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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

Umfrageergebnis anzeigen: Ist experimentell feststellbar, ob Teilchen sich in Superposition befinden?
Ja 1 50,00%
Nur statistisch für ein Ensemble von gleichartigen Teilchen 0 0%
Nein 1 50,00%
Teilnehmer: 2. Sie dürfen bei dieser Umfrage nicht abstimmen

 
 
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  #28  
Alt 03.02.19, 09:49
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 04.10.2014
Beiträge: 2.597
Standard AW: Superposition

Zitat:
Zitat von it77 Beitrag anzeigen
Mir macht die Interpretation der Formeln noch Schwierigkeiten.
Nochmal eine kurze Zusammenfassung:

A) Zunächst untersuchen wir ein gemischtes Ensemble, bestehend aus Teilchen entweder im Zustand |1> oder |2> mittels des Dichteoperators

ρ = a₁ P₁ + a₂ P₂ = a₁ |1><1| + a₂ |2><2|

Die Wahrscheinlichkeit den Zustand |ψ> in diesem gemischten Ensemble ρ zu finden, lautet

p(ψ) = ψ₁²a₁ + ψ₂²a₂

Mit

a₁ = a₂ = ½

folgt dann

p(ψ) = ψ₁²a₁ + ψ₂²a₂ = ½ (ψ₁² + ψ₂²) = ½

B) Nun untersuchen wir ein reines Ensemble, bestehend ausschließlich aus Teilchen im Superpositionszustand |ψ> = α₁|1> + α₂|2> mit dem Dichteoperator

ρ = (α₁|1> + α₂|2>) (<1|α₁ + <2|α₂) = α₁² P₁ + α₂² P₂ + Interferenzterme

Die Wahrscheinlichkeit den Zustand |ψ> in diesem reinen Ensemble ρ zu finden, lautet

p(ψ) = ψ₁²α₁² + ψ₂²α₂² + 2ψ₁ψ₂α₁²α₂²

Mit

α₁² = α₂² = ½

folgt

p(ψ) = ψ₁²α₁² + ψ₂²α₂² + 2ψ₁ψ₂α₁²α₂² = ½ (ψ₁² + ψ₂²) + ½ ψ₁ψ₂ = ½ (1 + ψ₁ψ₂)

Wenn also ψ₁ und ψ₂ beide ungleich Null sind, dann folgen im reinen Ensemble explizit andere Häufigkeiten für das Auffinden des Zustandes |ψ> als im gemischten. Anders ausgedrückt, durch Wahl der Basis |ψ> bzgl. der die Teilchen in den Ensembles gemessen werden, kann man unterscheiden, ob das jeweilige Ensemble in einem reinen oder einem gemischten Zustand vorliegt.

Zitat:
Zitat von it77 Beitrag anzeigen
Was genau suchen wir? Sub-Ensembles, die eine 50%/50%-Verteilung aufweisen?
Wir finden die 50%/50%-Verteilung häufiger, wenn es sich um einen reinen Zustand handelt ...
Zur weiteren Erklärung:

Zunächst wollte ich zeigen, dass die Annahme, man könne mit klassischer Statistik argumentieren, falsch ist.

(A) zeigt die Berechnung für ein klassisches statistisches Ensemble ρ. Das Ensemble ist wg. a₁ = a₂ = ½ bzgl. der beiden Zustände |1> und |2> symmetrisch. Egal, welchen Zustand |ψ> - definiert durch ψ₁, ψ₂ - wir uns anschauen, wir erhalten immer das selbe Ergebnis: die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei “Herauspicken” eines Objektes aus dem Ensemble ρ dieses Objekt in unserem beliebig gewählten Zustand |ψ> finden, lautet unabhängig von |ψ> immer ½.

(B) zeigt die Berechnung für einen quantenmechanischen reinen Zustand, d.h. das Ensemble ρ hat spezielle Eigenschaften. Wiederum ist das Ensemble wg. α₁² = α₂² = ½ bzgl. der beiden Zustände |1> und |2> symmetrisch. Nun hängt das Ergebnis des Experiments entscheidend vom Zustand |ψ> ab: die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei “Herauspicken” eines Objektes aus dem Ensemble ρ dieses Objekt in unserem Zustand |ψ> finden, hängt von |ψ> ab und kann von ½ abweichen.



Zitat:
Zitat von it77 Beitrag anzeigen
p(ψ,rein) = p(ψ,gemischt) + (½ ψ₁ψ₂)

Der Interferenzterm (½ ψ₁ψ₂) ist der Grund, weshalb man Spin up häufiger oder seltener vorfinden kann?
Der Interferenzterm ist der Grund, weshalb man trotz Symmetrie bzgl. |1> und |2> des Ensembles ρ andere Zustände |ψ> i.A. häufiger oder seltener als mit Wahrscheinlichkeit ½ vorfindet.



Wir können also unterscheiden, ob (A) oder (B) vorliegt: Wenn uns jemand ein Ensemble ρ gibt - z.B. eine Kiste mit “Objekten”, die Polarisation o.ä. tragen, und uns versichert, es handele sich um ein bzgl. |1> und |2> gleichverteiltes Ensemble, dann führen wir folgenden Versuch durch: Wir holen aus dem Ensemble ρ Teilensembles ρ’, ρ’’, ... heraus. Je Teilensemble ρ’, ρ’’, ... legen wir einen Zustand |ψ’>, |ψ’’>, ... fest und zählen, wie viele Objekte M’, M’’, ... sich in diesem Zustand befinden, und wie viele N’, N’’, ... sich NICHT in diesem Zustand befinden.

(A) Wenn wir für alle Teilensembles immer M’ = N’, M’’ = N’’, ... (innerhalb gewisser statistischer Grenzen) finden, dann liegt ein klassisches Ensemble vor.

(B) Wenn wir für die Teilensembles jedoch M’ und N’, M’’ und N’’, ... (mit gewissen statistischen Abweichungen) vom Fall (A) abweichen, dann liegt kein klassisches Ensemble vor.

Das ganze hat nichts mit der speziellen Eigenschaft von Spin oder Polarisation zu tun sondern gilt ganz allgemein für zwei Zustände |1> und |2>, und natürlich auch für mehrere Zustände.

Das theoretisch beschriebene Experiment kann in ähnlicher Form für Photonen mit Polarisation durchgeführt werden. Die Zustände |1> und |2> wären zwei lineare Polarisationen. Ein klassisches Ensemble (A) wären z.B. Photonen aus einer Glühlampe. Ein quantenmechanisch reines Ensemble wäre z.B. ein Laser, der identische Photonen mit bzgl. der Basis |1>, |2> um 45° verdrehter Polarisation enthält, oder geeignet reflektiertes Licht von nicht-metallischen Oberflächen wie Wasser oder Glas. Das Zählen der Photonen und die Wahl des Zustandes |ψ> erfolgt mittels Polarisationsfiltern und dahinter positionierten Detektoren (man kann in der Praxis nicht ein Photon aus dem Ensemble herauspicken direkt mit einem anderen Photon im Zustand |ψ> vergleichen, sondern man muss zählen, wie viele Photonen aus dem Ensemble den Polarisationsfilter mit Orientierung entsprechend ψ₁, ψ₂ passieren).

Bei (A) verhält es sich so, dass unabhängig von ψ₁, ψ₂ immer gleich viele Photonen den Filter passieren bzw. absorbiert werden.

Bei (B) stellen wir dagegen eine Abhängigkeit von der Orientierung des Polarisationsfilters fest. Insbs. kann man durch Variation von ψ₁, ψ₂ und damit durch Modifikation des Interferenztermes Wahrscheinlichkeiten zwischen p = 0 und p = 1 erreichen!

(Ich habe in meinen Formeln auf eine weitere Komplikation verzichtet: α₁, α₂ sowie ψ₁, ψ₂ sind komplexe Zahlen. Daher muss das _² durch ein Betragsquadrat |_|² ersetzt werden; im Interferenzterm steht dann außerdem ein “+ komplex konjugiert”. Ohne diese Verallgemeinerung findet man das letztgenannte Ergebnis nicht)
__________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.

Geändert von TomS (03.02.19 um 10:36 Uhr)
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