Photon am Ereignishorizont

[SCR]

Hallo rene,
vorab erst einmal recht herzlichen Dank für Deine Bemühungen! Schließlich könnte es auch Perlen vor die ...

Zitat von rene

Könntest du ein konservativeres Beispiel nennen, das nicht gleich von einem Beobachter am Ereignishorizont ausgeht?

Sorry - Ich hatte eben einfach die zentrale Fragestellung dieses Threads aufgegriffen.

Zitat von rene

Dort entsteht eine Koordinatensingularität und hat eine unendliche Zeitdilatation zu einem feldfreien Beobachter zur Folge (Division mit Null).

Ja, die Division durch Null schlägt auch immer in den zuvor hier diskutierten Formeln durch. Frage am Rande: Inwieweit ist es bei einer Division durch Null zulässig Grenzwertbetrachtungen durchzuführen um daraus eine "unendliche Zeitdilatation" abzuleiten? Ich hätte als erstes geschlußfolgert "am EH ist keine Zeit definiert / Der EH ist zeitlos." (Das würde meines Erachtens dazu passen dass alles was mit c unterwegs ist, zeitlos wäre)

Zitat von rene

Ich stricke jetzt mal selber eines:

Gerne!

Zitat von rene

a:=G*M/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r1:=10000;r2:=10100;
f_t := 1 + M*G*(1/r2-1/r1) / c^2 ;

Anmerkung am Rande: Entweder sind oben oder unten r1 und r2 vertauscht.

Zitat von rene

f_t = 1.0034792 (Schwarzschild-Lösung)
Man sieht sofort, dass die Newton-Näherung die Schwarzschild-Lösung unterschätzt.

Außer man berücksichtigt in der Newton-Lösung die Längenkontraktion:
g1 = M*G / r1² = 1,85852E+12
[1] r1'' = r1*(v²/c²)^0,5 - r1 = 61983554,51
g2 = M*G / r2² = 1,8219E+12
[2] r2'' = r2*(v²/c²)^0,5 - r2 = 61369656,94

[3] f_t := 1 + (M*G*(1/r2''-1/r1'') / c^2) * r2

f_t = 1,003337272

(An den Formeln muß ich aber noch ein wenig basteln)

Zitat von rene

Noch eine Anmerkung zur Längenkontraktion der ART: [...]

Ganz im Ernst: Bis noch etwa zwei Beiträge zuvor dachte ich die Längenkontraktion wäre "laut Lehrbuch" ein reiner SRT-Effekt.

Zitat von rene

Am Beispiel des Turms ergeben sich die Beträge:
130.3574m über hintereinander gelegte Meterstäbe
169.6364m von oben gemessen über die Lichtlaufzeit
170.2276m von unten gemessen über die Lichtlaufzeit

Wie hast Du die denn berechnet? Ich hätte jetzt erwartet:
Von unten gemessen: Die längste Länge
Von oben gemessen: Die kürzeste Länge
"Abgelaufen": zwischendrin

[rene]

Zitat von SCR

Wie hast Du die denn berechnet? Ich hätte jetzt erwartet:
Von unten gemessen: Die kürzeste Länge
Von oben gemessen: Die größte Länge
"Abgelaufen": zwischendrin

Hallo SCR

Berechnet habe ich die über Meterstäbe nachgemessene Strecke mit

-int(sqrt(1/(1-r_s/r)),r=r1..r2)

aus dem metrischen Tensor g_ik ohne Projektion auf einen Raum-/Zeitpunkt mit dem Tensor x_mu.

Das klingt in der Tat merkwürdig. Die Meterstäbe des “Wanderers“ passen sich lokal an jeder Stelle innerhalb eines infinitesimal kleinen Raum-/Zeitgebietes an und folgen der aktuellen Krümmung, wobei er an jeder Stelle die konstante Lichtgeschwindigkeit c mit seinen mitgeführten Uhren und Meterstäben misst.

Über die Lichtlaufzeit wird ein Raum-/Zeitgebiet mit unterschiedlicher Krümmung von einem stationären Punkt aus vermessen, dessen Meterstäbe und Uhren sich auf diesen stationären Punkt beziehen (lokal gültig sind) und eine verzerrte Länge zur Folge haben sowie eine von c abweichende Lichtgeschwindigkeit.

Grüsse, rene

[rene]

Nachtrag:

Die Länge eines als infinitesimal kleinen angenommenen Meterstabes l’ kann mit

l = l’ * sqrt(1-r_s/r)

in feldfreie Koordinaten überführt werden. Nehmen wir die Strecke von l’=130.3574m und legen r einmal mit r1 und mit r2 fest, ergeben sich folgende Werte:

mit r1: 99.8255m
mit r2: 100.1734m


P.S. Ich kann dir dieses Skript empfehlen:
http://docs.sfz-bw.de/phag/skripte/relativitaet.pdf

Grüsse, rene

[EMI]

Zitat von rene

Jedoch ohne Computerunterstützung für die numerische Berechnung der Integrale (für die es leider keine geschlossene analytische Lösung gibt) wirst du dies nicht nachrechnen können.

Jo SCR, hier musst Du die Ohren spitzen!
Es macht einfach Laune wenn rene mal wieder online ist.

Nur mal so ein Gedanke nebenbei von mir:

Die ZD in der ART kann man an der Schwarzschildlösung "ablesen":

(ds)² = (dr)²/(1-rg/r) + r²[(dΘ)² + sin²Θ(dψ)²] - (1-rg/r)c²(dt)²

Denkt man sich hier an einem festen Raumpunkt (r=konstant, Θ=konstant und ψ=konstant) und beachtet noch die Beziehung zwischen Linienelement und Eigenzeit:

(ds)² = -c² (dτ)²

folgt:

(dτ)² = (1 - rg/r) (dt)²

dt/dτ ≈ 1 + rg/2r

Hilft Dir das weiter SCR?

Gruß EMI

[rene]

Hallo EMi

Über eine Taylor-Reihe lassen sich die Integrale bestimmt mit einem vernünftigen Konvergenzkriterium und einigen wenigen Gliedern in guter Näherung berechnen. Und die Mazrizenmultiplikationen sind mit theta=0 und phi=0 auch keine Hexerei mehr. Aber immerhin ein entsprechender Aufwand.

Im Zeitalter der elektronischen Rechenknechte geraten solche Methoden immer mehr in den Hintergrund, was eigentlich schade ist. Es ist einfach zu verlockend, ein nicht geschlossen lösbares Integral über einen Interpreter numerisch zu bestimmen - sogar dann wenn es (jedoch nicht in diesem Fall) analytisch lösbar wäre (ich aber zu faul dazu bin).

Grüsse, rene

[SCR]

Zitat von EMI

Jo SCR, hier musst Du die Ohren spitzen!

Das mache ich doch immer und bei jedem - Aber hinsichtlich Qualität muß ich Dir schon Recht geben.

Zitat von EMI

dt/dτ ≈ 1 + rg/2r
Hilft Dir das weiter SCR?

Jepp! Ist ja meine Rede: Wenn r gegen ∞ geht geht die ZD gegen 0.

@rene: Vielen Dank für den sehr interessanten Link (Werde ich mir in Ruhe zu Gemüte führen).

Aber noch einmal zu den gemessenen Längen - Da muß ich doch noch einmal nachfragen:
Der Turm ist eigentlich für alle der Gleiche - Sie verwenden für seine Messung eben nur Meterstäbe, die auf Grund der Längenkontraktion unterschiedlich lang sind.
Der Meterstab "nahe dem Gravi.Zentrum" ist der Kürzeste -> Der Turm ist mit diesem "unveränderlichen" Meterstab 1 gemessen am Höchsten.
Der Meterstab "an der Turmspitze" ist der Längste -> Der Turm ist mit diesem "unveränderlichen" Meterstab 2 gemessen am Kürzesten.
Jetzt geht einer mit einem "variablen" Meterstab 3 die Treppen hoch: Unten ist der Meterstab ganz kurz (= Meterstab 1), mit zunehmender Höhe wird er immer länger (An der Turmspitze angekommen = Meterstab 2).
Von daher müsste die Messung mit dem Meterstab 3 doch zwischen Meterstab 1 und Meterstab 2 liegen ...

[rene]

Zitat von SCR

Der Meterstab "nahe dem Gravi.Zentrum" ist der Kürzeste -> Der Turm ist mit diesem "unveränderlichen" Meterstab 1 gemessen am Höchsten.
Der Meterstab "an der Turmspitze" ist der Längste -> Der Turm ist mit diesem "unveränderlichen" Meterstab 2 gemessen am Kürzesten.

Hallo SCR

Die verschiedenen Messtechniken zwischen der Lichtlaufzeit einer Längenmessung und der sich der aktuellen Raum-/Zeitkrümmung anpassenden Skalierung mitgeführter Meterstäbe können nur sehr schlecht miteinander verglichen werden, da sich die Uhren nicht mitbewegen, sondern stationär sind. Und dass die mittels Meterstäben ermittelte Eigenlänge nichts mit der Lichtlaufzeit zu tun hat und jenseits davon steht, kann man sich auch über einen frei fallenden Körper in Richtung Ereignishorizont vergegenwärtigen, der aus einer feldreien Perspektive scheinbar unendlich lange dazu braucht, währenddessen der frei fallende Beobachter diesen in endlicher Eigenzeit und endlicher Eigenlänge erreicht.

Ob ein “Turmwanderer“ die Höhe mit mitgeführten Meterstäben von unten nach oben oder von oben nach unten vermisst, spielt keine Rolle. Ganz im Gegensatz zur Längenbestimmung über die Lichtlaufzeit.

Man könnte auch eine Messlatte mit Markierungen vom Boden bis zur Turmspitze anbringen, was messtechnisch aufs Gleiche hinauskommt. Beide Beobachter (am Boden und auf der Turmspitze) lesen somit einen identischen Wert ab, deren Längenskalierung jedoch nicht mehr linear ist und sich zudem voneinander unterscheidet. Der Beobachter am Boden sieht die untere Meterskala am längsten, während sich die Meterskala weiter oben zunehmend aus dessen Sicht verkürzt.
Für einen Beobachter auf der Turmspitze verhält es sich nun (fast) genau umgekehrt. Er sieht die Meterskala oben am kürzesten, jedoch aufgrund der zunehmenden Raum-/Zeitkrümmung nach unten anders skaliert als der Beobachter am Boden. Die resultierende Länge ist somit für alle 3 Fälle identisch (von oben nach unten, von unten nach oben und skalierte Messlatte).

Verwirrend daran ist insbesondere die unterschiedliche raum-/zeitliche Skalierung der Längenabschnitte zwischen der unteren Meterskala von unten betrachtet und der oberen Meterskala von oben betrachtet, obwohl sie die gleichen Eigenlängen haben. Ein lokal betrachteter Meterstab wird von einem anderen Ort verschieden gemessen.
Die Projektion einer nicht-euklidischen vierdimensionalen Raum-/Zeit auf ein euklidisches Koordinatensystem geht immer mit perspektivischen Verzerrungen einher und kann zu Visualisierungsproblemen bis hin zu falschen Schlussfolgerungen führen.


Wir können mit der Formel (die nur für infinitesimal kleine Eigenlängen genau ist)

l = l' * sqrt(1-r_s/r1)

die Eigenlänge l’=1m am Ort r1 ins feldfreie System transformieren und nach l’ aufgelöst auf eine andere Schale r2 zurücktransformieren:

l’ = l / sqrt(1-r_s/r2)

und somit eine Skalierung der Messlatte für den Bodenbeobachter erstellen. Die Rechnung beschränkt sich auf die Punkte r1 und r2 und kann für alle dazwischenliegenden Werte analog angewendet werden.

Entsprechend kann mit

l = l' * sqrt(1-r_s/r2) und
l’ = l / sqrt(1-r_s/r1)

und allen weiteren zwischen r1 und r2 liegenden Werten eine Skalierung für den Turmbeobachter vorgenommen werden.


Grüsse, rene

[SCR]

Hallo rene,
jetzt noch einmal in Verbindung mit dem hier

Zitat von rene

Das klingt in der Tat merkwürdig. Die Meterstäbe des “Wanderers“ passen sich lokal an jeder Stelle innerhalb eines infinitesimal kleinen Raum-/Zeitgebietes an und folgen der aktuellen Krümmung, wobei er an jeder Stelle die konstante Lichtgeschwindigkeit c mit seinen mitgeführten Uhren und Meterstäben misst.

Über die Lichtlaufzeit wird ein Raum-/Zeitgebiet mit unterschiedlicher Krümmung von einem stationären Punkt aus vermessen, dessen Meterstäbe und Uhren sich auf diesen stationären Punkt beziehen (lokal gültig sind) und eine verzerrte Länge zur Folge haben sowie eine von c abweichende Lichtgeschwindigkeit.

denke ich, hat's geklingelt.
Also konkret hat es noch nicht geklingelt - Aber durch das Fenster habe ich gesehen, dass schon jemand vor der Tür steht und es womöglich gleich tun wird.
-> Ich glaube, ich hab's vom gedanklichen Ansatz her verstanden - Muß es aber erst noch verdauen.

Mit diesen LGs messen der Beobacher oben (oben) und der Beobachter unten (unten):

... während der "Wanderer" immer lokal mit dem "absoluten" c misst ...

[JoAx]

Hallo SCR,

Zitat von SCR

Mit diesen LGs messen der Beobacher oben (oben) und der Beobachter unten (unten):

am Ort des Beobachters muss c= 2,99792458 E+08 gemessen werden. Ist es bei dir der Fall?


Gruss, Johann

[rene]

Hallo JoAx

SCR ist offensichtlich aus einer feldfreien Position ausgegangen mit den dort gemessenen Lichtgeschwindigkeiten:

c(r) = c*(1-r_s/r)

Überprüft habe ich es freilich nicht. Die im Gravitationsfeld an den Orten r1 und r2 gemessenen Lichtgeschwindigkeiten innerhalb eines Intervalls (hier die Turmhöhe) sind nur noch tensoriell zu berechnen und haben selbstverständlich lokal immer c für den Beobachter am Boden bei r1 und für den Beobachter auf dem Turm bei r2.

Grüsse, rene