Bellsches Raumschiffparadoxon: Abgewandelte Problemstellung

[Marco Polo]

@zeitgenosse:

du hattest 2 Zitate verglichen,

Das heißt aber, dass vom hinteren Raumschiff aus gesehen die Entfernung des vorderen immer weiter anwächst, der Abstand der beiden Raumschiffe ist eben nicht konstant, sondern nimmt zu. Damit wird das Seil gespannt und muss schließlich reißen.

und

Das Seil ist bewegt und wegen der Längenkontraktion kürzer als in Ruhe. In Ruhe muss es daher länger als L sein, um vom einen Befestigungspunkt zum anderen zu reichen. Das Seil reißt.

die dir "inkonsistent" erscheinen.

Die Aussagen in den beiden Zitaten sind aber völlig korrekt. Es sind die unterschiedlichen Betrachtungsweisen, die sich nun mal in den unterschiedlichen Bezugssystemen ergeben.

In dem Bezugssystem, in dem beide Raketen vor dem Start ruhten (meinetwegen auf der Erde), behalten beide Raketen den gleichen Abstand, der der Seillänge entspricht. Egal wie lange diese beschleunigen.
In diesem Bezugssystem wird aber die Seillänge auf l/gamma kontrahiert, was zum Reissen des Seiles führt, das es im Gedankenbeispiel keine Zugkräfte aufnehmen kann.

Weiters werden die Weltlinien der beiden Raketen in diesem Bezugssystem, zu jedem Zeitpunkt durch das relativistische Weg-Zeit-Gesetz beschrieben.

Rakete A

x=c²/α(sqrt(1+(αt/c)²)-1)

Rakete B

x=c²/α(sqrt(1+(αt/c)²)-1)+l

Beide Weltlinien haben also zu jedem Zeitpunkt den wohldefinierten Abstand l (Seillänge).

Anders sieht das eben im beschleunigten System der Rakete A aus.

Da behält das Seil seine Eigenlänge, aber die Raketen entfernen sich "beschleunigt" voneinander. Eben wegen des unterschiedlichen Gleichzeitigkeitsbegriffs der beiden Raumfahrer A und B.

Der Abstand der beiden Raketen im beschleunigten System ergibt sich mit:

x'=γA*l+c²/α(sqrt(1+α²/c^4*(ßA)²(γA)²*l²)-1)

Für den Kenner von Minkowski-Diagrammen ist das auch ganz leicht einzusehen, da im Ruhesystem des Erdbeobachters, beide Raketen zeitgleich bei v=0 beschleunigen. Beide Weltlinien beginnen auf der x-Achse bei ct=0. Wir wissen, dass 2 Ereignisse, die sich auf Geraden parallel zu x-Achse oder gar auf dieser befinden, stets gleichzeitig sind.

Für jeden Punkt auf der Weltlinie von A können wir ein neues Minkowski-Diagramm aufspannen. Die entgegen dem Uhrzeigersinn rotierte x'-Achse schneidet wie auch schon zuvor die x-Achse, beide Raketenweltlinien.
Nur diesmal werden beide Weltlinien nicht an Punkten gleicher Steigung geschnitten, wie dies vom Ruhesystem der Erde aus betrachtet unzweifelhaft der Fall ist, sondern an Punkten unterschiedlicher Steigung. Diese Punkte liegen beide auf der rotierten x'-Achse und geschehen aus Sicht von Rakete A daher gleichzeitig.

Unterschiedliche Steigungen der Weltlinien und das beides gleichzeitig. Das bedeutet in unserem Fall: Unterschiedliche Beschleunigungen der beiden Raketen aus Sicht der Rakete A. Die Raketen müssen sich also im beschleunigten System der Rakete A voneinander entfernen. Das gilt natürlich selbstverständlich auch aus Sicht der Rakete B.

Im übrigen bin ich der Meinung, dass sich dass Bellsche Paradoxon nicht so ohne weiteres auf das Beispiel von Earl Grey übertragen lässt. Mir will im Moment nur kein einleuchtender Grund dafür einfallen. Wenn sich der Abstand beider Raketen aus Sicht der hinteren Rakete unendlich vergrössern kann. Müsste dann die vordere Rakete nicht irgendwann die hintere sozusagen überrunden? Irgendwas habe ich wohl dabei übersehen. Wird der Umfang der Kreisbahn aus Sicht der Raketen auch irgendwann unendlich gross? Oder wie, oder was? *am Kopf kratz*

Ich schau mir das am Wochenende mal genauer an.


Gruss, Marco Polo

[zeitgenosse]

Zitat von EMI

Einwand zurückgewiesen zeitgenosse

Wie begründest du deine Zurückweisung? Der Vorteil des Ehrenfest-Paradoxons ist glücklicherweise der, dass wir eindeutig zwischen Ruhe und Bewegung unterscheiden können (bei zwei beliebig orientierten Inertialsystemen ist das ohne eine zusätzliche Referenz nicht möglich). Wenn nun der Kreisumfang durch Einheitsmeter (z.B. massive Stahlstangen von genau 1 m Länge) ausgebildet und der Scheibenrand somit durch einen Polygonzug approximiert wird, müssten diese Meterstäbe bei Rotation doch eine gleich grosse Kontraktion erfahren wie ein parallel dazu abgelegter mitrotierender Standardmeter. Dadurch aber wird es dem Beobachter verunmöglicht, eine Veränderung des Umfanges zu konstatieren. Gr. zg

[Earl_Grey]

Zitat von zeitgenosse

... Der Vorteil des Ehrenfest-Paradoxons ist glücklicherweise der, ...

Vielen Dank für den Hinweis, zeitgenosse: Das http://de.wikipedia.org/wiki/Ehrenfestsches_Paradoxon kannte ich bisher weder vom Namen her noch inhaltlich.
Was mich auf den ersten Blick etwas stutzig macht: Wikipedia ist da ja jetzt nicht unbedingt vielsagend und auch sonst findet man im Netz hierzu kaum "gute" Quellen.

Vielleicht für Euch von Interesse: Wie kam ich dann auf die Ausgangs-Fragestellung die ja sehr nach dem Ehrenfest-Paradoxon "riecht"?
Im Bellschen Raumschiff-Paradox ist "das Vorne und das Hinten" im beschleunigten System von Bedeutung um Aussagen abzuleiten.
Wenn die beiden Raumschiffe nun aber im Kreis statt hintereinander fliegen würden geht diese eindeutige Zuordnung der Raumschiffe "A = vorne" und "B = hinten" verloren. Das hat zur Folge dass ... ? Hmmm. Abgeleitet aus dem Bellschen Paradox müsste der Abstand sowohl zwischen A und B als auch zwischen B und A immer größer werden (analog den Schlußfolgerungen von Marco Polo) bzw. für den ruhenden Beobachter die Seile immer kürzer werden. Aber sie würden nicht zwingend reissen sondern einfach eine kürzere Verbindung zwischen den Raumschiffen suchen. D.h. je schneller die Raumschiffe fliegen um so mehr nimmt die Gesamtkonstruktion die Form eines Eies an.
Oder bleibt - da die gleichen physikalischen Gesetzmäßigkeiten ja auch für die Raumschiffe gelten - die ganze Konstruktion ein Kreis? Dann müsste aber der Radius mit zunehmender Geschwindigkeit immer kleiner werden - Sonderbar (und ich gebe zu: Frappierend ähnlich zu den Überlegungen von Ehrenfest).
Und weiterhin kam mir dann noch in den Sinn, dass man den Versuchsaufbau gleichzeitig als abgewandeltes Zwillings-Paradoxon (wie oben beschrieben) betrachten könnte: Dann müssten ja jeweils die gleichen Ergebnisse herauskommen.
Da es keine dumme Fragen gibt und fragen zudem nix kostet ...

Zitat von zeitgenosse

Der Vorteil des Ehrenfest-Paradoxons ist glücklicherweise der, dass wir eindeutig zwischen Ruhe und Bewegung unterscheiden können.

Korrekt: Der, der Trägheitskräfte verspürt, bewegt sich - Das gilt aber für alle Beschleunigungen.

Gruß

EG

[Sino]

Ich nehme an, dass das Seil auch auf der markierten Kreisbahn ausgebreitet ist vor dem Start.

Hmm, also dann würde ich das Startsignal aus dem Zentrum der Kreisbahn abfeuern. Dann beschleunigen die Raumschiffe aus der Sicht des Beobachters im Zentrum auch gleichzeitig und keine Position ist gegenüber der anderen irgendwie ausgezeichnet.
Die idealisierten, also massefreien starren Seile würden ebenfalls an jedem Punkt gleichzeitig beschleunigen.

In dem Fall gehe ich eigentlich davon aus, dass gar nichts reisst. Jedes Seilteilchen sähe zwar die anderen lorentzverkürzt, und zwar die die sich auf der gegenüberliegen Seite des Kreises befinden, am stärksten, die in der Nachbarschaft fast gar nicht, aber der Umfang der Kreisbahn würde aus der Sicht des Teilchens ja auch immer kleiner durch die Lorentzkontraktion.

Naja, müsste ich auch mal nachrechnen, das war nun rein intuitiv.

[Earl_Grey]

Sorry: hatte gerade meinen letzten Beitrag noch geändert während Du Deinen reingestellt hast - Sehe jetzt auf Anhieb daraus aber keinen Widerspruch / Handlungsbedarf.

Aber um es weiterzuspinnen: Und wenn sich der Umfang tatsächlich verkleinern sollte - Welche Auswirkung hat das auf die Geschwindigkeit?

Ansonsten sehen wir halt Phi auch als relativ an und biegen dadurch wieder alles gerade:
Phi = U sqrt(1-v²/c²) / 2r bzw.
Phi = U sqrt(1-w²r²/c²) / 2r

[Earl_Grey]

Ist die Längenkontraktion nun
a) eine reale Verkürzung des betreffenden Objekts in seiner Länge oder
b) das "visuelle" Ergebnis, welches der ruhende Beobachter sieht, und dessen Ursache in "Der Raum vergrößert sich aber die Länge des Objekts bleibt gleich" (bzw. "Der Maßstab des Beobachters vergrößert sich aber die Länge des Objekts bleibt gleich") zu suchen ist?

Im Falle a) hätten wir meines Erachtens ein Problem mit einem kleineren Umfang bei gleichbleibenden Radius (Schließlich soll immer U = 2 Pi r gelten - oder irre ich?), im Fall b) nicht (da nur eine Art "optische Verzerrung"): Was beschreibt die Lorentz-Kontraktion nun genau?

[zeitgenosse]

Zitat von EMI

Das beschleunigte Punktsystem verhält sich für einen mitbewegten Beobachter wie die Expansion des Universums. Egal auf welchem Punkt er sich befindet die anderen Punkte entfernen sich von ihm, je weiter weg die Punkte sind, je schneller!

Damit unterstellst du aber, dass sich der Raum selbst zwischen den Endpunkten A und B ausdehnt! Dafür gibt es m.E. keine physikalisch plausible Grundlage. Gehen wir zwischendurch zur Kreisbahn zurück. Sollte dem so sein wie du sagst, müsste das vordere Raumschiff (in Bewegungsrichtung gesehen) sich immer weiter vom hinteren entfernen, bis es dieses schliesslich überholt. Das wäre doch der reinste Irrsinn und zu recht ein Paradoxon! Gr. zg

[Earl_Grey]

Zitat von zeitgenosse

Sollte dem so sein wie du sagst, müsste das vordere Raumschiff (in Bewegungsrichtung gesehen) sich immer weiter vom hinteren entfernen, bis es dieses schliesslich überholt.

Was sollte daran paradox sein? Das das hintere Raumschiff überholende vordere würde dann doch exakt gleichzeitig auch vom hinteren überholt ...

Im Übrigen würde sich das System meines Erachtens selbst immer weiter beschleunigen (Beispiel: Senkrechter Stab - Schnur an der Spitze befestigt - Kugel am anderen Ende der Schnur - Kugel in Rotation um den Stab versetzt - Ergebnis: Mit kleiner werdendem Radius wird die Kugel immer schneller; ich weiß nicht wie man diese Konstruktion eigentlich nennt) - Aber das tut jetzt auch nichts zur Sache.

[Marco Polo]

Zitat von Earl_Grey

Ist die Längenkontraktion nun
a) eine reale Verkürzung des betreffenden Objekts in seiner Länge oder
b) das (rein) visuelle Ergebnis, welches der ruhende Beobachter sieht, und dessen Ursache in "Der Raum vergrößert sich aber die Länge des Objekts bleibt gleich" zu suchen ist?

Was beschreibt die Lorentz-Kontraktion nun genau?

Hallo Earl Grey,

die Längenkontraktion gilt als Vorhersage für ein Messergebnis.

Da jedes Inertialsystem sein eigenes Gleichzeitigkeitskriterium hat, überträgt sich das automatisch auf die Ergebnisse von Längenmessungen.

Das Ergebnis der Messung der Länge eines Stabes in einem relativ zu dir bewegten Inertialsystem, ist aus deiner Sicht als real zu bezeichnen. Die Längenkontraktion ist also keine visuelle Geschichte.

Jetzt werden Beobachter in anderen Inertialsystemen natürlich zu anderen Messergebnissen für die Länge des selben Stabes kommen. Auch für diese anderen Beobachter ist das Messergebnis real.

Nur ein Beobachter im Ruhesystem des Stabes (also ein mitbewegter Beobachter) misst stets die maximale Länge des Stabes. Es ist die Eigenlänge.

Egal wer beobachtet. Alle Messergebnisse sind aus Sicht des Messenden real.

Wenn du mit ß=0,8, also 0,8c zu einem 8 LJ entferneten Planeten fliegst, dann verkürzt sich diese Entfernung aus deiner Sicht auf 4,8 LJ. Du kommst daher bereits nach 6 Jahren Eigenzeit auf dem Planeten an.

Also wenn das nicht real ist, dann weiss ich auch nicht.

Gruss, Marco Polo

[Earl_Grey]

@Marco Polo: Aber haben wir dann nicht tatsächlich ein Problem (z.B. mit Pi)?