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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben. |
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#1
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Vierergeschwindigkeit
Hallo zusammen,
in Wikipedia lese ich folgendes über die Vierergeschwindigkeit: Zitat:
2. Wenn man nicht den Absolutbetrag betrachtet, welche Richtung hat dann die Vierergeschwindigkeit? 3. Ist hier jemand in der Lage, mir als Laien die Herleitung des Ergebnisses |Vierergeschwindigkeit| = c in verständlicher Form darzustellen? Die Herleitung in Wikipedia verstehe ich nicht. M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski Ge?ndert von Bauhof (14.11.13 um 13:23 Uhr) |
#2
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AW: Vierergeschwindigkeit
Was da steht ist schlicht und einfach Blödsinn. Es gilt (wie immer c=1):
(dt/dtau)² - (dx/dtau)²-(dy/dtau)²-(dz/dtau)² = 1, gleichbedeutend mit (dt/dtau)² - g²v² = 1, wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist und g der Lorentzfaktor g²=1/(1-v²). Also gilt: (dt/dtau)² = 1 + g²v² Je größer v wird, desto größer wird die erste Komponente der Vierergeschwindigkeit, dt/dtau. Der Text in der "Interpretation" passt zu Epsteins Mythos, nicht aber zur Vierergeschwindigkeit. Was auch der Grund ist, warum ich den Mythos selber nicht mehr verwende: Das Konzept der Vierergeschwindigkeit ist ungleich brauchbarer, und um es zu verstehen, muss man akzeptieren, dass der Pyhtagoras im Minkowskiraum nun mal anders arbeitet als im euklidischen Raum. Es hat keinen Sinn, den Leuten diesen Schritt ersparen zu wollen, indem man lustige Mythen erfindet. |
#3
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AW: Vierergeschwindigkeit
Nun ja, dass die Norm der 4-Geschwindigkeit eines Objektes unabhängig vom IS des Beobachters immer c ist, mag auf den 1. Block verblüffen, aber nur auf den allerersten. Anders geht es einfach nicht.
Eine grundlegende Eigenschaft eines Vektors ist nun einmal, dass seine Länge bzw. Norm unter der betrachteten Klasse von Transformationen (in der nichtrel. Mechanik meist Rotationen) invariant ist. So hat eine (3-)Geschwindigkeit in der nichtrel. Mechanik immer den gleichen Betrag - egal wohin ich mich auch drehe. Die SRT verallgemeinert die betrachtete Klasse von Koordinatentransformation nun von Rotationen zu Lorentz- oder auch zu Poincare-Transformationen und betrachtet dabei 4 Dimensionen und 4-Vektoren und definiert die Norm anders (Minkowskilänge, siehe Ich's Post) Aber immer noch gilt: die Länge/Norm eines Vektors muss invariant sein unter diesen Trafos (sonst wäre es halt kein Vektor). Die einzige Geschwindigkeit aber, die in der SRT invariant unter Lorentz-Trafos ist, ist aber die Lichtgeschwindigkeit. Es kann also nur c für die Länge/Norm von 4-Geschwindigkeiten herauskommen. Ich verstehe dieses ganze Gedöns um 4-Geschwindigkeiten nicht; sie sind halt so definiert, dass es passt. |
#4
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AW: Vierergeschwindigkeit
Zitat:
wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist, wie groß ist der Winkel zwischen v und der Vierergeschwindigkeit? M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#5
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AW: Vierergeschwindigkeit
Hallo Bauhof,
Zitat:
Die Vierergeschwindigkeit hat 4 Komponenten, die jeweils senkrecht aufeinander stehen. dx/dtau ist z.B. bis auf einen Faktor g gleich der x-Komponente der Geschwindigkeit dx/dt. Also steht die "Geschwindigkeit im Raum" senkrecht auf der "Geschwindigkeit in der Zeit" (=:dt/dtau), wenn man so will - finde ich aber nicht hilfreich. Besser ist folgendes: Das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit zweier relativ zueinander bewegter Beobachter ist der Lorentzfaktor gamma. Analog zum euklidischen Fall ist der zugehörige Winkel der acosh(gamma). |
#6
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AW: Vierergeschwindigkeit
Hallo Eugen,
die Vierergeschwindigkeit ist U=gamma(c,ux,uy,uz) Bildet man jetzt das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit mit sich selbst, also: gamma²(c,ux,uy,uz)(c,-ux,-uy,-uz) dann ergibt das immer c² Und da die Länge bzw. Norm eines Vektors durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben ist, beträgt die Vierergeschwindigkeit immer c. Aber wie gesagt. Das ist keine messbare Größe. Der Zeit-Ortsvektor wird ja nicht nach der Zeit t sondern der Eigenzeit tau differenziert. Das muss aber leider so sein, da die Zeit t systemabhängig ist und damit nicht lorentzinvariant. Wenn man mit einem solchen Vektor Skalarprodukte bilden würde, dann wären diese nicht forminvariant. Das Skalarprodukt des Vierergeschwindigkeitsvektors mit sich selbst ist in allen beliebigen Inertialsystemen stes c². Für ux=uy=uz=0 und damit gamma=1 erhälst du aus (c²-ux²-uy²-uz²)/(1-(ux²+uy²+uz²)/c²) sofort c². Grüsse, MP Ge?ndert von Marco Polo (14.11.13 um 17:25 Uhr) |
#7
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AW: Vierergeschwindigkeit
Zitat:
Die Einschränkung "im wesentlichen" mache ich, weil in der Definition der 4-Geschwindigkeit die Ableitungen nach der Eigenzeit statt nach der Koordinatenzeit eingeht. Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten unterscheiden sich diese aber nicht voneinander. |
#8
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AW: Vierergeschwindigkeit
Zitat:
ich übersetze das mal in meine Sprechweise, um zu überprüfen, ob ich es richtig verstanden habe: Andererseits ist die Dreier-Geschwindigkeit im dreidimensionalen Raum im wesentlichen die Projektion der Vierergeschwindigkeit auf den dreidimensionalen Ortsraum. Dreier-Geschwindigkeit und Vierergeschwindigkeit haben damit zwangsläufig die gleiche Richtung. So korrekt? M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski |
#9
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AW: Vierergeschwindigkeit
Das gilt für die "Richtung im Ortsraum". Die 4-Geschwindigkeit ist ja gerade so konstruiert, dass sie eine Verallgemeinerung der gew. Geschwindigkeit darstellt.
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#10
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AW: Vierergeschwindigkeit
Morjen Eugen,
Zitat:
Gut. Projektionen sind sicherlich zulässig. Aber bei der Vierergeschwindigkeit kann eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum (im Hinblick darauf, dass Vierer- und Dreiergeschwindigkeit die gleiche Richtung haben) imho nur dann Sinn ergeben, wenn wir von verschwindend geringen Relativgeschwindigkeiten sprechen. Vielleicht habe ich das auch falsch verstanden. Wenn man bei der Vierergeschwindigkeit den infinitesimalen Abstand zweier Ereignisse im Laborsystem (dem Zeit-Ortsvektor) nach dtau, also dem infinitesimalen Zeitzuwachs in einem ganz anderen System, nämlich dem, in dem die beiden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden differenziert (also Differentiation nach der Eigenzeit und nicht nach der systemabhängigen Zeit t), dann kann ich mir zumindest bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht vorstellen, dass es für diesen Vierervektor eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum gibt, die die gleiche Richtung wie der Dreiervektor hat. (Längster Satz der Forengeschichte). Grüsse, MP |
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