Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[Benjamin]

Zitat von SCR

Wären dann aber nicht beide "Zwischenlösungen" (√6 als auch -√6) als gleichberechtigt anzusehen - Denn sie würden letztendlich ja beide zu den gleichen Endergebnissen führen?

Ja, wie gesagt, hat sqrt(-2)*sqrt(-3) streng genommen zwei Lösungen, nämlich 2,449... und -2,449... Ob man hier i²*sqrt(6) oder sqrt(6) schreibt ist demnach egal, weil beides zum selben Ergebnis führt.

Ich hab schon gesehen, dass auf Wiki steht, mit Wurzel wäre grundsätzlich die positive Wurzel gemeint. Diese Einschränkung kann ich aber nicht nachvollziehen. Sie scheint mir willkürlich und inkonsistent.

[JoAx]

Zitat von Benjamin

Ich hab schon gesehen, dass auf Wiki steht, mit Wurzel wäre grundsätzlich die positive Wurzel gemeint. Diese Einschränkung kann ich aber nicht nachvollziehen. Sie scheint mir willkürlich und inkonsistent.

Dem möchte ich zunächst zustimmen.
Andererseits muss man, glaube ich, es extra angeben, wenn man beide Lösungen meint. So wie bei der Diskriminante, z.B.:



In unserem Fall müsste es also heissen:

x1,2 = ± sqrt(-2)*sqrt(-3)

wenn man an beiden Lösungen interessiert wäre, beide angeben möchte.

So gesehen passt's wieder.


Gruss, Johann

[Benjamin]

Zitat von JoAx

Andererseits muss man, glaube ich, es extra abgeben, wenn man beide Lösungen meint.

Warum?

Ich argumentiere:

2²=4
(-2)²=4

Daher folgt für die Umkehroperation sqrt():

sqrt(4)=2 und -2

Aus welchem Grund sollte man -2 nicht als Lösung ansehen?
Argumente?

[JoAx]

Zitat von Benjamin

sqrt(4)=2 und -2

Aus welchem Grund sollte man -2 nicht als Lösung ansehen?
Argumente?

Weil es dann nicht eindeutig ist.

f(x) = x^1/2

f(x) muss (?) ein eindeutiges Ergebnis liefern.
richy wird dazu sicher mehr und fundierter schreiben können.
Mengen, Abbildungen, etc. ...

Fakt ist, dass man es angibt, wenn beide Lösungen gefragt sind.
Dazu musst du dich nur an die Schule und Kurvendiskussion erinnern.


Gruss, Johann

[SCR]

Hallo zusammen,

Einerseits kenne ich das grundsätzlich auch genauso wie von Benjamin geschrieben - Sinngemäß:
Beim Quadrieren führen zwei unterschiedliche Zahlen zum gleichen Ergebnis, beim Wurzelziehen sind deshalb auch immer zwei Lösungen gleichberechtigt.
-> Keiner hat sich da oben verrechnet .

Andererseits muß ich zugeben, dass ich niemanden (mich eingeschlossen) wüsste, der z.B. ein in einer Berechnung auftretendes √4 nicht spontan und eindeutig als +2 interpretieren würde (Benjamin- Vielleicht Du?).

Was ich in Wiki aber auch "sonderbar" finde:

Zitat von Wikipedia

Für positive Zahlen a und b gelten die folgenden Rechengesetze:

[...]
Bei negativen Zahlen können diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn m und n ungerade Zahlen sind.

-> Bei √-2 * √-3 dürfe ich demnach die Wurzel nicht "zusammenziehen", bei √-5 * √-3 dürfte ich das dagegen schon - Die dahinterstehende Logik erschließt sich mir nicht.

[richy]

richy wird dazu sicher mehr und fundierter schreiben können

He he, nein leider auch nicht. Ich war vor langer Zeit sogar Benjamins Meinung. Ein Mathematiker hat mich dann vom Gegenteil ueberzeugt und das hat bisher immer gepasst.
Vieleicht kann man argumentieren, dass durch eine Umformung eine Gleichung nicht mehrdeutig werden darf :
1=1
Wurzel(1)=Wurzel(1)
Wuerde ich hier beide Vorzeichen zulassen waere die Gleichung in zwei Faellen sogar falsch :
Wurzel(1)=-Wurzel(1) auf beiden Seiten durch +-Wurzel(1)
1=-1 oder -1=1

Aus welchem Grund sollte man -2 nicht als Lösung ansehen?

In deinem Beispiel wuerde ich -2 als Loesung ansehen. Es kommt auf die Aufgabenstellung an. Du hattest diese formuliert als:
x^2-4=0
Ein Polynom zweiten Grades hat zwei Nullstellen.
Aber wenn ich lediglich anschreibe x=Wurzel(4), dann ist das ein Polynom vom Grad eins und es gibt nur eine Nullstelle. Ok, du koenntest auf beiden Seiten quadrieren. Damit erzeugst du aber eine Loesung, die es zuvor nicht gab. So ganz schluessig ist das auch nicht, aber es entspricht dem Hauptsatz der Algebra.

Zu sqrt(-2)*sqrt(-3).
Ich wuerde sicherlich bei einer Rechnung hier auch manchmal reintreten. Bei der Loesung verwende ich Wurzel(-1)=i. Das ist wackelig. Es gibt ein Mathe-Raetsel in dem man in aehnlicher Form zeigt 1=-1. Vielleicht koennte dies weiterhelfen.

[richy]

Hi SCR
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_..._Wurzelgesetze

Bei negativen Zahlen können diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn m und n ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden.

m und n. Nicht a und b. Der Wiki Eintrag ist aber soundso nicht so doll.

[Bauhof]

Zitat von JoAx

In unserem Fall müsste es also heissen:

x1,2 = ± sqrt(-2)*sqrt(-3)

wenn man an beiden Lösungen interessiert wäre, beide angeben möchte. So gesehen passt's wieder.
Gruss, Johann

Hallo Johann,

ähnlich wie du wollte ich soeben auch argumentieren.

± sqrt(─2)•sqrt(─3) = ? war eben nicht die Aufgabenstellung, sondern sqrt(─2)•sqrt(─3) = ?

Die Lösung der Aufgabe vollständig ausgeschrieben lautet wie folgt:

[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)] = ─ sqrt(6).

Wenn bei einem Wurzelausdruck kein Vorzeichen angegeben ist, dann ist in der Mathematik stillschweigend das Pluszeichen vereinbart. Die vermeintliche Lösung +sqrt(6) ist deshalb falsch, wie es bereits Needham notierte.

M.f.G Eugen Bauhof

[Bauhof]

Zitat von SCR

-> Frage: Was heißt das jetzt für mich in Summe?

Hallo SCR,

das heißt für dich "in Summe", dass das Ergebnis + sqrt(6) falsch ist und das Ergebnis ─ sqrt(6) richtig ist. Obwohl es Richy und EMI bereist hinreichend erklärt haben, scheinst du es noch nicht ganz zu akzeptieren. Deshalb will ich es dir Schritt für Schritt herleiten:

[+sqrt(─2)]•[+sqrt(─3)] = ? Die Pluszeichen können vereinbarungsgemäß weggelassen werden, also kommt:

sqrt(─2)•sqrt(─3) = ?

sqrt[(─1)•2]•sqrt[(─1)•3] = ?

[sqrt(─1)•sqrt(2)]•[sqrt(─1)•sqrt(3)] = ? ; Nachdem sqrt(─1) = +i ist, ergibt sich:

[i•sqrt(2)]•[i•sqrt(3)] = ?

i²•sqrt(2)•sqrt(3) = ? ; Nachdem i² = ─1 ist , ergibt sich:

(─1)•sqrt(2)•sqrt(3) = ─ sqrt(6).


M.f.G. Eugen Bauhof

[Benjamin]

Zitat von JoAx

Weil es dann nicht eindeutig ist.
[...]
Fakt ist, dass man es angibt, wenn beide Lösungen gefragt sind.
Dazu musst du dich nur an die Schule und Kurvendiskussion erinnern.

Okay, Eindeutigkeit ist ein gutes Argument.
Soweit ich mich aber erinnere, war es immer selbstverständlich, dass beide Wurzellösungen angeschrieben werden mussten. Zumindest auf der Uni war es so. In Erinnerung habe ich da noch deutlich die Lösung von Eigenwertproblemen. Das liegt aber auch wahrscheinlich daran, dass die Probleme in der Physik grundsätzlich Polynome als Lösungen haben, und hier werden Ergebnisse nicht aufgrund von Definitionen ausgeschlossen, sondern aus physikalischen Argumenten.

Zitat von Bauhof

Wenn bei einem Wurzelausdruck kein Vorzeichen angegeben ist, dann ist in der Mathematik stillschweigend das Pluszeichen vereinbart. Die vermeintliche Lösung +sqrt(6) ist deshalb falsch, wie es bereits Needham notierte.

Ja, ich zweifle nicht an, dass dem in der Mathematik so ist. Ich möchte nur ausdrücken, dass ich das ein wenig inkonsistent finde. Aber gut, das Argument mit der Eindeutigkeit hat mich ein wenig besänftigt.
Ich bin es halt gewohnt, die Mathematik naturwissenschaftlich zu nutzen und da existiert neben den beiden Lösungen der Wurzel auch die Division durch null als Lösung, nämlich unendlich.