Vierergeschwindigkeit

[Bauhof]

Hallo zusammen,

in Wikipedia lese ich folgendes über die Vierergeschwindigkeit:

Die Norm der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der speziellen als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zu

[siehe Anhang]

Anders ausgedrückt bewegt sich jeder Gegenstand stets mit Lichtgeschwindigkeit durch die vier Dimensionen der Raumzeit. Dieses Ergebnis erklärt die Zeitdilatation folgendermaßen: Befindet sich ein Gegenstand von einem Bezugssystem aus betrachtet in Ruhe, so bewegt er sich mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Zeitdimension. Wird dieser Gegenstand hingegen im Raum beschleunigt, so muss seine Bewegung in Richtung der Zeit abbremsen (Zeitfluss verlangsamt sich), damit die Norm der Vierergeschwindigkeit konstant bleibt. Da sich aber der Zeitfluss verlangsamt, erscheint die Geschwindigkeit im Vierervektor erhöht.

Photonen und andere, masselose Teilchen bewegen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum und ruhen dafür in der Zeit (Vierergeschwindigkeit nicht definiert). Würde sich ein Gegenstand überlichtschnell durch den Raum bewegen, so müsste er in der Zeit eine imaginäre Geschwindigkeit besitzen, um den Überschuss auszugleichen.

1. Ich nehme an, unter der Norm der Vierergeschwindigkeit ist der Absolutbetrag der Vierergeschwindigkeit zu verstehen.

2. Wenn man nicht den Absolutbetrag betrachtet, welche Richtung hat dann die Vierergeschwindigkeit?

3. Ist hier jemand in der Lage, mir als Laien die Herleitung des Ergebnisses |Vierergeschwindigkeit| = c in verständlicher Form darzustellen? Die Herleitung in Wikipedia verstehe ich nicht.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Ich]

Was da steht ist schlicht und einfach Blödsinn. Es gilt (wie immer c=1):

(dt/dtau)² - (dx/dtau)²-(dy/dtau)²-(dz/dtau)² = 1,
gleichbedeutend mit
(dt/dtau)² - g²v² = 1,
wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist und g der Lorentzfaktor g²=1/(1-v²).

Also gilt:

(dt/dtau)² = 1 + g²v²

Je größer v wird, desto größer wird die erste Komponente der Vierergeschwindigkeit, dt/dtau. Der Text in der "Interpretation" passt zu Epsteins Mythos, nicht aber zur Vierergeschwindigkeit.
Was auch der Grund ist, warum ich den Mythos selber nicht mehr verwende: Das Konzept der Vierergeschwindigkeit ist ungleich brauchbarer, und um es zu verstehen, muss man akzeptieren, dass der Pyhtagoras im Minkowskiraum nun mal anders arbeitet als im euklidischen Raum. Es hat keinen Sinn, den Leuten diesen Schritt ersparen zu wollen, indem man lustige Mythen erfindet.

[Hawkwind]

Nun ja, dass die Norm der 4-Geschwindigkeit eines Objektes unabhängig vom IS des Beobachters immer c ist, mag auf den 1. Block verblüffen, aber nur auf den allerersten. Anders geht es einfach nicht.

Eine grundlegende Eigenschaft eines Vektors ist nun einmal, dass seine Länge bzw. Norm unter der betrachteten Klasse von Transformationen (in der nichtrel. Mechanik meist Rotationen) invariant ist. So hat eine (3-)Geschwindigkeit in der nichtrel. Mechanik immer den gleichen Betrag - egal wohin ich mich auch drehe.

Die SRT verallgemeinert die betrachtete Klasse von Koordinatentransformation nun von Rotationen zu Lorentz- oder auch zu Poincare-Transformationen und betrachtet dabei 4 Dimensionen und 4-Vektoren und definiert die Norm anders (Minkowskilänge, siehe Ich's Post) Aber immer noch gilt: die Länge/Norm eines Vektors muss invariant sein unter diesen Trafos (sonst wäre es halt kein Vektor).
Die einzige Geschwindigkeit aber, die in der SRT invariant unter Lorentz-Trafos ist, ist aber die Lichtgeschwindigkeit. Es kann also nur c für die Länge/Norm von 4-Geschwindigkeiten herauskommen.

Ich verstehe dieses ganze Gedöns um 4-Geschwindigkeiten nicht; sie sind halt so definiert, dass es passt.

[Bauhof]

Zitat von Ich

...wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist und g der Lorentzfaktor g²=1/(1-v²).

Hallo ICH,

wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist, wie groß ist der Winkel zwischen v und der Vierergeschwindigkeit?

M.f.G. Eugen Bauhof

[Ich]

Hallo Bauhof,

wenn v die normale (3-)Geschwindigkeit ist, wie groß ist der Winkel zwischen v und der Vierergeschwindigkeit?

nachdem v ein 3-Vektor ist und die Vierergeschwindigkeit - wie der Name schon sagt - ein 4-Vektor, ist das nicht zu beantworten.

Die Vierergeschwindigkeit hat 4 Komponenten, die jeweils senkrecht aufeinander stehen.
dx/dtau ist z.B. bis auf einen Faktor g gleich der x-Komponente der Geschwindigkeit dx/dt. Also steht die "Geschwindigkeit im Raum" senkrecht auf der "Geschwindigkeit in der Zeit" (=:dt/dtau), wenn man so will - finde ich aber nicht hilfreich.

Besser ist folgendes: Das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit zweier relativ zueinander bewegter Beobachter ist der Lorentzfaktor gamma. Analog zum euklidischen Fall ist der zugehörige Winkel der acosh(gamma).

[Marco Polo]

Hallo Eugen,

die Vierergeschwindigkeit ist U=gamma(c,ux,uy,uz)

Bildet man jetzt das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit mit sich selbst, also:

gamma²(c,ux,uy,uz)(c,-ux,-uy,-uz) dann ergibt das immer c²

Und da die Länge bzw. Norm eines Vektors durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben ist, beträgt die Vierergeschwindigkeit immer c.

Aber wie gesagt. Das ist keine messbare Größe. Der Zeit-Ortsvektor wird ja nicht nach der Zeit t sondern der Eigenzeit tau differenziert. Das muss aber leider so sein, da die Zeit t systemabhängig ist und damit nicht lorentzinvariant.

Wenn man mit einem solchen Vektor Skalarprodukte bilden würde, dann wären diese nicht forminvariant.

Das Skalarprodukt des Vierergeschwindigkeitsvektors mit sich selbst ist in allen beliebigen Inertialsystemen stes c².

Für ux=uy=uz=0 und damit gamma=1 erhälst du aus

(c²-ux²-uy²-uz²)/(1-(ux²+uy²+uz²)/c²) sofort c².

Grüsse, MP

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

Hallo Eugen,

die Vierergeschwindigkeit ist U=gamma(c,ux,uy,uz)

Bildet man jetzt das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit mit sich selbst, also:

gamma²(c,ux,uy,uz)(c,-ux,-uy,-uz) dann ergibt das immer c²

Und da die Länge bzw. Norm eines Vektors durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben ist, beträgt die Vierergeschwindigkeit immer c.

Aber wie gesagt. Das ist keine messbare Größe. Der Zeit-Ortsvektor wird ja nicht nach der Zeit t sondern der Eigenzeit tau differenziert. Das muss aber leider so sein, da die Zeit t systemabhängig ist und damit nicht lorentzinvariant.

Wenn man mit einem solchen Vektor Skalarprodukte bilden würde, dann wären diese nicht forminvariant.

Das Skalarprodukt des Vierergeschwindigkeitsvektors mit sich selbst ist in allen beliebigen Inertialsystemen stes c².

Für ux=uy=uz=0 und damit gamma=1 erhälst du aus

(c²-ux²-uy²-uz²)/(1-(ux²+uy²+uz²)/c²) sofort c².

Grüsse, MP

Hallo Marc,

Warum ist √ k² (c² - v²) = c ?
Vielleicht kann man es einfacher herleiten. Nachdem k = 1/sqrt(1 – v²/c²) ergibt sich:

(1) sqrt[(k²(c² - v²)] = sqrt[(c² - v²) / (1 – v²/c²)]

Betrachten wir hieraus den Term

(2) (c² – v²) / (1 – v²/c²)

Wenn v gegen c strebt, strebt der Term 1 / (1 – v²/c²) gegen unendlich und der Term (c² – v²) strebt gegen Null. Vielleicht strebt dann der Term (2) nach einer Grenzwertbetrachtung gegen c². Ich werde die Grenzwertbetrachtung demnächst versuchen.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Marco Polo]

Zitat von Bauhof

Warum ist √ (k² (c² - v²) = c ?
Vielleicht kann man es einfacher herleiten. Nachdem k = 1/sqrt(1 – v²/c²) ergibt sich:

(1) sqrt[(k²(c² - v²)] = sqrt[(c² - v²) / (1 – v²/c²)]

Betrachten wir hieraus den Term

(2) (c² – v²) / (1 – v²/c²)

Wenn v gegen c strebt, strebt der Term 1 / (1 – v²/c²) gegen unendlich und der Term (c² – v²) strebt gegen Null. Vielleicht strebt dann der Term (2) nach einer Grenzwertbetrachtung gegen c². Ich werde die Grenzwertbetrachtung demnächst versuchen.

k kenne ich eigentlich nur vom Bondischen k-Kalkül. Das ist der Faktor um den sich Eigenzeitintervalle ändern, wenn sie zwischen Weltlinien übertragen werden.

Da ist k=sqrt((1+ß)/(1-ß))

Bei dir scheint k der Gammafaktor zu sein.

Keine Ahnung woher du die Formel √ (k² (c² - v²) = c hast.

Aber es es kommt dabei imho nie c raus.

Grüsse, MP

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

Bei dir scheint k der Gammafaktor zu sein.
Keine Ahnung woher du die Formel √ (k² (c² - v²) = c hast.

Hallo Marc,

ja, k ist hier der Gammafaktor.
Die Formel √ k² (c² - v²) = c habe ich aus dem Wiki-Artikel Vierergeschwindigkeit entnommen. Dort steht anstelle von k der Gammafaktor.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Marco Polo]

Zitat von Bauhof

Hallo Marc,

ja, k ist hier der Gammafaktor.
Die Formel √ k² (c² - v²) = c habe ich aus dem Wiki-Artikel Vierergeschwindigkeit entnommen. Dort steht anstelle von k der Gammafaktor.

M.f.G. Eugen Bauhof

Dann setzen wir jetzt mal für v=0,5 c ein.

U=sqrt(k²(c²-v²)) mit k=1/sqrt(1-v²/c²) und v=0,5c

U=sqrt((c²-0,5²c²)/sqrt(1-0,5²c²/c²))

U=sqrt(c²-0,25c²)/sqrt(1-0,25))

U=sqrt(0,75c²)/sqrt(0,75)) mit x/sqrt(x)=sqrt(x)

U=sqrt(sqrt(0,75)c²)

U=0.931c²

hmm...

Irgendwo hab ich mich verrechnet?

Komm nicht auf den Fehler und hab grad keinen Bock mehr.