aa*evalf((ithprime(i)-1)/(ithprime(i)-2)):
> bb:=bb*evalf((c*i*ln(i)-1)/(c*i*ln(i)-2)):
> a[i]:=aa;
> b[i]:=bb;
> od:
> druck1:=seq([k,a[k]],k=N1..N2):
> druck2:=seq([k,b[k]],k=N1..N2):
> plot([[druck1],[druck2]]);

Den Faktor C habe ich jetzt zu 1.15 statt 1.18 gewaehlt das passt besser und wie man sieht recht gut :


NUMERISCHE IDEE
**************
Sachgemaess waere es natuerlich ein Konvergenzktiterium auf das Produkt anzuwenden. Mein hohler Bauch sagt mir aber jetzt schon, dass dies eventuell nicht so einfach sein koennte.
Dieses Produkt liegt wahrscheinlich irgendwo an der Grenze zwischen Konvergenz und Divergenz.
Und falls es konvergiert wuerde mich ein Naeherungswert interessieren. Kann aber durchaus auch sein, dass es divergiert.

Im Moment habe ich folgenden numerischen Plan :
Wir koennen das Produkt relativ einfach numerisch simulieren.
Allerdings ergibt sich das Problem, dass unser Rechengeraet sehr viel Zeit benoetigt um grosse Primzahlen zu berechnen.
Dafuer scheint fuer grosse Primzahlen die Funktion c*x*ln(x) wenigstens qualitativ eine gute Naeherung zu sein.

Daher zerlege ich das Produkt, nennen wir es H, an der Stelle m in zwei Faktoren.
H=product(f(i),i=3..infinity)
H=product(f(i),i=3..m)*prod(f(i),i=m+1..infinity)= H1*H2
H1 haben wir fuer m=10000 bereits exakt numerisch simuliert.
Der Wert fuer H1 war :
H1(m=10000)=15.597311318
Meine Idee waere es H2 nun durch c*x*ln(x) x=m+1..grosse Zahl
versuchen numerisch zu ermitten. Damit erspart man sich grosse
Primzahlen und kann daher eine sehr gross obere Schranke verwenden.
OK lets go

[richy]

Maple benoetigt auch fuer die Produkte von c*x*ln(x) recht lange Rechenzeiten.
Ich meine momentan dieses Produkt, die Haeufigkeit H konvergiert.

@Bauhof,Timm,all
Kennt jemand eine Quelle fuer Konvergenzkriterien von Produkten ?
Ansonsten muss ich wohl dochmal wieder in die Bronstein Bibel schauen.

Zuvor noch zwei bescheidene Versuche um Timms Prob zu loesen :

Statt dem Produkt H kann ich auch ln(H) betrachten.
Dann wird das Produkt natuerlich zu einer Summe :
H(i)=product( c*(p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2), p=3..N)
ln(H(i))=sum(ln[c*(p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2)], p=3..N)

Fuer ln(c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2) muss ich jetzt nach einem geeigneten Konvergenzkriterium fuer Summen suchen.
Damit laesst sich die Konvergenz der Abschaetzung beurteilen.
Das waere die grundlegende Aufgabe, die man zunaechst loesen sollte um die Konvergenz wenigstens abzuschaetzen.

Der zweite bescheidene Versuch waere es das Differential des Produktes H zu betrachten.

Viele Gruessse

[Bauhof]

Hallo Richy,

vor ein paar Jahren schrieb ich ein Fortran-Programm, das mit Hilfe der Riemannschen Näherung die Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmen natürlichen Zahl N (N kleinergleich 10^308) auf den Bildschirm ausgibt. Falls es für dich hilfreich ist, kannst du dir das EXE-File hier herunterladen:

http://www.eugen-bauhof.homepage.t-o...EMANN_TEST.exe

Diese Programm läuft auf den Windows-Systemen, z.B. unter Windows Vista, vielleicht auch unter XP oder Windows 98. Unter Vista habe ich es gerade noch mal ausprobiert.

Falls nötig, kann ich dir auch das Quellprogramm zur Verfügung stellen. Das könntest du dann mit dem kostenlosen Fortran-Entwicklungssystem von "openwatcom" für spezielle Zwecke erweitern. Dieses Fortran-Entwicklungssystem kann hier heruntergeladen werden:

http://ftp.openwatcom.org/ftp/

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[Lambert]

@Richy

mir brennt's , die Primzahlen mit der Physik zu verbinden.

Sonst wird's doch viel zu mathematisch hier, oder?

Gruß,
Lambert

[rene]

Zitat von richy

Jetzt mal sehen was Maple zu dem Grenzwert meint :
s:=evalf(product((p*ln(p)-1)/(p*ln(p)-2),p=3..10000));
Error, (in product) object too large for the Student Edition

s := 15.06469260

Grüsse, rene

[richy]

Hi

s := 15.06469260

Danke, die Naherung passt in etwa. Aber vermutlich wird auch die Vollversion hier aussteigen :
s:=evalf(product((c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2),p=3..infinity));

(1) 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+... divergiert, hingegen die Reihe

(2) 1/2!+1/3!+1/5!+1/7!+1/11!+1/13!+1/17!+... konvergiert, weil die Reihe für e

(3) e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6+... die Majorante zu (2) ist.

Ja, so duerfte das stimmen. Hast du eine Quelle fuer (1) ?
EDIT : Die harmonische Reihe divergiert, daher wahrscheinlich.

Danke fuer das Programm. Sicherlich ist das schneller als Maple, aber rein numerisch kommen wir wohl nicht weiter. Eine Naeherung fuer die Primzahlen ist c*x*ln(x), so dass fuer die Konvergenzbetrachtung die Primzahlen nicht mehr notwendig sind.

Auf den ln der Funktion habe ich das Wuerzelkriterium angewendet :
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium
a:=ln((c*x*ln(x)-1)/(c*x*ln(x)-2));
limit(a^(1/x),x=infinity)=1
Na toll, denn ausgerechnet fuer den Wert 1 ist damit keine Aussage ueber die Konvergenz moeglich.

Aehnliches liefert das Quotientenkriterium :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
a:=ln((c*x*ln(x)-1)/(c*x*ln(x)-2));
a1:=ln((c*(x+1)*ln(x+1)-1)/(c*(x+1)*ln(x+1)-2));
q:=a1/a
Die Funktion ist monoton wachsend und kleiner 1 strebt aber fuer x->00 gegen 1. Damit ist keine Konvergenzaussage moeglich.

Im Fall der Konvergenz muss q von n unabhängig und echt kleiner als 1 sein. Gilt lediglich |{a_{n+1}/{a_n}|<1, kann also |{a_{n+1}/{a_n}| beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.

Damit bin ich mit meinem Latein zunaechst mal am Ende. Hat jemand noch eine Idee ?

@Lambert
Ich meine nicht dass du ueber physikalische Anschauungen Timms Frage beantworten kannst.

[rene]

Zitat von richy

Danke, die Naherung passt in etwa. Aber vermutlich wird auch die Vollversion hier aussteigen :

s:=evalf(product((c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2),p=3..infinity));

Hallo richy

Die Berechnung mit einer unendlichen Anzahl Faktoren kann mein Maple aus dieser Gleichung auch nicht angeben:

"Cannot show that (c*p*ln(p)-1)/(c*p*ln(p)-2) is continuous on [3,infinity]"

Grüsse, rene