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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #31  
Alt 19.12.17, 19:12
Timm Timm ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 26.03.2009
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Danke für die Mühe.
Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Ok, ich probier's mal und hoffe, nichts Falsches zu erzählen.
Der relevante Killingvektor ist dt, nicht e. e ist die Größe, die bei unbeschleunigter Umgebung erhalten bleibt. Diese Größe ist hier die (spezifische) Gesamtenergie des Teilchens/Beobachters, also die Summe aus Masse, potentieller und kinetischer Energie. Das ist zumindest außerhalb des EH die eindeutige Interpretation. Aber Vorsicht, die Autoren haben für diese Interpretation das Vorzeichen falsch gewählt, e ist also die negative Gesamtenergie, was lästig ist.
e=-1 bedeutet, dass der Körper in unendlicher Entfernung (wo die potentielle Energie verschwindet) 1 J Energie pro 1 J (Ruhemasse im Unendlichen) hat. Das heißt, die kinetische Energie ist Null, alle Energie ist nur Ruhemasse. e=-1 charakterisiert ein Teilchen, das aus Ruhe im Unendlichen einfällt. Oder, andersrum gesprochen und um die Kurve zu Himmelsmechanik zu kriegen: Zeitumgekehrt hat so ein Körper gerade die Fluchtgeschwindigkeit, die er braucht, um ins Unendliche zu entkommen.
e<-1 bedeutet, dass der Körper im Unendlichen noch Geschwindigkeit übrig hat.
e<-1 bedeutet, dass der Körper im Unendlichen gar nich sein kann, weil er da noch nicht einmal die Ruhemasse hätte. Er fällt also von weiter innen ein - bzw. erreicht nicht die Fluchtgeschwindigkeit und fällt wieder zurück, wenn die Geschwindigkeit nach außen gerichtet wäre.
e=0 bedeutet, dass der Körper außerhalb des EH nicht existieren kann, weil er da negative Masse haben müsste. Das charakterisiert also einen Körper, der direkt vom EH einfällt.

Das heißt, die Bedingung e=0 heißt einfach, dass der Körper eine Bahn beschreibt, wie wenn er direkt vom EH eingefallen wäre.
Warum genau diese Bahn die mit der längsten Eigenzeit ist, habe ich mir nicht angeschaut. Wenn das also eigentlich deine Frage war, dann hilft dir diese Antwort nicht.
Bleiben wir erst mal bei der konstanten Beschleunigung, auch wenn das Eigenzeitmaximum hier suboptimal ist. Dann bleibt e innerhalb des EH nicht konstant, sondern nimmt nach Fig. 2 rechtes Diagramm umso schneller zu je größer die gewählte Beschleunigung ist. Dabei erreicht die rote Kurve (mit dem lokalen Maximum) r = 0 mit einem Wert für e < 1, während die anderen bei r > 0 den Wert e = 1 erreichen. Was bedeutet e = 1?

Grundsätzlich wächst e bei Beschleunigung "aufwärts". Ist das, was hier im Vergleich zum freien Fall (mit e = const.) hinzu kommt potentielle Energie?

Wenn ich PAllen richtig verstehe, entspricht die rote Kurve im Kruskal Diagramm der geraden Linie t = const. Ok, formal mag das so sein, aber die dahinterstehende Idee?

Du schreibst vom Killingvektor dt. Darunter kann ich mir noch nichts vorstellen. Vielleicht liege ich daneben, t = const. bedeutet doch dt = 0. Ist etwa der Killingvektor bei maximaler Eigenzeit Null?
__________________
Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus
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  #32  
Alt 19.12.17, 20:37
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
die Gleichung (16) ist einfacher.
Versuche mal (16) aus (13) herzuleiten.
__________________
Freundliche Grüße, B.

Ge?ndert von Bernhard (20.12.17 um 08:32 Uhr)
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  #33  
Alt 19.12.17, 22:59
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Dann folgt eigentlich direkt aus der Metrik, dass jedes dtheta, dphi oder dt, das man dazugibt, die Eigenzeit verringert. Also hält man die alle zu Null, und ist auf einer Linie konstanten ts unterwegs.
Das sieht nach einer guten heuristischen Erklärung aus, muß ich mir anhand der Metrik anschauen.


Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Dass t=const eine Geodäte sein soll, folgt daraus nicht. Die Argumente für die Geodäte hab ich mir nicht genau angeschaut.
Der Rest entspricht dem, was ich auch gesagt habe. Das Wort "axial" bezieht sich nicht auf das Diagramm, sondern darauf, dass man auf Kreisen konstanten Umfangs bleibt.
Ich weiß nicht, worauf Du Dich mit "Dass t=const eine Geodäte sein soll" beziehst. Es kann ja keine sein.
Ich hatte seine Argumentation "Kreise konstanten Umfangs" nicht verstanden. Was wollte er damit sagen?
__________________
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  #34  
Alt 20.12.17, 10:03
Ich Ich ist offline
Moderator
 
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Danke für die Mühe.

Bleiben wir erst mal bei der konstanten Beschleunigung, auch wenn das Eigenzeitmaximum hier suboptimal ist. Dann bleibt e innerhalb des EH nicht konstant, sondern nimmt nach Fig. 2 rechtes Diagramm umso schneller zu je größer die gewählte Beschleunigung ist. Dabei erreicht die rote Kurve (mit dem lokalen Maximum) r = 0 mit einem Wert für e < 1, während die anderen bei r > 0 den Wert e = 1 erreichen. Was bedeutet e = 1?
Nichts eigentlich, wenn ich mich nicht irre.
Zitat:
Grundsätzlich wächst e bei Beschleunigung "aufwärts". Ist das, was hier im Vergleich zum freien Fall (mit e = const.) hinzu kommt potentielle Energie?
Es kommt nichts hinzu, sondern es geht was weg. Die haben ja wie gesagt das Vorzeichen ungünstig gewählt.
Was weg geht, ist kinetische Energie, weil man nach außen beschleunigt.
Zitat:
Wenn ich PAllen richtig verstehe, entspricht die rote Kurve im Kruskal Diagramm der geraden Linie t = const. Ok, formal mag das so sein, aber die dahinterstehende Idee?
Nein, t=const soll laut PAllen eine Geodäte mit e=0 sein.
Zitat:
Du schreibst vom Killingvektor dt. Darunter kann ich mir noch nichts vorstellen. Vielleicht liege ich daneben, t = const. bedeutet doch dt = 0. Ist etwa der Killingvektor bei maximaler Eigenzeit Null?
Das habe ich missverständlich geschrieben, vergiss das dt in dem Zusammenhang. Der Killingvektor ist (t,x,y,z)=(1,0,0,0), dafür schreibt man auch \partial t.
Also: Das Killingvektorfeld besteht in jedem Punkt aus einem Vektor, der eine Koordinateneinheit in t-Richtung lang ist. Die Bedeutung des Feldes ist: Wenn du irgendein physikalisches Geschehen in Koordinaten beschreibst, und dann in jedem Punkt die t-Koordinaten um ein überall gleiches Vielfaches des Killingvektors verschiebst, dann ändert das nichts an dem beschriebenen Geschehen.
Wenn du stattdessen z.B. überall um eine Sekunde Eigenzeit (also entsprechend mehr Koordinatenzeit) verschieben würdest, dann wäre die Situation nicht mehr die gleiche.
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  #35  
Alt 20.12.17, 10:14
Ich Ich ist offline
Moderator
 
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Ich weiß nicht, worauf Du Dich mit "Dass t=const eine Geodäte sein soll" beziehst. Es kann ja keine sein.
Laut PAllen schon. Unser Gegenargument zieht ja nicht, weil diese Geodäte tatsächlich nie den EH überquert.
Zitat:
Ich hatte seine Argumentation "Kreise konstanten Umfangs" nicht verstanden. Was wollte er damit sagen?
Die r-Koordinate ist ja über den Umfang von Kreisen definiert, nicht über radiale Abstände.
Aus der Argumentation in meinem vorherigen Beitrag folgt, dass sich r nicht ändert, wenn man entlang t verschiebt. Das gilt auch innerhalb des EH.
Der Unterschied ist nur, dass t dort eine Raumrichtung bezeichnet. Du hast da als Raumgeometrie also eine Kugeloberfläche (theta und phi-Richtungen), die als dritte Dimension die t-Richtung hat. Um sich das vorzustellen, lässt man eine Dimension der Kugeloberfläche weg, so dass ein Kreis übrigbleibt. Senkrecht dazu kann man noch entlang t verschieben, so dass die Geometrie einer Zylinder-Mantelfläche entspricht. In dieser Geometrie entspricht t der Achsrichtung, deshalb nennt er die Koordinate "axial".
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  #36  
Alt 20.12.17, 23:12
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Laut PAllen schon. Unser Gegenargument zieht ja nicht, weil diese Geodäte tatsächlich nie den EH überquert.
Ja, t=const. ist eine zeitartige Geodäte, #21. Er hat den allgemeinen Fall behandelt. Gefragt war der “suboptimale Fall”, das Maximum der Eigenzeit bei konstanter Beshcleunigung. Keine Ahnung, wie diese Weltlinie im Kruskal Diagramm aussieht.
Soviel von unterwegs. Du hast noch einiges geschrieben, wozu ich Fragen habe. Dazu später.
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  #37  
Alt 21.12.17, 23:29
Bernhard Bernhard ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Nein, t=const soll laut PAllen eine Geodäte mit e=0 sein.
Ich habe mal mit der Schwarzschild-Metrik die Eigenzeit entlang einer Weltlinie von r=rS bis r=0 mit t=const. ausgerechnet und dabei die Eigenzeit des Frei-Fallers mit e = 0 erhalten.

Vielleicht klärt das ja ein Mißverständnis. Für eine radiale Geodäte bekommt man in Schwarzschild-Koordinaten nämlich kein t=const. für den freien Fall im Bereich 0 <= r <= r_S.
__________________
Freundliche Grüße, B.

Ge?ndert von Bernhard (21.12.17 um 23:36 Uhr)
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  #38  
Alt 22.12.17, 15:07
Timm Timm ist offline
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Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Ich habe mal mit der Schwarzschild-Metrik die Eigenzeit entlang einer Weltlinie von r=rS bis r=0 mit t=const. ausgerechnet und dabei die Eigenzeit des Frei-Fallers mit e = 0 erhalten.

Vielleicht klärt das ja ein Mißverständnis. Für eine radiale Geodäte bekommt man in Schwarzschild-Koordinaten nämlich kein t=const. für den freien Fall im Bereich 0 <= r <= r_S.
Meinst Du den Freifaller aus dem unendlichen mit der Eigenzeit piGM/c³ zwischen rS und r=0? Dann verstehe ich t=const. und e = 0 nicht.

Nach meinem momentanen Verständnis sehe ich 2 Möglichkeiten für e = 0:

Der Freifaller fällt ab r=rS (rein theoretisch). Ich nehme an, das hast Du gerechnet. Kannst Du die Rechnung zeigen, zumindest die Schritte, ich würde es gern nachvollziehen.

Oder er fällt von außerhalb durch den rS und folgt dann nach kurzer Beschleunigung der Geodäte t=const mit e = 0. Wählt er andere kurze Beschleunigungen und fällt dann frei, ist e=const. aber <> 0.

EDIT Wobei man wohl annehmen kann, daß die zweite Möglichkeit mit der kurzen Beschleunigung das fallen lassen am EH quasi simuliert.
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Ge?ndert von Timm (22.12.17 um 15:54 Uhr)
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  #39  
Alt 22.12.17, 16:48
Bernhard Bernhard ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Meinst Du den Freifaller aus dem unendlichen mit der Eigenzeit piGM/c³ zwischen rS und r=0?
Nein.

Zuerst habe ich eine Rechnung zum allgemeinen radialen Freifaller gemacht, um zu sehen, in welcher Beziehung t als Schwarzschild-Koordinate zur Eigenzeit tau steht.

Ich habe dazu diesen Link https://en.wikipedia.org/wiki/Schwar...test_particles verwendet
Zitat:
When E=mc2 and h=0, we can solve for t and τ explicitly:
Die zweite Formel nach diesem Zitat kann umgeformt werden, so dass man r als Funktion der Eigenzeit tau erhält. Dieses r kann in die zweite Formel dieses Abschnittes eingesetzt werden. Man erhält dann die Formel:
dt = dtau * E / (mc²) * (1 - (2*rS / (3 *c * tau))^(2/3))^(-1)

Dabei gilt zusätzlich E = mc² * sqrt(1 - rS / r0)

r0 ist dabei der Startradius des freien Falls, an dem also dr/dt = 0 gilt.

Startet der Freifaller am EH geht dessen Gesamtenergie gegen Null und es gilt dt = 0, womit bewiesen ist, dass t=const. genau diesem Freifaller entspricht.

Rechnung 2: Motiviert von Ichs obiger Erklärung kann man in der Schwarzschild-Metrik dt = dtheta = dphi = 0 setzen und erhält dann die Formel:
c * dtau = dr / sqrt(rS/r - 1)
Diese Gleichung kann integriert werden. Setzt man auf der rechten Seite die Integrationsgrenzen von r=rS bis r=0 ein, so erhält man die bekannte Formel tau = -pi * M. Wegen dt = 0 gilt hier ebenfalls t = const.
__________________
Freundliche Grüße, B.

Ge?ndert von Bernhard (22.12.17 um 18:17 Uhr)
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  #40  
Alt 22.12.17, 17:45
Timm Timm ist offline
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Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Ich habe dazu diesen Link https://en.wikipedia.org/wiki/Schwar...test_particles verwendet

Die zweite Formel nach diesem Zitat kann umgeformt werden, so dass man r als Funktion der Eigenzeit tau erhält. Dieses r kann in die zweite Formel dieses Abschnittes eingesetzt werden. Man erhält dann die Formel:
dt = dtau * E / (mc²) * (1 - (2*rS / 3 / tau)^(2/3))^(-1)

Dabei gilt zusätzlich E = mc² * sqrt(1 - rS / r0)

r0 ist dabei der Startradius des freien Falls, an dem also dr/dt = 0 gilt.

Startet der Freifaller am EH geht dessen Gesamtenergie gegen Null und es gilt dt = 0, womit bewiesen ist, dass t=const. genau diesem Freifaller entspricht.
dr=0 wegen dr/dt = 0 ist klar. Aber wie folgt dt=0?

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Rechnung 2: Motiviert von Ichs obiger Erklärung kann man in der Schwarzschild-Metrik dt = dtheta = dphi = 0 setzen und erhält dann die Formel:
c * dtau = dr / sqrt(rS/r - 1)
Soweit war ich auch. Die Integration sollte mit Wolfram Alpha zu machen sein, oder?
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Ge?ndert von Timm (22.12.17 um 18:11 Uhr)
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