Einsteins Uhrenhypothese

[Bauhof]

Hallo zusammen,

nach Einsteins "Uhrenhypothese" (die sich auf beschleunigte Uhren bezieht) kann man die Zeitdilatation einer bewegten Uhr, die auf einer Kreisbahn rotiert, wie folgt näherungsweise berechnen: Einstein ersetzte die Kreisbahn durch einen Polygonzug. Dann kann man für jede geradlinige Seite des Polygons die Geschwindigkeit als konstant annehmen und für diese kleine Strecke die übliche Zeitdilatationsformel für Inertialsysteme anwenden. Indem man die Eckenzahl des Polygons immer größer werden lässt, nähert sich das Polygon immer mehr dem Kreis an.

Wenn die bewegte Uhr zu einem auf dem Kreis ruhenden Beobachter nach einer vollen Umrundung zurückkehrt, weisen beide Uhren unterschiedliche Zeigerständen auf. Der Einwand der Einstein-Kritiker: Aufgrund des Relativitätsprinzips kann ein Beobachter, der die bewegte Uhr mit sich führt, behaupten, dass die Uhr des ruhenden Beobachters sich spiegelbildlich verhält. Dieser Einwand ist falsch, weil der bewegte Beobachter ständig sein Inertialsystem bei jeder Polygonzug-Ecke wechselt, hingegen der auf dem Kreis ruhende Beobachter nicht. Ich denke, das ist hier allen bekannt, ich habe daran nur zur Darlegung meines eigentlichen Problems erinnert.

Mein eigentliches Problem:
Eine Raumstation ruht in einem gravitationsfreien Gebiet des Weltraums. Von dieser Raumstation startet ein Raumschiff A und bewegt sich auf einer Kreisbahn vom Radius R mit der konstanten Winkelbeschleunigung alpha. Nach Ablauf des Zeitintervalls T hat es einmal den Kreis durchlaufen und trifft deshalb wieder bei der Raumstation ein. Das Raumschiff hat also den Weg 2•Pi•R zurückgelegt. Die Winkelbeschleunigung alpha soll so groß sein, dass das Raumschiff beim Wiedereintreffen bei der Raumstation eine Geschwindigkeit von v=0,8c hat. Alle Größen (R, alpha, T und v) wurden auf der Raumstation gemessen. Es muss jetzt nicht berechnet werden, welche Zeit T' im Raumschiff verstrichen ist, denn wir wissen hier alle, dass aufgrund der Einsteinschen Uhrenhypothese die Raumschiff-Eigenzeit T' < T sein muss. Das genügt. Meine Frage lautet anders:

Ein zweites Raumschiff B bewegt sich geradlinig von A nach B mit einer konstanten Beschleunigung x. Die Distanz zwischen A und B beträgt 2•Pi•R. Das Raumschiff erreicht den Punkt B nach Zeit T (gemessen in der Raumstation) und passiert diesen mit der Geschwindigkeit v=0,8c. Frage: Wie groß ist die konstante Beschleunigung x, ausgedrückt als Funktion von R, alpha, T und v? Darf man davon ausgehen, dass die geradlinige Bewegung von Raumschiff B physikalisch äquivalent der Bewegung des Raumschiffes A ist, das sich auf der Kreisbahn bewegt?

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[Uli]

Zitat von Bauhof

Hallo zusammen,

nach Einsteins "Uhrenhypothese" (die sich auf beschleunigte Uhren bezieht) kann man die Zeitdilatation einer bewegten Uhr, die auf einer Kreisbahn rotiert, wie folgt näherungsweise berechnen: Einstein ersetzte die Kreisbahn durch einen Polygonzug. Dann kann man für jede geradlinige Seite des Polygons die Geschwindigkeit als konstant annehmen und für diese kleine Strecke die übliche Zeitdilatationsformel für Inertialsysteme anwenden. Indem man die Eckenzahl des Polygons immer größer werden lässt, nähert sich das Polygon immer mehr dem Kreis an.

Wenn die bewegte Uhr zu einem auf dem Kreis ruhenden Beobachter nach einer vollen Umrundung zurückkehrt, weisen beide Uhren unterschiedliche Zeigerständen auf. Der Einwand der Einstein-Kritiker: Aufgrund des Relativitätsprinzips kann ein Beobachter, der die bewegte Uhr mit sich führt, behaupten, dass die Uhr des ruhenden Beobachters sich spiegelbildlich verhält. Dieser Einwand ist falsch, weil der bewegte Beobachter ständig sein Inertialsystem bei jeder Polygonzug-Ecke wechselt, hingegen der auf dem Kreis ruhende Beobachter nicht. Ich denke, das ist hier allen bekannt, ich habe daran nur zur Darlegung meines eigentlichen Problems erinnert.

Mein eigentliches Problem:
Eine Raumstation ruht in einem gravitationsfreien Gebiet des Weltraums. Von dieser Raumstation startet ein Raumschiff A und bewegt sich auf einer Kreisbahn vom Radius R mit der konstanten Winkelbeschleunigung alpha. Nach Ablauf des Zeitintervalls T hat es einmal den Kreis durchlaufen und trifft deshalb wieder bei der Raumstation ein. Das Raumschiff hat also den Weg 2•Pi•R zurückgelegt. Die Winkelbeschleunigung alpha soll so groß sein, dass das Raumschiff beim Wiedereintreffen bei der Raumstation eine Geschwindigkeit von v=0,8c hat. Alle Größen (R, alpha, T und v) wurden auf der Raumstation gemessen.
...
Eugen Bauhof

Blöde Frage, Eugen: muss es nicht "Winkelgeschwindigkeit" statt Winkelbeschleunigung heißen ?
Es wird doch von einer gleichförmigen Kreisbewegung ausgegangen.

Gruß,
Uli

[Marco Polo]

Zitat von Uli

Blöde Frage, Eugen: muss es nicht "Winkelgeschwindigkeit" statt Winkelbeschleunigung heißen ?
Es wird doch von einer gleichförmigen Kreisbewegung ausgegangen.

Hi Uli,

darf ich auch antworten? Das Raumschiff startet ja bei v=0 und trifft mit v=0,8c wieder bei der Raumstation ein.

Da muss es sich also um eine Winkelbeschleunigung handeln, würde ich mutmassen.

Gruss, Marco Polo

[Uli]

Zitat von Marco Polo

Hi Uli,

darf ich auch antworten? Das Raumschiff startet ja bei v=0 und trifft mit v=0,8c wieder bei der Raumstation ein.

Da muss es sich also um eine Winkelbeschleunigung handeln, würde ich mutmassen.

Gruss, Marco Polo

Glaube ich nicht: Einsteins Idee war es doch, das Problem auf eine geradlinig, gleichförmige Bewegung zurückzuführen. Das macht nur Sinn für eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.

Wo hast du her, dass es mit v=0 losgehen soll ?

Gruß,
Uli

[Marco Polo]

Zitat von Uli

Wo hast du her, dass es mit v=0 losgehen soll ?

ich habe Bauhofs Zitat:

Von dieser Raumstation startet ein Raumschiff A und bewegt sich auf einer Kreisbahn vom Radius R mit der konstanten Winkelbeschleunigung alpha. Nach Ablauf des Zeitintervalls T hat es einmal den Kreis durchlaufen und trifft deshalb wieder bei der Raumstation ein. Die Winkelbeschleunigung alpha soll so groß sein, dass das Raumschiff beim Wiedereintreffen bei der Raumstation eine Geschwindigkeit von v=0,8c hat.

folgendermassen interpretiert: Da es sich nach Aussage von Bauhof um eine Winkelbeschleunigung handelt, die zudem so gross sein soll, dass sich am Ende die Geschwindigkeit v=0,8c ergibt, bin ich von einer Startgeschwindigkeit v=0 und einer Zielgeschwindigkeit von v=0,8c ausgegangen.

Ich wüsste nicht, wie man das anders interpretieren sollte.

Wenn natürlich Start- und Zielgeschwindigkeit identisch sind, dann handelt es sich, wie du richtig erkannt hast, lediglich um eine Winkelgeschwindigkeit.

Ich habe Bauhofs Beispiel aber anders verstanden.

Gruss, Marco Polo

[Uli]

Zitat von Marco Polo

ich habe Bauhofs Zitat:



folgendermassen interpretiert: Da es sich nach Aussage von Bauhof um eine Winkelbeschleunigung handelt, die zudem so gross sein soll, dass sich am Ende die Geschwindigkeit v=0,8c ergibt, bin ich von einer Startgeschwindigkeit v=0 und einer Zielgeschwindigkeit von v=0,8c ausgegangen.

Ich wüsste nicht, wie man das anders interpretieren sollte.

Wenn natürlich Start- und Zielgeschwindigkeit identisch sind, dann handelt es sich, wie du richtig erkannt hast, lediglich um eine Winkelgeschwindigkeit.

Ich habe Bauhofs Beispiel aber anders verstanden.

Gruss, Marco Polo

Eugen schreibt aber auch

Zitat von Eugen

Einstein ersetzte die Kreisbahn durch einen Polygonzug. Dann kann man für jede geradlinige Seite des Polygons die Geschwindigkeit als konstant annehmen und für diese kleine Strecke die übliche Zeitdilatationsformel für Inertialsysteme anwenden.

(Hervorhebung von mir)
Das geht sicher nur für konstante Winkelgeschwindigkeit.

Vielleicht hat Eugen da selbst etwas falsch verstanden ?

Gruß,
Uli

[Marco Polo]

Zitat von Uli

Das geht sicher nur für konstante Winkelgeschwindigkeit.

Vielleicht hat Eugen da selbst etwas falsch verstanden ?

Hmm...das scheint sich in der Tat zu widersprechen. Scharfsinnig erkannt.

Wir müssen da wohl auf eine Stellungnahme von Bauhof warten.

Gruss, Marco Polo

[Marco Polo]

Zitat von EMI

Also ist hatte Bauhof so verstanden, das er eine beschleunigte Kreisbewegung meinte.
Also eine Beschleunigung der Beschleunigung.

Auch Winkelbeschleunigung genannt.

Für ein differentielles Zeitelement dürfte eine beschleunigte Kreisbewegung eine konstante Beschleunigung sein und keine konstante Geschwindigkeit.

Nein. Wenn eine Winkelbeschleunigung vorliegt und wir ein differentielles Zeitelement betrachten, dann liegt eine Winkelgeschwindigkeit vor und damit eine zu diesem Zeitpunkt konstante Geschwindigkeit.

Ein Körper auf einer Kreisbahn ist trotz konstanter Geschwindigkeit beschleunigt.

Na ja. Damit erzähle ich dir natürlich nichts Neues.

Aber dein unteres Zitat ist irgendwie widersprüchlich. Vielleicht habe ich aber auch mal wieder was missverstanden. Wäre nichts wirklich Neues.

Gruss, Marco Polo

[Marco Polo]

Zitat von EMI

Eine konstante Winkelgeschwindigkeit ist eine konstante Beschleunigung und eben keine konstante Geschwindigkeit.

Bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aber nun mal eine konstante Bahngeschwindigkeit. Wie soll bitte aus einer konstanten Winkelgeschwindigkeit eine veränderliche Bahngeschwindigkeit resultieren?

Bei einer konstanten Bahngeschwindigkeit liegt lediglich eine Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors vor. Der Betrag dieses Vektors ist davon nicht betroffen.

Auch bei einer Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors sprechen wir von einer beschleunigten Bewegung, selbst wenn der Betrag des Vektors sich nicht verändert.

Winkelgeschindigkeit ≠ Geschwindigkeit sage ich mal.

Dass Winkelgeschwindigkeit nicht das Gleiche wie Bahngeschwindigkeit ist, weiss ich auch. Hatte ich aber auch nicht behauptet. Das schliesst aber nicht aus, dass sowohl Winkelgeschwindigkeit als auch Bahngeschwindigkeit gleichzeitig konstant sind. Nur darum ging es.

Die Winkelgeschwindigkeit ist proportional zur Bahngeschwindigkeit.

v=omega*r bzw. 2*pi*r/t

v=Bahngeschwindigkeit
omega=Winkelgeschwindigkeit
r=Radius

Gruss, Marco Polo

[Uli]

Zitat von Marco Polo

...
Dass Winkelgeschwindigkeit nicht das Gleiche wie Bahngeschwindigkeit ist, weiss ich auch. Hatte ich aber auch nicht behauptet. Das schliesst aber nicht aus, dass sowohl Winkelgeschwindigkeit als auch Bahngeschwindigkeit gleichzeitig konstant sind. Nur darum ging es.
...
Gruss, Marco Polo

Wenn mich mein schwaches Gedächtnis nicht wieder mal im Stich lässt, war das auch genauso in Einsteins Beispiel. Der Fall einer Kreisgeschwindigkeit konstanten Betrags reicht ja auch schon aus, sehr interessante Konsequenzen zu diskutieren.

Beispielsweise stellt der Reisende auch eine Längenkontraktion des Kreisumfanges fest. Wenn er sich selbst als ruhend in einem Gravitationsfeld ansieht (ART), deutet sich hier schon eine Raumkrümmung an wegen
U < 2*pi*r usw.

Mir scheint, der Fall einer beschleunigten Kreisbewegung bringt nichts Neues und verkompliziert die Diskussion einfach unnötig.

Gruß,
Uli