Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[SCR]

Hallo richy,

könntest Du mir einmal ein wenig unter die Arme greifen?

Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1
Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen?
(Also am Besten erst einmal alle "ganz einfachen" Gesetzmäßigkeiten von i ... und insbesondere gerne alles bei dem i "irgendwie mit Pi zusammenhängt" ...)

Danke!

P.S.: Mich würde dann später voraussichtlich vorrangig das Rechnen in der Polarform interessieren - Da muß ich mich aber erst noch ein wenig einlesen.

P.P.S.: Und natürlich ist auch die Hilfe von jedermann anderem gerne willkommen!

[Benjamin]

Zitat von SCR

Das hier z.B. ist doch richtig, oder?: i * (-i) = 1

Das ist korrekt.

Kannst Du mir etwas zu (i)^0,5 erzählen?

Eine gute Erklärung ohne Polarform fällt mir hierzu spontan nicht ein.

i ist definiert als i*i=-1. Es erweitert den "Raum" der reellen Zahlen. Du kannst dir das wie ein Koordinatenkreuz vorstellen, wo auf der x-Achse die reellen Zahlen aufgetragen sind, und auf der y-Achse die imaginären Zahlen.

Die Zahl i hat in diesem Koordinatenkreuz den Punkt bei x=0 und y=1. Die (komplexe) Zahl 1 + i entspricht in dem Koordinatenkreuz dem Punkt x=1 und y=1, die Zahl 3 + 2i dem Punkt x=3 und y=2, usw.
Du kannst jede komplexe Zahl aus einem reellen Anteil und einen imaginären Anteil zusammensetzen. Der x-Wert im Koordinatenkreuz steht für den reellen der y-Wert für den imaginären Anteil. Man spricht hier übrigens auch von der sogenannten komplexen Zahlenebene.
Anstatt den x- und y-Wert in Zahlen auszudrücken, kannst du das auch mit einem Winkel - sagen wir "phi" - und einem Radius r tun. Anschaulich wird das erst, wenn du dir das aufzeichnest. Du nimmst eine beliebige komplexe Zahl, z.B. 2 + 2i, und zeichnest sie in der komplexen Zahlenebene als Punkt bei x=2 und y=2. Nun ziehe eine Linie zwischen dem Koordinatenursprung (x=0,y=0) und diesem Punkt (x=2,y=2). phi ist nun definiert als der Winkel zwischen der x-Achse und dieser Linie, gemessen gegen den Uhrzeigersinn. In unserem Fall also 45° oder Pi/4 in Radiant. Mit Hilfe der Winkelfunktionen sin und cos kannst dies nun wie folgt ausdrücken:

x + y*i = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i

wobei r = -/(x² + y²) (das soll ne Worzel sein vor der Klammer )
r ist somit der Abstand vom Koordinatenursprung bis zu deinem Punkt (2,2).

Für die Winkelfunktionen gilt ja sin(phi)=y/r und cos(phi)=x/r. Das umgeformt ergibt x=r*cos(phi) bzw. y=r*sin(phi).

Wenn du cos(x) + i*sin(x) in einer Taylorreihe entwickelst, siehst du, dass die entstehende Reihe dieselbe Reihe ist die man erhält, wenn man die Exponentialfunktion e^(i*x) entwickelt. Das heißt es gilt allgemein:

cos(x) + i*sin(x) = e^(i*x)

Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi)

Womit die sogenannte Polarform einer komplexen Zahl entwickelt ist.

Für unser Bespiel gilt: 2 + 2i = -/(8)e^(i*Pi/4)

Damit kann man leicht i^0,5 berechnen. In Polarform schreibt sich i als

i = 1*e^(i*Pi/2) weil der Winkel zwischen der x-Achse und i (x=0,y=1) 90°, sprich Pi/2 entspricht.
Dann gilt weiters:

i^0,5 = [e^(i*Pi/2)]^0,5 = e^(i*Pi/2*0,5) = e^(i*Pi/4) = cos(Pi/4) + i*sin(Pi/4) = 0,707... + i*0,707...

und das wars.

[Benjamin]

Als Hilfe zum Verständnis ist folgender Beitrag sehr dienlich:

http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Relation
oder
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplex...xe_Zahlenebene

[SCR]

Hallo Benjamin,

herzlichen Dank - Das geht genau in die richtige Richtung und gefällt mir schon einmal super!

z.B.

Zitat von Benjamin

Du kannst dir das wie ein Koordinatenkreuz vorstellen, wo auf der x-Achse die reellen Zahlen aufgetragen sind, und auf der y-Achse die imaginären Zahlen.

Dann sehe ich nämlich ein Minkowski-Diagramm.

Zitat von Benjamin

Anstatt den x- und y-Wert in Zahlen auszudrücken, kannst du das auch mit einem Winkel - sagen wir "phi" - und einem Radius r tun. Anschaulich wird das erst, wenn du dir das aufzeichnest. [...]

Und dergestalt kann man ein Minkowski-Diagramm dann ebenfalls darstellen ... bzw. in einer Polarform ... Muß 'mal darüber nachdenken / das ausprobieren.

Ein paar Sachen von Dir werde ich mir wohl auf jeden Fall erst noch etwas näher zu Gemüte führen müssen ... Für mich hartes Brot eben.
(Ich schaue mir z.B. gerade einmal in Verbindung mit Deinem Beitrag dieses Filmchen hier an: http://www.youtube.com/watch?v=FwuPXchH2rA)

Danke!

[Benjamin]

Zitat von SCR

Dann sehe ich nämlich ein Minkowski-Diagramm.

Bei einen Minkowski-Diagramm ist entscheidend, dass auf der y-Achse ct aufgetragen wird. Das soll aber nicht verwundern, weil der Minkowski-Raum ein vierdimensionaler Vektorraum ist mit 3 räumlichen Dimensionen und einer "zeitlichen", oder genauer: dem Produkt von Zeit und Lichtgeschwindigkeit.
Auch der Raum der komplexen Zahlen kann als Vektorraum aufgefasst werden.

In älterer, um nicht zu sagen alter, Literatur hat die y-Achse im Minkowski-Raum einen imaginären Charakter i*ct. Heute bevorzugt man aber die kontra- und kovariante Darstellung, womit auf die imaginägre Achse verzichtet werden kann.

[richy]

Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein. Zunaecht solltest du dir Konventionen in der Gausschen Ebene merken :



Die komplexe Zahl z wird somit durch ihren Radius=Betrag und Winkel=Argument in der Gausschen Ebene dargestellt. Der Winkel wird bezueglich der Realteil-Achse gemessen und mathematisch wie immer gegen den Uhrzeigersinn. Am besten merkt man sich auswendig :

********************************
phi=arg(z)=arctan(Imaginaerteil/Realteil) (Auf Quadranten achten !)
|z|=Wurzel(Realteil^2 + Imaginaerteil^2)
********************************
Vorsicht ! Beim arctan(Imaginaerteil/Realteil) ist die Bedeutung der Vorzeichen nicht mehr eindeutig. (Daher arg(Im,Re)) Den Quadranten von Phi muss man somit extra bestimmen.
Jetzt merkt man sich noch die erste schwarze Taste eines Klaviers CiS und kann damit eine komplexe Zahl nach Benjamins CiS Gleichung wieder als Relateil und Imaginaerteil darstellen :

Zitat von Benjamin

Daraus folgt: r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*e^(i*phi)

Fuer i geht dies alles noch sehr einfach. Der Betrag ist eins und phi gleich 90 Grad also Pi/2. Benjamin hat das alles schon angegeben. i=exp(i*Pi/2)

Wie zieht man nun aber die Wurzel aus i ? Ueber (exp(a))^b=exp(a*b)
i^(1/2)=exp(i*Pi/2)^(1/2)=exp(i*Pi/4) Genau, das wars schon.
****************************

ZUSATZ :
Allgemeiner : Wie loest man die Gleichung z^2=i. Die Gleichung hat zwei Loesungen, Wurzeln. Folgendes soll die Mehrdeutigkeit im Komplexen zeigen. Man wendet den selben Trick an wie bei da^x/dx. ebbes=exp(ln(ebbes))
Damit kann man ueber den ln() die Potenz beseitigen. Somit :

i^(1/2)=exp(ln(i^1/2))=exp(1/2*ln(i))=exp(0.5*ln(i))
Naja, jetzt haben wir das Probem darauf abgewaelzt den ln() aus einer komplexwertigen Zahl zu ziehen. Aber fuer w=ln(z) gibt es eine "Loesungsformel" :



i^(1/2)=exp(0.5*(ln|i|+i*(arg(i) + 2*k*Pi) ) k=0,1
ln|i|=ln(1)=0
arg(i)=Pi/2

i^(1/2)=exp(0.5*(i*(Pi/2 + 2*k*Pi) ) k=0,1
*********************************

Auch damit sieht man sehr schoen, wie denn die Teilung des Winkels von Pi/2 nach Pi/4 zustande kommt.

k=0 (Hauptwert)
i^(1/2)=exp(0.5*(i*Pi/2))=exp(i*Pi/4) ... mit CiS = Wurzel(2)/2*(1+i)
k=1
i^(1/2)=... exp(i*Pi/4+i*Pi) ... CiS = -Wurzel(2)/2*(1+i)
Aha. Bei der zweiten Losung wird der Zeiger um Pi weitergedreht. Waere die erste Losung nicht komplex, dann entspraeche dies einem negativen Vorzeichen. Negative Zahlen sind somit ein Spezialfall imaginaerer Zahlen.

Im Thread Phas-O-Mat hatte ich z^16=1 schon mal graphisch dargestellt :
Schwarz=Wurzel(i). Man sieht wie der Winkel phi=Pi/2 zu Pi/4 halbiert wird :



http://home.arcor.de/richardon/richy...omat/phaso.htm

Gruesse

[SCR]

Ja Sch***eibenkleister - Ich sehe schon: Das wird ja wieder ein Heidenspaß für mich werden!
Danke auch Dir richy: Da sieht nämlich ("mit meiner verschmierten Brille" betrachtet ) auf den ersten Blick doch schon so einiges äußerst interessant/vielversprechend aus.
Noch dazu gibt's Worzeln, Klaviere ... Was will man denn mehr: Das wird bestimmt noch lustig.
Aber lasst mich bitte erst einmal Euren ersten Input verdauen - Ich melde mich dann wieder wenn ich soweit bin (bzw. doch schon zwischendrin Fragen auftauchen sollten)
Danke erst einmal bis dahin!

P.S.: @Benjamin: Deiner Signatur kann ich nur voll und ganz zustimmen!

[Hawkwind]

Zitat von richy

Ich kann Benjamins Ausfuehrung wenig hinzufuegen. Eine Herleitung der Wurzel(i) ohne Polarform faellt mir ebenfalls nicht ein.

Ist auch ohne Polarform easy.
Gesucht sei die komplex Zahl z, die erfüllt:

(0) z = sqrt(i)

also ist Erfüllung der quadrierten Gleichung notwendige Bedingung:
(1) z*z = i

Nun stellen wir die unbekannte komplexe Zahl z durch ihren Realteil x und ihren Imaginärteil y dar: z = x + i*y und setzen in (1) ein:

(2) x^2 - y^2 + 2*i*x*y = i

Zerlegung dieser Gl. in 2 Gleichungen für Real und Imaginärteil:

(2a) Realteil: x^2 - y^2 = 0 (Realteil von i ist ja 0)
(2b) Imaginärteil: 2*x*y = 1 (Imaginärteil von i ist 1)

Das sind 2 Gleichungen für die 2 reellen unbekannten x und y. Eine der Lösungen ist die von richy und benjamin angegebene. Eine 2. erhält man, da man bei Auflösung von (2a) vor Einsetzen in (2b) auch die negative Wurzel ziehen kann.

eine Lösung:
x = 1/sqrt(2),
y = 1/sqrt(2)
also z = 1/sqrt(2) + i/sqrt(2)

Bei den weiteren Lösungen mass man a bisserl aufpassen, nur die mitzunehmen, die auch Gl. (0) erfüllen. Durch das Quadrieren von Gl. (0) ist Gl. (1) nicht mehr äquivalent zu Gl. (0), sondern enthält weitere Lösungen, nämlich auch die für z = -sqrt(i).

Das ist übrigens reine Mathematik und hat nichts mit dem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Minkowskiraum zu tun.

[SCR]

Hallo zusammen,

die Fragestellung lautete: Lösung von sqrt(-2*i)

MEINE "Lösung" (auch wenn sie den mathematischen Anforderungen hier womöglich nicht genügen sollte):

i*i=-1

Wir nehmen für/statt i einmal x=+1 und einmal x=-1 an: sqrt(-2*x) mit ...

1.) x=+1: sqrt(-2*x) = sqrt(-2)
Lösung 1:
1.1.) -1,414... * +1,414... = -2
1.2.) +1,414... * -1,414... = -2

2.) x=-1: sqrt(-2*x) = sqrt(+2)
Lösung 2:
2.1.) +1,414... * +1,414... = +2
2.2.) -1,414... * -1,414... = +2

Feststellung:
Die beiden Vorzeichen treten bei der in dieser Form durchgeführten vollständigen Enumeration in exakt gleicher Häufigkeit auf, keine der obigen Lösungen ist dabei in irgendeiner Art und Weise ausgezeichnet.
-> Die Lösung von sqrt(-2*i) ist die Zahl 1,414... mit gleichberechtigtem Vorzeichen Plus und Minus (bzw. alternativ "mit uneindeutigem Vorzeichen").

Alles andere ist zwar in meinen Augen denkbar - Wäre dann aber "eine erzwungene Lösung" bzw. "als willkürliche Festlegung" zu betrachten (-> 'deutsche', 'internationale', ... 'Auslegung'?). IMHO.

Zitat von richy

Wurzel(-1) ist in England, Amerika gleich dem Vorzeichen von Null?

Da -0 = +0 erscheint mir DAS ehrlich gesagt noch als die zielführendste Definition des Vorzeichens von i.

Unabhängig von "meiner Lösung" - Ich hätte eine Frage an Dich, richy:
Wie habe ich Deiner Einschätzung nach (vor dem Hintergrund des aktuellen Sachstands) folgende Aussagen Einsteins zu beurteilen?

Zitat von SCR

Siehe hierzu auch Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 49; 1916; Albert Einstein:

sowie (aus anderen Quellen)

Zitat von Einstein

Wählt man das Koordinatensystem in gewohnter Weise von vorneherein so, daß √g=1 ist, [...]

bzw.

Zitat von Einstein

[...] so zeigt unser letztes Ergebnis doch, daß der Koordinatenwahl gemäß der Bedingung √-g=1 eine tiefe physikalische Berechtigung zukommt.

(Anmerkung: Die Vorzeichen bei √-g=1 bzw. √g=1 wurden korrekt aus dem jeweiligen Original übernommen)

[richy]

Hi Hawkwind

Zitat von Hawkwind

Ist auch ohne Polarform easy.

Deine Rechnung moechte ich nochmals durchgehen. Aber es werden sich wohl die beiden moeglichen Loesungen wie bei den Wikis ergeben :

Wiki deutsch

oder Restwiki

où le signe de la partie imaginaire de la racine est
si b <> 0 : le signe de b
si b = 0 et a < 0 : le signe +
si b = 0 et a >= 0 : pas de signe (le nombre est nul).

Beide Angaben implizieren einen speziellen Hautwert ein spezielles arg(z), csgn(z)
Nur eine dieser beiden Loesungen kann richtig sein ! Weil ein eindeutiger Hauptwert festgelegt werden muss. Es steht nicht frei einen solchen offen zu lassen. Er muss festgelegt werden. Das habe ich gerade auch in der Wiki Diskussion angefuehrt :

Zitat von richy bei WIKI

Hi LutzL

Die Gleichung x^2-x0=0 hat genau zwei Loesungen und die Gleichung x=Wurzel(x0) hat genau eine Loesung ! Und wenn ich beide Loesungen betrachten moechte, dann muss ich dies Kennzeichnen: x12=(+ -)Wurzel(x0). In einem Algebraprogramm waere x nun ein Vektor ! Man kann eine Variable, Speicherzelle nicht mehrdeutig mit zwei Werten belegen. Es wurde doch in der Diskussion hier schon dargestellt, dass kein Mathematiker schreiben wuerde Wurzel(1)=-1 sondern Wurzel(1)=1. Weil die Bedeutung des Wurzelsymbols eindeutig (leider nur im Reellen) als (H) Wurzel() festgelegt wurde. Und der Hauptwert als positive Loesung. Darueber gibt es keinerlei Diskussion, denn ansonsten waere der Hauptsatz der Algebra verletzt. Es gab bei dieser Festlegung zwar die Freiheit welchen Hauptwert man fuer das Wurzelzeichen verwendet, aber es gibt wegen dem Hauptsatz der Algebra keinerlei Freiheit darin, dass dies festgelegt werden muss und symbolisch gekennzeichnet werden muss. Aber natuerlich in solch einer Form, dass dies trotz Erweiterund der reellen Zahlen z.B. im Schulunterricht verstaendlich bleibt. Leider hat man hier einen schlechten, zweideutigen Weg bestritten. Man schreibt dem Wurzelsymbol im Reellen und Komplexen zweierlei Bedeutungen zu. Gemaess der Definition steht es hier tastsaechlich fuer alle Loesungen, die man bei einer n-ten Wurzel auch gar nicht speziell am Symbol kennzeichnen kann. Stattdessen kennzeichnet man den Hauptwert zum Beispiel mit dem Zusatz (H)Wurzel() und ohne diesen Zusatz, mit Wurzel(),sollen alle Loesungen gemeint sein. Im krassen Widerspruch zum Reellen. Dort macht es jeder Schueler richtig indem er die mehrdeutige Loesung mit (+-) kennzeichnet. Und man haette dies nur uebernehmen muessen und fuer alle Loesungen einer n-ten Wurzel ein spezielles Zeichen einfuehren muessen. Z.B. (~) oder etwas aehnliches. Nochmal : Es steht frei welches Winkelargument ich fuer die Definition des Hauptwertes verwende. Es steht aber nicht frei, dass ein eindeutiger Hauptwert definiert werden muss ! Es muss ein wohldefinierter Hauptwert existieren, ansonsten ist der Hauptsatz der Algebra hinfaellig. Und wenn Wiki England schreibt = (H) Wurzel(1)=1 und Wiki Deutschland (H) Wurzel(1)=-1 dann ist eine der beiden Aussagen eindeutig falsch. Und unter diesem Aspekt ist der deutsche Wiki Eintrag schlichtweg falsch.

Nochmals zusammengefasst :

Die missglueckte Symbolkonvention :

Wurzel() steht im Reellen fuer den Hauptwert

Wurzel() steht im Komplexen fuer alle Loesungen

+- Wurzel() steht im Reellen fuer beide Loesungen

(H) Wurzel() steht im Komplexen fuer den Hauptwert

Wenn man unter dieser Konvention die Wiki Eintraege zu komplexen Zahlen und Funktionen ueberpruefen wuerde, waere sicherlich jeder fehlerhaft.

@SCR
Die Sachlage ist ganz klar. Es muss ein Hauptwert, ein arg(z), ein csgn(z), fuer eine komplexe Wurzel festgelegt werden. Man kann dies verschieden ausdruecken und es ist eine reine Konvention, die aber zwingend durchgefuehrt werden muss. Neu Gedanken in deiner Form helfen hier wahrscheinlich wenig weiter. Ok man koennte sich danach richten welche Vereinbarung im physikalischen Bereicht oefters sinnvolle Aussagen ergibt. Es bleibt dennoch eine reine Definitionsangelegenheit und die kannst weder du noch ich fuer alle Mathematiker vereinbaren. Wobei die Vereinbarung laengst getroffen ist. Denn MAPLE stellt wie der Bronstein einen Standard dar. WIKI dagegen nicht.

Und damit ist folgendes per Definition falsch :
a) Wurzel(1)=-1
b) (H) Wurzel(-2*i)=-1+1
c) Wurzel(-2+i)=1-i, denn richtig waere [1-i,-1+i]

Und hier zeigt sich das Dilemma, denn a und b widersprechen sich weil das Wurzelsymbol im Komplexen so verwendet wird, dass es schizophren ist

Zu "Per Definition" :
Wenn mit dem Zeichen ">" eine spezielle logische Aussgae definiert ist, dann ist die Aussage 1>3 falsch. Nun kann ich festlegen, dass dieses Symbol bedeutet, 1 kleiner 3. Man koennte ueber jede mathematische Arbeit zunaechst schreiben, dass man das Groesser und Kleinerzeichen vertauscht definiert. Waere das sinnvoll ?

Gruesse