Zusammenhang zwischen Koordinaten und Observablen

[Ich]

Ich wollte diese Anregung aufnehmen, ich finde das auch interessant:

Zitat von JoAx

Das ist interessant. Wäre es was, ein Thema zu machen, das speziell dieser Problematik gewidmet wäre? Ungefähr so, dass im Eröffnungsbeitrag eine Liste mit Hilfskonstrukten und eine mit Observablen erstellt wäre, und dann ein Punkt nach dem anderen abarbeiten.

Hilfskonstrukt -> Warum?
Observable -> Wann ist diese exakt oder nahe zu mit dem Hilfskonstrukt identisch?

Grundsätzlich ist es in der ART ja so, dass Koordinaten einfach nur Zahlen sind, die man den Ereignissen zuordnet, um sie unterscheiden zu können. Einzige Einschränkung ist, dass die Zuordnung "glatt" genug ist, um darauf noch zweimal differenzieren zu können.
De Facto ist es aber so, dass die Koordinaten nicht vollkommen beliebig verteilt werden, sondern irgendeine Bedeutung haben. Diese ergibt sich zum Beispiel aus der Konstruktion, mit der man eine exakte Lösung gefunden hat, oder aus pragmatischen Gründen bei numerischen Berechnungen.
Um vernünftig mit der Relativitätstheorie umgehen zu können ist es m.E. nicht ausreichend, Koordinaten einfach als Zahlen abzutun, weil sie verschiedenerlei oder auch gar nichts bedeuten könnten. Man sollte vielmehr immer genau wissen, was sie bedeuten und was nicht.

In der SRT gibt es zwei grundlegende Konstruktionen von Koordinaten bzw. ihren Basisvektoren.
1. Ein Stückchen Eigenzeit eines unbeschleunigten Beobachters.
Man markiert zwei Ereignisse E1,E2 im Abstand einer Zeiteinheit. Der Vektor E1->E2 ist der Basisvektor für die Zeitkoordinate an diesem Ort. Koordinatenzeit entspricht also an diesem Ort dieser Eigenzeit. Die experimentelle Realisierung erfolgt trivial mit einer idalen Uhr.
2. Die "Einsteinsche Synchronisation".
Man braucht dafür Licht: man sendet zur Zeit t1 einen Lichtpuls von einem Ort zum nächsten, lässt ihn dort abprallen und fängt ihn dann zur Zeit t2 wieder auf. Man konstruiert das Ereignis E1, das zum Zeitpunkt (t1+t2)/2 beim ersten Beobachter liegt, und das Ereignis E2, das zum Abprallzeitpunkt beim Nachbarn liegt. Der Abstand der Ereignisse wird über die Lichtlaufzeit bestimmt, der Vektor E1->E2 (auf den Abstand normiert) ist der raumartige Basisvektor in die entsprechende Richtung. Die experimentelle Realisierung erfolgt wie schon beschrieben, das nennt sich "Radar" oder "Lidar", je nach verwendeter Wellenlänge.

Das Ganze lässt sich in flacher Raumzeit beliebig ausdehnen. Man kann in eine bestimmte Richtung alle Ereignisse konstanten Abstands markieren und wird finden, dass sie auch die Weltlinie eines unbeschleunigten Beobachters darstellen. Man kann die Koordinatenzeit des ursprünglichen Beobachters mittels der Synchronisation (2) auf diesen Beobachter übertragen und wird finden, dass sie wiederum mit dessen Eigenzeit zusammenfällt.
Die so gewonnenen Koordinaten sind die Standardkoordinaten in der SRT. Sie lassen sich auf Uhren und starre Meterstäbe zurückführen: Die Zeitkoordinate kann direkt an der entsprechenden Uhr abgelesen werden. Zwei Beobachter mit konstantem Abstand markieren die Endpunkte eines starren Meterstabs, dessen Länge über die Lichtlaufzeit definiert ist.

Erstmal genug davon. Der nächste Schritt wäre wohl, diese Definition auf beliebig gekrümmte Raumzeiten auszudehnen, um auch dort zu "Standardkoordinaten" zu kommen.

Gedanken, Aregungen?