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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 04.01.21, 19:58
Mea Mea ist offline
Aufsteiger
 
Registriert seit: 05.11.2016
Beiträge: 81
Standard Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Kann man die Rotation und die Divergenz einer Mannigfaltigkeit berechnen?

Konkret: Die Rotation und Divergenz der vierdimensionalen Raumzeit.

Die Divergenz ist Skalarprodukt aus Nabla und Vektorfeld, Rotation ist Kreuzprodukt aus Nabla und Vektorfeld.

Was ist der Unterschied zwischen Vektorfeld und Mannigfaltigkeit?
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  #2  
Alt 04.01.21, 22:01
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 04.10.2014
Ort: Nürnberg
Beiträge: 2.330
Standard AW: Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Zitat:
Zitat von Mea Beitrag anzeigen
Was ist der Unterschied zwischen Vektorfeld und Mannigfaltigkeit?
Einfaches Beispiel:

Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist die mathematische Beschreibung einer im Allgemeinen gekrümmten Fläche.

Ein Vektorfeld auf dieser zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist die mathematische Beschreibung zum Beispiel einer Flüssigkeitsströmung auf dieser Fläche, d.h. des Betrags und Richtung der Geschwindigkeit der Strömung in jedem Punkt der Fläche.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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  #3  
Alt 05.01.21, 11:53
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.395
Standard AW: Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist die mathematische Beschreibung einer im Allgemeinen gekrümmten Fläche.
Die Mannigfaltigkeit ist genaugenommen nur die Menge an Punkten, welche die Fläche bildet.

Zusätzlich kann man dann jedem Punkt zusätzliche Eigenschaften, wie z.B. eine Krümmung zuweisen, einen Tangentialraum betrachten usw.

Mehr dazu hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit

EDIT: Passende Verallgemeinerungen für Divergenz und Rotation auf vierdimensionalen pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten findet man in jedem dickeren Lehrbuch über die allgemeine Relativitätstheorie.
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Freundliche Grüße, B.

Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921

Geändert von Bernhard (05.01.21 um 13:13 Uhr)
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  #4  
Alt 05.01.21, 15:06
Mea Mea ist offline
Aufsteiger
 
Registriert seit: 05.11.2016
Beiträge: 81
Standard AW: Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Hm, OK, verstehe, danke!

Nur: Im Gegensatz zum euklidischen Raum kann die Mannigfaltigkeit eine beliebige Krümmung aufweisen. Es wäre daher doch auch sinnvoll, Größen wie die Divergenz für die Mannigfaltigkeit selbst berechnen zu können...
Kann man das nicht einfach machen, indem man Nabla mit dem metrischen Tensor skalar multipliziert?
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  #5  
Alt 05.01.21, 23:54
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 04.10.2014
Ort: Nürnberg
Beiträge: 2.330
Standard AW: Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Zitat:
Zitat von Mea Beitrag anzeigen
Es wäre daher doch auch sinnvoll, Größen wie die Divergenz für die Mannigfaltigkeit selbst berechnen zu können...
Kann man das nicht einfach machen, indem man Nabla mit dem metrischen Tensor skalar multipliziert?
Die „kovariante Divergenz“ bzw. die kovariante Ableitung mittels des Levi-Cevita-Zusammenhangs angewandt auf den metrischen Tensors ist immer exakt Null.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metr...ian_connection
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  #6  
Alt 06.01.21, 06:46
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.395
Standard AW: Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Zitat:
Zitat von Mea Beitrag anzeigen
Kann man das nicht einfach machen, indem man Nabla mit dem metrischen Tensor skalar multipliziert?
Das Verständnis um die Krümmung einer Fläche wurde zuerst von CF Gauss (und auch anderen Mathematikern) untersucht und später von Riemann und anderen nochmal deutlich genauer untersucht, bzw. verallgemeinert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Nichte...sche_Geometrie
https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgeometrie
https://de.wikipedia.org/wiki/Rieman...BCmmungstensor
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Freundliche Grüße, B.

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  #7  
Alt 06.01.21, 12:34
Cossy Cossy ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 13.11.2019
Beiträge: 23
Standard AW: Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Schau dir mal die Videos an
Einführung in die Vektor- und Tensorrechnung I und II
Univ.-Prof. Dr. Dr. h.c. Paul Wagner
Bei der zweiten Vorlesungsreihe wird erklärt, dass Du in einem allgemeinen Raum (nicht euklidisch) Zusatzterm beim Ableiten hast.
=> So einfach wie Du dir das gedacht hast ist die Berechnung der Divergenz nicht möglich. Ist nur in der Kanonischen Basis so einfach mit der Divergenz
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  #8  
Alt 06.01.21, 21:31
Mea Mea ist offline
Aufsteiger
 
Registriert seit: 05.11.2016
Beiträge: 81
Standard AW: Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Sehr cool, vielen Dank für Eure hilfreichen Antworten!
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  #9  
Alt 07.01.21, 13:21
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.395
Standard AW: Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

Zitat:
Zitat von Cossy Beitrag anzeigen
Ist nur in der Kanonischen Basis so einfach mit der Divergenz
Das ist AFAIK nicht eindeutig. Es gibt z.B. den euklidischen Raum mit Standardkoordinaten, aber auch den nichteuklidischen Raum mit (Standard-)Koordinatenbasis.
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