Extremwertproblem

[richy]

Hi Hamilton
Es gibt hier den fundamentalen Unterschied, dass du nicht Koordinaten einer Funktion suchst, die ein Extrema aufweisen, sonder gesucht ist eine passende Funktion, die diese Summe minimiert . Wenn p(i) keine diskrete sondern kontinulierliche Verteilung waere und die Summe damit ein Integral, waere dies ein typisches Variationsproblem.
http://itp.tugraz.at/LV/schnizer/Ana...ik/node13.html

EDIT
Die Loesung von Sino zeigt eine andere Interpretation. Hey prima.
Dennoch mal die Varainte wenn p(i) eine kontinuierliche Funktion waere, die zum
selben Resultat fuehrt.

Fuer F(p(i), p(i)/di, i ) (normalereise der Index t statt i)
muesste p(i) die Eulersche Differentialgleichung des Variationsproblems erfuellen :

d/di *dF/d(dp/di) - dF/dp = 0
**********************
Wobei bis auf d/di die Ableitungen partiell sind.
Im konkreten Fall gilt :
F(p) =-p(i) ln(p(i)
Es kommt also kein dp/di als Funktionsargument vor.

Und nur daher kann man die Aufgabe wie eine gewoehnliche Extremwertaufgabe behandeln.

und dann überlege man sich die Nebenbedingung.
Diese gilt generell für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Nebenbedingung waere, dass Summe(aller p(i))=1

Man bildet die Funktion :


sowie deren Eulerschen DGL :


Man sieht auch die Nebenbedingung enthaelt kein dp(i)/di
damit :
NEBENBEDINGUNG:

Summme(p(i),i=0..k)-1=0

+F=-p*ln(p)-l1 (Summme(p(i),i=0..k)-1)

dF/dp=-ln(p)-1-l1 (Summme(1,i=1..k))=0
1) ln(p)+1+l1*k=0

aus dF/dl1
2) (Summme(p(i),i=0..k)=1

Aus 1 folgt p(i)=konstant
aus 2) folgt p(i)=1/k

[rene]

Mit

I = -(p*ln(p)/ln(2.)+(1-p)*ln(1-p)/ln(2.))

erhalten wir für eine Gleichverteilung mit p=0.5 den höchsten Informationszuwachs für ein Ereignis (z.B. Ziehung einer Kugel aus einer Urne bei 10 roten und 10 blauen Kugeln). Für jedes andere Verhältnis sinkt der Informationszuwachs für ein Ereignis.

Der Plot dieser Funktion für p=0..1



Gruss

[Sino]

Zitat von Hamilton

Ich hab das nicht umsonst hier reingestellt- es ist eine Extremwertaufgabe, die sich mit Lagrange lösen lässt.

Dazu überlege man sich, welche Funktion man maximieren will- also S
und dann überlege man sich die Nebenbedingung.
Diese gilt generell für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Wenn man das hat, benutze man Lagrange um auf die Lösung zu gelangen.

Ok, hatte etwas Angst vor Lagrange, weil ich dachte, das wird kompliziert mit Summen.

Also:
Entropie = S = Σ -p_i ln(p_i)
Nebenbedingung habe ich Σ p_i = 1.

H = Σ -p_i ln(p_i) + l1(1-Σ p_i)
dH/dp_i = -ln(p_i)-1 - l1 = 0 ( für jeden Mikrozustand i eine Gleichung davon )
dH/dl1 = 1 - Σ p_i = 0

Da l1 in allen dH/dp_i den gleichen Wert hat => alle p_i müssen gleich sein.
( man kann die noch nach p_i auflösen, dann steht da p_i=exp(l1-1) , braucht man aber nicht )


P.S.: Hab nicht dran gedacht, dass von den Summen immer nur ein Term übrig bleibt, wenn man nach p_i ableitet. Das macht die Sache natürlich einfach. Gute Aufgabe.

[zeitgenosse]

Zitat von EMI

a=5cm
b=3cm
c=3cm

Bravourös!

Nun aber - last but not least - eine Praxisaufgabe:

Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden. Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?

p.s.
Als ich vor Jahren als "Aussteiger" in Missouri im 'Green County' in der Nähe von Springfield weilte, habe ich "on the job" das Zimmermannshandwerk erlernt. Auch damals waren Tragbalken aus Holz stets höher als breit!

Gr. zg

[richy]

Die Idee von rene und sino mit dem Informationszuwachs, den induktiv herzuleiten, ist auch gar nicht schlecht !

dann steht da p_i=exp(l1-1) , braucht man aber nicht )

Das heisst nichts anderes als p(i)= konstant.

dH/dp_i = -ln(p_i)-1 - l1 = 0 ( für jeden Mikrozustand i eine Gleichung davon )

Ah du betrachtest jedes p_i als Variable. Sehr gut !
Man kann die Differentation aber auch unter der Summe durchfuehren :

dF/dp=-ln(p)-1-l1 (Summme(1,i=1..k))=0

Wobei dies aber wenig aendert, denn k*l1 waere einfach ein anderer Lagrangemultiplikator.

Da l1 in allen dH/dp_i den gleichen Wert hat => alle p_i müssen gleich sein.

Sehr sehr gutes Argument ! Gefaellt mir besser als mein Weg.
Vor allem auf sichererem Boden.

[rene]

Zitat von zeitgenosse

Nun aber - last but not least - eine Praxisaufgabe:

Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden. Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?

Gr. zg

Das Resultat vorweg:

b=r=0.1m
h=r*sqrt(3)=0.1732m


Ich bin von einer Biegungssteifigkeit von I = h^3*b/12 ausgegangen mit den Nebenbedingungen h=2*sin(phi)*r und b=2*cos(phi)*r.

Differenziert und die Ableitung mit Null gleichgesetzt und nach phi aufgelöst ergibt phi=Pi/3 im Bogenmass, das in die Nebenbedingungen eingesetzt die Höhe und Breite des Balkens ergibt.

Grüsse, rene

[EMI]

Zitat von zeitgenosse

Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden.
Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?

Die Tragfähigkeit T eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt ist T=Kh²b mit K=Materialkonstante.
T = Kh²b --> max

Der rechteckige (b*h) Balkenquerschnitt muss in den Querschnitt d=2r des Rundholzes passen.

d²=h²+b²
h²=d²-b²

T = h²b
T = (d² - b²)b = d²b - b³

0= -3b² + d²
b=sqrt 400/3
b~11cm

h=sqrt(400-400/3)
h~16cm

h*b = 176cm²

EMI

[richy]

sion hat in seinem Loesungsweg ( p(i),i=1..k) nicht als Funktion aufgefasst sondern als jeweils freie Parameter. Anstatt einen 1 D Raum hat er einen k dimensionalen Raum berachtet. Und dies fuehrte elegant zum Erfolg.
Nur so viel zum Sinn zusaetzlichen Dimensionen.

[zeitgenosse]

Zitat von rene

Das Resultat vorweg:

b=r=0.1m
h=r*sqrt(3)=0.1732m

Mein Resultat demzufolge auch vorweg (mit gerundeten Werten):

[...] Daraus resultiert aus dem gegebenen Rundholz (r = 10 cm) ein Balken mit den Massen (B x H) von 11 cm x 16 cm. Der Rest ist Verschnitt und geht in die Schnitzelheizung.

Mit den unbedarften Worten des einfachen (Zimmer)-Mannes aus den Ozark-Mountains:

Die maximale Tragfähigkeit wird erzielt, wenn die Höhe des Balkens gerade sqrt(2) mal so gross wie die Breite ist.

Na ja, in den Rohholzquerschnitt hineinpassen täten beide Balkenmasse (wobei es bei dir etwas eng wird).

Zum Nachvollzug meiner Lösung:

Als Hauptbedingung:

Tragkraft T(b, h) prop. zu k*b*h^2

(Die Materialkonstante k habe ich für den vorliegenden Fall eliminiert bzw. auf 1 gesetzt, weil im Kontext nicht relevant).

Als Nebenbedingung:

h^2 = d^2 - b^2 (mit d = Diagonale des Balkens)

Zielfunktion:

T(b) = b*d^2 - b^3

Der Rest ist Schema.

Gr. zg

[zeitgenosse]

Zitat von EMI

b~11cm

h~16cm

Genial!

Der (alte) Meister - obwohl mit selbem Resultat behaftet - gibt sich endgültig geschlagen und erkennt, dass er dem "Gesellen" nichts mehr beibringen kann.

Gr. zg