Verwendung der Eigenzeit für lichtartige Geodäten

[TomS]

OK, verstanden.

Nein, die Raumzeit kann auch bei Abwesenheit von Energie = im Vakuum eine nicht-verschwindende Krümmung aufweisen (z.B. Gravitationswellen, Außenraum der Schwarzschildlösung, de Sitter Kosmos).

Aber das ändert nichts an meiner Schlussfolgerung.

Trotzdem würde ich diesen weiteren Ausflug beenden. Er trägt zur Fragestellung der lichtartigen Weltlinien nichts bei.

[Ich]

Zitat von Timm

Ich spreche von gekrümmter Raumzeit, mit der Betonung auf gekrümmt. Und dazu braucht's nun mal eine Energiedichte rho > 0. Falls Du das bezweifelst, rufe ich 'Ich' als Zeugen auf.

...hoffentliich nicht unter Eid
Nein, das mit der Energiedichte gilt nur im homogenen, isotropen - sprich: kosmologischen Fall, über den wir so oft gesprochen haben.
Die nächste Verallgemeinerungsstufe wäre Ricci-Krümmung. Die ist direkt proportional zum EI-Tensor und verschwindet enstprechend im Vakuum.
Noch allgemeiner hat man Weyl-Krümmung, die existiert auch im reinen Vakuum. Darunter fallen Gezeiten und Gravitationswellen, also alles, was verzerrt, ohne das Volumen zu ändern.

[JoAx]

Zitat von Ich

#51 ist die Antwort auf #52...

Nö. Deine Antwort geht auf #50. Die #50 und #52 sind Timm nur ziemlich gleich geraten.

Zitat von Ich

Kennt jemand Frau Kuchen?

Ich nicht. Wer ist es?

[JoAx]

Bin auch noch dabei.

Zitat von TomS

Ich versteh's nicht.

Sag' mir bitte, welcher Schritt deiner Meinung nach ein Problem darstellt:

1) gegeben sei eine Weltlinie C
2) gegeben sei das Linienelement dτ
3) gegeben sei das Integral τ[C] = ∫ dτ
4) das Integral ist offensichtlich unabhängig von der Einführung eines speziellen Koordinatensystem
5) wir spezialisieren dies auf nicht-raumartige Kurven dτ ≥ 0 entlang ganz C
6) wir nennen τ "Eigenzeit"
7) wir spezialisieren dies auf lichtartige Kurven C° mit dτ = 0 entlang ganz C°
8) damit ist auch τ[C°] = 0 = const.
9) wir konstruieren ein mitbewegtes Koordinatensystem (t,x,y,z) entlang C, so dass t = τ
10) wir identifizieren die Eigenzeit τ mit der Zeit, die auf einer in diesem mitbewegten Koordinatensystem ruhenden Uhr gemessen wird.

Was ich nicht verstehe, ist - warum muss man das Linienelement gleich dτ nennen (#2)? Es gibt ja schon ds, welches alles erfasst. Dann ist mir nicht klar, warum man ds = 0 mit einschließt (#5). Machen wir #2 und #5 so nicht, müssen wir uns anschließend mit #9 und #10 gar nicht erst "rumschlagen".

Folgender Vergleich, der auch nicht korrekt sein mag. Dann bitte sagen - warum.

1) Das Analogon in der euklidischen Geometrie für lichtartige Geodäte wäre ein Punkt.
2) Das Analogon für ∫ ds in diesem Fall wäre das bestimmte Integral mit obere Grenze = untere Grenze.
3) Das ist auch immer konstant und immer = 0.

Aber - welchen Sinn hat es?

Ich habe schon gehört, dass Elemntarteilchen und Photone ziemlich gleich behandelt werden können, besonders, wenn erstere ultrarelativistisch werden. Aber ist es nicht sinnvoller es erst dort herauszuheben (QED & Co.), und nicht schon im Rahmen der "normalen" SRT?

In der ART könnte das imho auch böse mitspielen. Ich meine jetzt aber etwas anderes als Timm. Und zwar die wohl bekannte lichtartige Hyperfläche genannt Ereignishorizont. Dieser liegt in den Schwarzschield Koordinaten außerhalb des Definitionsbereichs. Mir ist klar, dass man sich nicht wirklich auf Leute orientieren soll, die eher nicht verstehen wollen, aber das wäre schon eine steile Vorlage, rS einfach mit einzuschließen.

So in etwa...

[Ich]

Zitat von JoAx

Nö. Deine Antwort geht auf #50. Die #50 und #52 sind Timm nur ziemlich gleich geraten.

Danke, das ist mir entgangen. Dann bin ja beruhigt. War also nur ein Fehler in der Matrix.

Wer ist es?

Wenn man's googeln muss, ist wahrscheinlich der Witz weg. Das ist Nerdliteratur: eine Frau mit hellseherischen Fähigkeiten, die unabsichtlich immer antwortet, bevor man die Frage gestellt hat. Da kommen äußerst seltsame Gespräche raus.

So ist es mir vorgekommen, als ich meine Antwort gelesen hatte und danach die Frage.

[TomS]

Zitat von JoAx

... warum muss man das Linienelement gleich dτ nennen (#2)? Es gibt ja schon ds, welches alles erfasst.

Das ist doch völlig egal; in natürlichen Einheiten mit c = 1 gilt dτ = ds.

Zitat von JoAx

Dann ist mir nicht klar, warum man ds = 0 mit einschließt.

Es geht um Geodäten als physikalische Weltlinien, d.h. physikalisch erlaubte Lösungen der Bewegunsgleichung für Teilchen.

Zitat von JoAx

Machen wir #2 und #5 so nicht ...

... dann können wir offensichtlich überhaupt keine Photonen diskutieren.

Zitat von JoAx

... müssen wir uns anschließend mit #9 und #10 gar nicht erst "rumschlagen"

Aber nur, weil wir etwas ausgeklammert haben, was wir nicht hätten ausklammern dürfen.

Meine Strategie war, nur das auszuschließen, was tatsächlich zu Problemen führt. Und das ist ausschließlich #9 und #10. Alles andere ist mathematisch zulässig und bis einschließlich #7 physikalisch erforderlich.

Zitat von JoAx

Das Analogon in der euklidischen Geometrie für lichtartige Geodäte wäre ein Punkt.

Ganz sicher nicht. Eine lichtartige Geodäte ist ein eindimensionales Objekt.

Zitat von JoAx

Ich habe schon gehört, dass Elemntarteilchen und Photone ziemlich gleich behandelt werden können, besonders, wenn erstere ultrarelativistisch werden. Aber ist es nicht sinnvoller es erst dort herauszuheben (QED & Co.), und nicht schon im Rahmen der "normalen" SRT?

In der ART könnte das imho auch böse mitspielen.

Einstein verwendet lichtartige Geodäten zur Berechnung der Lichtablenkung. Da ist nix böse.

Zitat von JoAx

Und zwar die wohl bekannte lichtartige Hyperfläche genannt Ereignishorizont. Dieser liegt in den Schwarzschild Koordinaten außerhalb des Definitionsbereichs.

Was lediglich zeigt, dass Schwarzschild-Koordinaten ungeeignet sind, um den Ereignishorizont und die Geometrie dieser Raumzeit vollumfänglich zu diskutieren; man verwendet dann andere Koordinatensysteme.

Der Ereignishorizont wird übrigens gebildet von der Gesamtheit der "auslaufenden" lichtartigen Geodäten mit ds = 0 und dr/dt = 0.

[Timm]

Zitat von Ich

...hoffentliich nicht unter Eid

Nein nicht. Es sei denn, Tom geht in die nächst höhere Instanz.

Zitat von Ich

...Nein, das mit der Energiedichte gilt nur im homogenen, isotropen - sprich: kosmologischen Fall, über den wir so oft gesprochen haben.

Ja, den hatte ich mit der Spezialisierung meines Vergleichs auch im Sinn. Aber es ist gut, daß Du auf die Verallgemeinerung hinweist. Wenn man von Krümmung spricht kann beides gemeint sein, Ricci oder Weyl.

[Marco Polo]

Zitat von Ich

Darunter fallen Gezeiten und Gravitationswellen, also alles, was verzerrt, ohne das Volumen zu ändern.

Gravitationswellen verformen doch die Raumzeit. Ist es da nicht naheliegend, dass sich dann auch das Volumen ebendieser beim Durchgang einer GW ändert?

[TomS]

Zitat von Marco Polo

Gravitationswellen verformen doch die Raumzeit. Ist es da nicht naheliegend, dass sich dann auch das Volumen ebendieser beim Durchgang einer GW ändert?

Gravitationswellen im Vakuum (Weyl-Krümmung) deformiert die Raumzeit, lassen jedoch das Volumen invariant.

[Timm]

Zitat von Marco Polo

Gravitationswellen verformen doch die Raumzeit. Ist es da nicht naheliegend, dass sich dann auch das Volumen ebendieser beim Durchgang einer GW ändert?

Der Ball aus Testpartikeln, der oft zur Veranschaulichung einer Volumenänderung dient, ist zunächst kugelförmig. Wenn ihn die Gravitationswelle passiert, wird er ohne Volumenänderung gedehnt und gestaucht. Diese lokale Krümmung der Raumzeit ist richtungsabhängig (wie beim freien Fall). Danach ist der Ball wieder Kugelförmig mit unverändertem Volumen.

Im isotrop expandierenden Universum nimmt das Volumen des Balls zu.