Wurzelfreie Herleitung des Kreises durch das Quadrat

[mermanview]

Tag Leute,

ich war sehr lange weg.

Im Sinne von richy's gelegentlichem Credo: "shut up and calculate" hab ich mir Zeit gelassen,
um -neben dem eigentlichen Leben- schrittweise zu rechnen:

Ergebnis:

Der trigonometrische x- Faktor

Herleitung von exakten Kreispunkt-Koordinaten ohne Wurzelfunktion:

Namensgebung:

..........x = x-Faktor, a und b = Koordinaten (a|b) des Einheitskreises


Berechnung:

x-Faktor:

..........x = frei wählbar (>1)

Exakte Startwerte für die Reihenberechnung der Kreispunkte

..........a(1) = (x²-1) / (x²+1)
..........b(1) = (2x) / (x²+1)

Iteration exakter Kreispunkte:

..........a(n+1) = a(n) * a(1) – b(n) * b(1)
..........b(n+1) = a(n) * b(1) + b(n) * a(1)

Ergebnisse,

bei x = 5:




bei x = 20:





Durch Ausprobieren stellte sich heraus,
dass bei x = 114,5886501293 für MS-Excel der ideale Wert entsteht,
um pro Iterationsschritt auch die Sinus- und Kosinuswerte für 1°-360°
auf mehrere Kommastellen genau zu berechnen !


bei x = 114,5886501293:






Gesamt gesehen sieht das Ergebnis mager aus, für ca. 8 Monate Rechenzeit,
(wenn mal Zeit war, zu calculaten), die Zwischenergebnisse waren reichlich.

Was hier steht war auch vor 9 Monaten schon bekannt,
wurde allerdings von mir nicht in dieser Reihenfolge angewandt und vorgeschlagen.



Der x-Faktor ergab sich aus a²+b²=c² mit c=1:

....(1-a) * x = b = (1+a)/x
=> x = Wurzel((1+a)/(1-a))

=> ....a = (x²-1)/(x²+1)
und ...b=(2x)/x²+1)

Geometrisch steht x für die Steigung der Sehne eines Kreisabschnittes,
welcher durch ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, das man in einen Einheitskreises zeichnet.

Bild:
(c bzw. r = 1)



bdmnxt

Merman