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  #1  
Alt 03.11.08, 22:26
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard Math - Fibonacci Integraltransformation

Hi

So eine Integraltransformation gibt es meines Wissens noch nicht.
Ich will im folgenden einfach mal bischen weiter mit den Fibonacci Zahlen herumspielen.
Bin mir natuerlich darueber im klaren, dass ich nicht der erste bin der dies tut.
Der Thread hier soll auch wieder ein Merkzettel fuer mich sein.
Kann auch sein, dass ich einige mathematische Ausdruecke falsch verwende.

Mit dem Gedanken eine Fib Integraltransformation herzuleiten beschaeftige ich mich schon laenger.
Allerdings ueber das Konzept nicht so ganz schluessig.
Konkret die Parameterwahl.

Wie kann man fundamental eine Integraltransformation herleiten ?
Prinzipiell ist dies mit der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate moeglich. Indem man Basisfunktionen B(a,t) waehlt die von einem oder mehreren Parametern a abhaengen.
Die Methode von Gauss ist eine diskrete Methode, mit der man nun versucht
ueber eine Summe von k Basisfunktonen B(a(k),t) eine vorgegebene Funktion
f(t) mit der Methode der kleinsten Quadrate zu approximieren.

Die Methode der kleinsten Quadrate ermittelt ueber Integration den Fehler in einem frei waehlbaren Intervall t=[t0..t1]
Enthaelt die komplette Aproximationsfunktion (meist eine Summe der Basisfunktionen) m Parameter und stehen m Bestimmungsgleichungen zur Verfuegung, so erhaelt man eine m*m Matrix, deren Inversen das Approximationsproblem loest.

Besonders einfach wird die Approximation wenn die Basisfunktionen ein
Orthonormalsystem bezueglich dem Integrationsintervall t=[t0..t1] bilden.
Aufgrund der Ausblendeigenschaft ist dann nur die Hauptdiagonale der m*m Matrix mit von Null verschiedenen Werten besetzt.

Solch ein orthogonales System stellen zum Beispiel die harmonischen Schwingungen dar. Und komplex zusammengefasst die komplexe Exponentialfunktion.
Die Orthogonalitaet der Basisfunktonen ist aber keine zwingend notwendige Voraussetzung. Sie erspart lediglich die Inversion der Bestimmungsmatrix.

Ueber die Methode der kleinsten Quadrate lasst sich jedes Set von Basisfunktionen, dass an die Problemstellung angepasst ist als Approximation verwenden.

Soweit sogut
Wie will ich jezt bei den Fibonacci Zahlen weiter vorgehen ?
Zunaechst moechte ich an deren kontinuierliche Form in der komplexen Ebene erinnern:

gt=0.681 ....
Realteil: 1/sqrt(5)*( exp(-k*ln(gt)) - exp(k*ln(gt)*cos(k*PI) ) )
Imaginaerteil: - 1/sqrt(5)*exp(k*ln(gt)*sin(k*PI) )

Was kann man hier erkennen ?
Zum einen werden diese durch eine komplexe Exponentialfunktion gebildet.
Damit koente man die Ortogonalitaet ausnutzen.
Im Realteil der Fibonacci Zahle existiert noch der Term :
exp(-k*ln(gt))
gt ist kleiner als eins und daher ist dies der Anteil, der die Fibonacci Zahlen
exponentiell anwachsen laesst.
Und damit natuerlich auch den orthogonalen Charakter verdirbt.

Will ich diesen Charakter vordergruendig beschreiben oder den Mechanismus in der komplexen Ebene, der die Fibonacci Zahlen fuer ganzzahlige Werte auf die reelle Achse abbildet ?
Am besten waere natuerlich elementar die Methode der kleinsten Quadrate anzuwenden.
Da waere aber ein riesen Aufwand.
Ich untersuche daher erstmal eine ueber die Anfangswerte modifizierte Version der Fibonaccci Zahlen.

Ge?ndert von richy (07.11.08 um 01:52 Uhr)
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  #2  
Alt 04.11.08, 22:09
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Fibonacci Integraltrasformation

Hier also erstmal bischen Spielerei.

Die Z-Transformation zur Loesung der DZGL der Fibbonacci-Zahlen auf meiner Webseite haette ich mir sparen koennen, denn das Programm maple kann auch
Differenzengleichungen loesen.

Hie mal die Loesung fuer der DZGL
s[k+2]=s[k+1]+s[k]
fuer beliebige Anfangswerte c0=s[0], c1=s[1]

l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) );

Das ist die uebliche Darstellung der Loesung
Man sieht hier aber schlecht, dass die Funktion fuer relle n komplexwerig ist.
Dies laesst sich ueber den evalc() Befehl von Maple erreichen :

l:=(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c1},s) );


Nun sieht man sehr schon, dass die Loesung komplexwertig ist und aus drei Teilen besteht :

A) Ein exponentiell wachsender Anteil
B) Exponentiell gedaempfter Realteil
C) Exponentiell gedaempfter Imaginaerteil

A+ B bilden dabei die Loesung fuer ganzzahlige k

Ueber letztere Darstelung ist es nun auch einfach die Anfangswerte so zu waehlen, dass verschiedene Charakteren der ueber die Anfangswerte verallgemeinerten Fibonacci DZGL in der komplexen Ebene eingestellt werden koennen.

Beispiel 1
*******
Unterdruecke ich einfach mal das Exponentielle Wachstum der Fib Zahlen :
Im Gegendatz zur ueblichen Darstellung sieht man sofort dass dies erfuellt ist wenn ich den ueber die Anfangswerte gebildeten Vorfaktors des Terms A geeignet waehle :

solve(1/5*c0+1/10*c1+1/10*5^(1/2)*c1=0,c0);

Die Loesung lautet :
c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
Fuer c1=-1 erhalt man (nicht unbedingt ueberraschenderweise)
c0= goldener Schnitt

Hier mal ein Bild der Spirale :

with(plots);
c1:=-1; c0:=-1/2*c1*(1+5^(1/2));
l:=evalc(rsolve({s(n+2)=s(n+1)+s(n),s(0)=c0,s(1)=c 1},s));
complexplot(l,n=0..50);


Ich habe mich nun gefragt, ob diese Bedingung c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
denn auch durch ganzzahlige Werte zu erfuellen ist :-)
Exakt nicht .... aber
-C0/C1=goldener Schnitt
daemmert hier jemandem etwas ?

Klar das Verhaeltnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci Zahlen selbst strebt gegen den goldenen Schnitt, je groesser diese gewaehlt werden.
Wen wunderts ? :-)

Waehlt man also zwei aufeinanderfolgende Fibonacci Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen als Anfangswerte, so ergibt sich eine recht tueckische Funktion.
Zuerst scheinen die Werte gegen Null zu streben.
Irgendwann schlaegt dann aber Term A durch, der nicht genau kompensiert ist und die Funktion waechst exponentiell.

Ge?ndert von richy (25.11.11 um 03:51 Uhr)
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  #3  
Alt 05.11.08, 23:00
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Standard AW: Fibonacci Integraltrasformation

Was genau willst du hier eigentlich zeigen?
Vielleicht sagst du mal was du dir davon versprichst, eine neue Integraltransformation einzuführen, die ich allerdings noch nicht gefunden habe?!
Dazu noch auf der Basis einer Zahlenfolge von ganzen Zahlen, was sich ja irgendwie mit Integralen, also kontinuierlichen Dingern, schlecht verträgt.

Naja, es wäre schön, wenn du den Thread hier etwas öffentlicher umstrukturieren könntest- merkzettel kannst du dir zuhause an den Kühlschrank kleben
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
Richard P. Feynman
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  #4  
Alt 06.11.08, 00:58
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Standard AW: Fibonacci Integraltransformation

Na immerhin ist es doch schon interessant, dass wenn man als Anfangswerte der Fibonaccifolge
limit(n->00 s0=fib(n), s1=-fib(n+1)) waehlt, dass dann die Folge konvergiert.
Oder eben wenn ich -1 und den goldenen Schnitt waehle.
Zitat:
Dazu noch auf der Basis einer Zahlenfolge von ganzen Zahlen, was sich ja irgendwie mit Integralen, also kontinuierlichen Dingern, schlecht verträgt.
Siehst du in den Termen A,B,C eine Einschraenkung fuer natuerliche Zahlen ???
Zeig sie mir mal bitte. Ich sehe sie nicht.
Die Fibonacci Reihe wird fuer unganzzahlige Werte komplex. Das ist alles.
Und stellt fuer oben genannte Anfangswerte eine komplexe logarithmisch gedaempfte Exponentialfunktion dar.
Sagt dir der Ausdruck exp(-s*t) s=alpha+jw etwas ?

Da ist s die Variable im Bildbereich. Anhand der Terme A,B,C sieht man schonmal, dass die Fibfolge zwar eine komplexe Exponentialfunktion enthaelt, die Anfangswerte s(0),s(1) aber nicht in deren Frequenz eingehen
Man hat zwar die Ausblendeigenschaft der komplexen Exponentialfunktion, aber man kann die Frequenz nicht variieren.
Also ich sehe das schonmal ganz deutlich.
Ebenso, dass es notwendig waere den Term A zu kompensieren. Das ist ueber die Anfangswerte moeglich.

Der naechste Schritt ware es die Frequenz zu veraenern.
Und das koennte folgende Gleichung loesen :
l:=evalc(rsolve({s(n+2)=r1*s(n+1)+r0*s(n),s(0)=c0, s(1)=c1},s));
Allerdings geht hier das Ergebnis in Maple ueber mehrere Seiten.
Wobei ich fuer s(0)=s(1) schon einiges ueber doie Loesung weiss :
http://home.arcor.de/richardon/richy...ytic/frac2.htm

Ich bin also im Moment dabei zu untersuchen welche Parameter denn am zweckmaessigsten waeren und wie ich die Ausblendeigenschaft,Orthogonalitaet erhalte.
Letzteres ist zwar keine notwendige Bedingung um Funktionen zu approximieren, aber eben ungemein praktisch.

Man koennte auch ganz einfach ueber die Methode der kleinsten Quadrate vorgehen. Das fuehrt aber zu keiner Integraltransformation, sondern statt dem Integral zu einer Reihe. Hab ich oben ja verucht zu erlautern.
Und auch geschrieben :
Zitat:
Ich will im folgenden einfach mal bischen weiter mit den Fibonacci Zahlen herumspielen
Zitat:
merkzettel kannst du dir zuhause an den Kühlschrank kleben
Der ist zu klein dafuer.

Aber ist ok.
Wenn ich fertig bin loesche ich ganz einfach den Thread wieder.
Kam was sinnvolles dabei heraus, stelle ich es auf meine HP.
Hier zu schreiben ist nun mal einfacher wie die HP zu modifizieren.
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  #5  
Alt 06.11.08, 01:24
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Hamilton Hamilton ist offline
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Standard AW: Fibonacci Integraltransformation

Zitat:
Siehst du in den Termen A,B,C eine Einschraenkung fuer natuerliche Zahlen ???

Zitat:
Sagt dir der Ausdruck exp(-s*t) s=alpha+jw etwas ?
1. Ja, ich bin Physiker, ich hab sowas durchaus schon mal gesehen
2. Es sagt mir, dass du Elektroingeniuer oder sowas bist, denn alle anderen schreiben i und nicht j

Zum Rest:
Also kurz: Ich bin kein Fibonnaciologe, alles was ich darüber weiß ist, dass es um Wachstum von (ganzzahligen) Karnickeln in Fibonnacis Garten ging.
Für mich ist das eine Zahlenfolge mit Gliedern ∈ N
Wenn das nicht so ist, weißt du da mehr als ich.


Zitat:
Ich bin also im Moment dabei zu untersuchen welche Parameter denn am zweckmaessigsten waeren und wie ich die Ausblendeigenschaft,Orthogonalitaet erhalte.Letzteres ist zwar keine notwendige Bedingung um Funktionen zu approximieren, aber eben ungemein praktisch.

Normaliesieren kannst du wenn du deine Funktionen mit was multiplizierst, was schnell genug abfällt, also Gauß, oder exp(-|x|) o.Ä.

Findest Du eine Basis, dann kannst du daraus immer mit dem Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren auch eine ONB konstruieren.
__________________
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Richard P. Feynman
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  #6  
Alt 06.11.08, 17:59
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Standard AW: Fibonacci Integraltransformation

Hi Hamilton
Zitat:
2. Es sagt mir, dass du Elektroingeniuer oder sowas bist, denn alle anderen schreiben i und nicht j
Ja. E.Ing, weil sich i mit der Stromdichte i beissen wuerde.

Zitat:
Also kurz: Ich bin kein Fibonnaciologe, alles was ich darüber weiß ist, dass es um Wachstum von (ganzzahligen) Karnickeln in Fibonnacis Garten ging.
Das ist richtig aber bischen wenig :-)

Ich bin auch kein Fibonacciloge aber kann hinzufuegen dass :

-Der Quotient zweier folgender Fib Zahlen gegen den goldenen Schnitt konvergiert.
Dies zeigt sich auch in der Kettenbruchdartellung :

oder der Loesung A+B+C oben.
Das duerfte der Aspekt sein warum diese Reihe uns stets eine lange Nase zeigt.

-Oder dass die Fib Zahlen im Pascalschen Dreieck gebildet werden koennen.
Also aus Summe von Binominalkoeffizienten.

-Dass nach dem Theorem von Zeckendorf jede Zahl als Summe nichtfolgender Fib Zahlen geschrieben werden kann.
(Zeckendorf Sequenz)

- Das die aus den Fib Zahlen gebildete goldene Sequenz ebenfalls verrueckte Eigenschaften aufweist. Und diese in der Informatik genutzt werden. (Fibonacci Heap)
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal...ci/fibrab.html

- Die Fib Zahlen in der Mandelbrotmenge vorkommen

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal...ci/fibrab.html
-Dass die Primfaktoren Zipf Verteilt sind.

Die Liste ist fast unueberschaubar :
Manche Fibonacciologen sind fast wie besessen :
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/

Nur mal ein Schmankerl :
http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html

89 ist eine Fibzahl 89=Fib(11)
1/89=0.01123595506 beginnt also mit der Fib Reihe

- Benutze ich die Notation k=fib(n) so bestehen auch zwischen n und k Zusammenhaenge die man kaum glauben will. ( In obiger Darstellung waeren dies zusammenhaenge, dass ich Term A+B+C in n einsetzte)

Zitat:
Für mich ist das eine Zahlenfolge mit Gliedern ∈ N
Wenn das nicht so ist, weißt du da mehr als ich.
Die Fakultaet ist auch fuer Gliedern ∈ N definiert.
Es gibt dennoch auch eine Gammafunktion.
A+B+C sind genauso die verallgemeinerten Fib Zahlen. Komplex.
Fuer Im=0 (Schnittpunkt mit Re Achse erhaelt man die ganzzahligen Werte)

Zu meinen Experimenten.
*******************
Vielleicht haette ich zunaechst schreiben sollen :
Fibonacci Zahlen Reihensummenapproximation.
Das koennte man auf jeden Fall mit der Methode der kleinsten Quadrate realisieren. Dabei erhalt man fuer n Parameter a eine n*n Bestimmungsmatrix.
Ist die Basisfunktion orthogonal, so ist die Matrix nur in der Hauptdiagonalen besetzt. Die Gleichungen entkoppelt. Mit der Gauss Methode sieht man das sehr anschaulich.
Was haette ich dann davon ?
Ich kann sehen wieviel Anteil Fib (von einem Parameter) in einer Funktion enthalten ist. Und da die Fib Zahlen ueber solch eine ungaubliche Vielfalt von Eigenschaften verfuegen erhoffe ich mir damit einiges.

Zitat:
Findest Du eine Basis, dann kannst du daraus immer mit dem Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren auch eine ONB konstruieren.
Ja, die Methode laesst sich auch auf Funktionalraeume anwenden. Aber ich will ja wissen was dann mit der DZGL passiert. Und zwischen dieser und deren Loesung, die ich als Basisfunktion verwenden moechte) steht z.B. eine Z Transformaton. Die muesste ich rueckwaerts anwenden um zu sehen wie das Orthogonalisierungsverfahren die DZGL veraendert. Das waere ein riesen Aufwand.

Mit exp(-s*t) meinte ich auch die Basisfunktion der La Placetransformation.
Wenn ich Term A ueber die Anfangswerte kompensiere und dennoch im innern die Eigenschaften der Fib Zahlen erhalten bleibt, dann hab ich doch schon fast alles. Denn B und C stelln eine komplexe gedaempfte Exp Funktion dar.
Ich koennte zum Beispiel auch den Parameter w als fib(w*n) oder fib(w+n) verwenden.

Dann waere eine damit gebildete Integralstransformation eine La Placetransformation mit einem speziellen Schnitt in der s Ebene.
Ich koennte alle bekannten Eigenschaften der La Place Transformation ausnuetzen.
So ist ja auch die Foeuriertransformation eine Spezielle La Place transformation, In der in s=alpha+j*omega der Fall alpha=0 betrachtet wird.

Gruesse

Ge?ndert von richy (07.11.08 um 19:54 Uhr)
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  #7  
Alt 07.11.08, 02:50
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Nur mal zum anschauen :
Die Laplacetrasformierete der verallgemeinerten Fib-Zahlen c0=c1=1 in der komplexen S-Ebene


Ge?ndert von richy (07.11.08 um 19:56 Uhr)
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  #8  
Alt 08.11.08, 01:05
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Hier hab ich mal einige einfachste Loesungen der DZGL's vom Fibonaccityp zusammengestellt :

f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=i
Loesung : i^n = exp(i*Pi/2*n)
**********************

f(n+2)=-2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-i
Loesung : (-i)^n
***********

f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=2*i
Loesung : (n+1)*i^n
***********

f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-2*i
Loesung : (n+1)*(-i)^n
***********


f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=k, f(1)=k
Loesung : k*(n+1)*(1/2)^n
***************************

f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=2*k, f(1)=k
Loesung 2*k*(1/2)^n

f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=1, f(1)=2
Loesung2^n

EDIT 2010
Wenn ich noch wuesste wie ich damals darauf kam waere ich froh :-)

Ge?ndert von richy (24.09.10 um 01:31 Uhr)
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  #9  
Alt 09.11.08, 00:28
Jogi Jogi ist offline
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Hi richy.

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen

Ich habe mich nun gefragt, ob diese Bedingung c0=-c1*(1+wurzel(5) )/2
denn auch durch ganzzahlige Werte zu erfuellen ist :-)
Exakt nicht .... aber
-C0/C1=goldener Schnitt
daemmert hier jemandem etwas ?

Klar das Verhaeltnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci Zahlen selbst strebt gegen den goldenen Schnitt, je groesser diese gewaehlt werden.
Wen wunderts ? :-)
Nee, wundert natürlich niemand, weil der Goldene Schnitt ja genau die Bedingung der Fib-Funktion erfüllt.
Eigentlich völlig banal.

Aber hier:
Zitat:
Hier hab ich mal einige einfachste Loesungen der DZGL's vom Fibonaccityp zusammengestellt :

f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=i
Loesung : i^n = exp(i*Pi/2*n)
**********************

f(n+2)=-2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-i
Loesung : (-i)^n
***********

f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=2*i
Loesung : (n+1)*i^n
***********

f(n+2)=2*i*f(n+1)+f(n), f(0)=1, f(1)=-2*i
Loesung : (n+1)*(-i)^n
***********


f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=k, f(1)=k
Loesung : k*(n+1)*(1/2)^n
***************************

f(n+2)=f(n+1)-1/4*f(n), f(0)=2*k, f(1)=k
Loesung 2*k*(1/2)^n
Könntest du mal im Klartext (also Prosa) erläutern, ob wir mit einer dieser Lösungen was anfangen können?


Gruß Jogi
__________________
Die Geschichte wiederholt sich, bis wir aus ihr gelernt haben.
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  #10  
Alt 09.11.08, 03:54
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richy richy ist offline
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Hi Jogi
Zitat:
Nee, wundert natürlich niemand, weil der Goldene Schnitt ja genau die Bedingung der Fib-Funktion erfüllt.
Eigentlich völlig banal.
So ganz banal ist das nicht, im Gegenteil. Oder uebersehe ich gerade etwas ? Denn das Verhaeltnis zweier Fib(n) Zahen naehert sich nur dem goldenen Schnitt fuer grosse n.

Aber untersuchen wir die Sache mal genauer. (g soll 0.618033988 .. sein)
Wobei g+1 als der goldene Schnitt bezeichnet wird. Beides ist aber so gut wie das Selbe. 1+g=1/g

Wie ich darauf komme eins und g als Anfangswerte zu waehlen ist klar.
Um den Term A zu kompensieren waehle ich c0 und c1 so, dass der Vorfaktor
(1/5*c0+1/10*c1+1/10*5^(1/2)*c1) des Terms gleich Null wird.
Das ist keine grosse Kunst. (Es gibt 2 Loesungen)
Es bleiben die exponentiell gedaempften harmonischen Terme B und C.
Die modifizierte Fib Version nenne ich mal Fibg
Berechnen wir Fibg(n+1)/Fib(n)

Am einfachsten sieht man das sofort an der nicht komplex umgeschriebenen Funktion :

(Sorry die Ascii Scheibweise, aber nur der blaue Teil interessiert)
Die ganzen Vorfaktoren kuerzen sich beim Verhaeltnis raus :

Die Loesung lautet in der Schreibweise :
-8*(3+5^(1/2))/(5^(1/2)+1)^3*(-2/(Wurzel(5)+1))^n
(-2/(Wurzel(5)+1))^n und aus dem Term bleibt beim Bilden des Verhaeltnis
-2/(Wurzel(5)+1)
Also wiederum -g
*************
Bei der Fib Reihe konvergiert der Reihenquotient gegen 1.618033988
Bei der Fibg Reihe ist er kostant ! gleich -0.618033988

Es kommt aber noch viel besser !

Hier mal einige Werte der Fibg(n) (Reihe)

Die haben alle die Form : (Die Reihe ist wegen -A alternierend)
- A / (Wurzel(5) +1 ) + B

Mit folgenden Werten fuer A, B
.A. .B.
000 001
002 000
002 001
004 001
006 002
010 003
016 005
026 008
042 013
068 021
110 034
178 055
288 089

Und die Werte von B duerften dir sicherlich bekannt sein
Ha jetzt wissen wir gleich wie 42 und 13 zusammenhaengen :-)
Hast du eine Idee fuer A ? Kann man natuerlich berechnen was das fuer Zahlen sind.
Das naechste Mal. Dann auch mehr zu den Loesungen und wie weit meine Integraltransformation ist.
Wobei ich da trotz einiger Ergebnisse kurz davor bin aufzugeben.

Ge?ndert von richy (09.11.08 um 04:53 Uhr)
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