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  #21  
Alt 15.09.10, 00:52
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Wer ist denn eigentlich dieser Wolfram ?
Auch backe :-)
Stephen Wolfram
Auch fuer Physiker recht interessant
http://de.wikipedia.org/wiki/Stephen_Wolfram
http://www.johannarauch.de/PDF/Dath_Wolfram_FAZ.pdf

Ge?ndert von richy (15.09.10 um 00:56 Uhr)
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  #22  
Alt 15.09.10, 09:47
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Auch wenn es nicht zum Kernthema dieses Threads gehört kann die nachfolgend zitierte EMI-Antwort so nicht stehen gelassen werden.

Zitat:
Zitat von EMI Beitrag anzeigen
Die Stahlträger hat's zerbröselt..
Unbegreiflich, solches aus dem Munde eines Ingenieurs (?) zu hören. Stahl zerbröselt nicht durch Brände.

Der WTC-Kern bestand aus 47 überdimensionierten Stahlstützen:

http://www.wtc-terrorattack.com/construction-2.gif

http://911research.wtc7.net/talks/to...s/site1099.jpg

Beachte die Ausmasse der inneren Stützen. Selbst wenn sich diese unter dem Einfluss der Temperatur (Kerosinbrand 800 bis 1'000 °C) erweicht hätten, wären sie nicht einfach verschwunden. Stahl schmilzt bei rund 1'500 °C. Nach dem quasi freien Fall der Etagen und der Fassadenelemente müssten die zentralen Stützen zumindest im unteren Drittel des Towers noch immer stehend zu sehen gewesen sein. Darüber hätte es Verformungen gegeben, so dass die Stützen umgebogen wie die Stahlstäbe eines Regenschirms herabgehangen hätten. Doch nichts dergleichen. Und gerade dies ist äusserst seltsam.

Anstelle dessen erblickt man abgeschnittene Stützen, wie sie durch Schneidladungen (Cutter Charge) erzeugt werden!

http://www.911-archiv.net/images/sto...ikel/bild4.png

Beim klassischen Brennschneiden mit der Sauerstofflanze entstehen völlig andere Schlackenränder als hier zu sehen ist.

Ebenso merkwürdig ist der Einsturz von WTC 7. Es gab dafür keinen triftigen Grund - ausser es war eine gezielte und von langer Hand vorbereitete Abbruchaktion.

Gr. zg
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  #23  
Alt 15.09.10, 11:13
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Bauhof Bauhof ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Zitat:
Zitat von zeitgenosse Beitrag anzeigen
Auch wenn es nicht zum Kernthema dieses Threads gehört kann die nachfolgend zitierte EMI-Antwort so nicht stehen gelassen werden.
Hallo zeitgenosse,

Verschwörungstheorien gehören überhaupt nicht zum Thema "DGL versus DZGL". EMI hat zwar recht, aber er hätte gar nicht auf diesen Verschwörungsmist antworten sollen, sondern uns Moderatoren eine Nachricht senden sollen.

Falls weitere Beiträge zu diesem Verschwörungsmist erscheinen, werden sie gelöscht.

M.f.G. Eugen Bauhof
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  #24  
Alt 15.09.10, 20:23
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richy richy ist offline
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Mich hat das 911 Thema nicht gestoert :-)

Bezueglich dem Vergleich DGL und DZGL ist mir inzwischen einiges klarer geworden.Die Substitution stellt ein wichtiges Hilfsmittel bei der Loesung nichtlinearer Differentialleichungen dar.Hierbei nuetzt man aus, dass nicht nur die Funktion zu substituieren ist wie
u(x)=g{y(x)} => y(x)= g_invers{u(x)}
sondern auch das Differential
y(x)=g_invers{u(x)}
dy(x)/dx=dg_invers{u(x)}/dx=dg_invers{u}/du*du/dx

Man denke sich y(x) und dy(x)/dx in die DGL eingesetzt.
Wird die Abbildung g{y(x)} geschickt gewaehlt, laesst sich die DGL vereinfachen und oft sogar linearisieren oder loesen.

Die Substitutionsregeln wie in der Bernoulli DGL koennen bei der DZGL leider nicht einfach uebernommen werden. Denn die Verschiebung wird gleich behandelt wie die verschobene Funktion :

u(k)=g{y(k)} =>
y(k)= g_invers{u(k)}

u(k+1)=g{y(k+1)} =>
y(k+1)= g_invers{u(k+1)}

Man sieht. An der Gestalt aendert sich hier zunaechst nichts. Erst wenn man einsetzt macht sich die Substitution nur alleine durch die Nichtlinearitaet bemerkbar. Und das scheint meist nicht ausreichend. Eine wichtige Substitutionsform fuer quadratische Nichtlearitaeten scheint von folgender Gestalt zu sein :
u(k)=g{y(k+1)}/g{y(k)}
Man bildet das Verhaeltnis der Iteration und versucht mittels einer Funktion g{} dieses zu vereinfachen. Im Idealfall Konstant zu halten. Denn dann ist die Loesung gefunden.

Man fuehrt somit ZWEI Substitutionen durch !

1)

Abbildung auf einen Raum z
z(k)=g{y(k)}
z(k+1)=g{y(k+1)}

2)
Abbildung des Verhaeltnisses auf einen Raum u
u(k)=z(k+1)/z(k)

Beispiel (in umgekehrter Reihenfolge zur Erzeugung einer DZGL :
***********************************************
Annahme :Wir haben ein konstantes u gefunden :
u(k)=const
z(k+1)/z(k)=const
und koennen somit sofort die Loeung fuer z[k] angeben
z(k)=z0*const^k
(Dies entspricht einer Art Exponentialansatz)
**************

Angenommen z(k) hatte folgende Substitution :
z(k)=ln(y(k)-0.5)

Dann kennen wir die Loesung von y(k)
ln(y(k)-0.5)/ln(y0-0.5)=const^k
ln(y(k)-0.5)=ln(y0-0.5)*const^k
ln(y(k)-0.5)=ln( (y0-0.5)^const^k)
y(k)-0.5=(y0-0.5)^const^k
Loesung :
*******
y(k)=(y0-0.5)^const^k+0.5
*********************

Konstruktion der zugehoerigen DZGL :
****************************
Es galt :
z(k+1)/z(k)=const
daher
ln(y(k+1)-0.5)/ln(y(k)-0.5)=const
daraus koennen wir die DZGL zur Loesung konstruieren :
ln(y(k+1)-0.5)=ln((y(k)-0.5)^const)
y(k+1)-0.5=(y(k)-0.5)^const

y(k+1)=(y(k)-0.5)^const+0.5
**********************
Die Konstante ist in der konkreten log Substitution somit der Grad der Gleichung, der ueber Verkettung das verkettete Polynom const^k ten Grades erzeugt.

Auf diese Weise habe ich jetzt auch rein analytisch die Verhulst Gleichung in wenigen Zeilen fuer r=2 geloest :
(Man sollte dazu aber vorher schon die Loesung kennen (z.B meine graphische Methode )

http://www.quanten.de/forum/showpost...5&postcount=29

Ich meine uebrigends die r=4 Loesung von Stephan Wolfram ist nicht ganz korrekt.

Edit
Wolframs Loesung ist korrekt.

Gruesse

Ge?ndert von richy (16.09.10 um 22:01 Uhr)
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  #25  
Alt 16.09.10, 00:43
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Hi

Nochmals zu Stephen Wolframs r=4 Loesung, die im Test Unstimmigkeiten ergab :
Ich moechte diese im folgenden Beitrag daher korrigieren, modifizieren.



Wolfram meint somit fuer r=4 :

arccos(1-2*y(n)) = 2^n *arccos(1-2*y0)
d.h.
arccos(1-2*y(n+1)) = 2^(n+1) *arccos(1-2*y0)

=>

Zitat:
arccos(1-2*y(n+1))
-------------------- = 2
arccos(1-2*y(n))
Den Zahler kann man aus y(n+1)=4*y(n)*(1-y(n)) gewinnen
1-2*y(n+1)=1-8*y(n)+8*y(n)^2

Plottet man nun

Zitat:
arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
------------------------------------ = angeblich gleich zwei
arccos(1-2*y(n))
ergibt sich folgendes Bild :


Wo liegt der "Fehler" ?

1-8*y(n)+8*y(n)^2 weist bei y=0.5 einen Wendepunkt auf
1-2*y(n) dagegen eine Nullstelle




Im Arcuskosinus ergibt dies die folgende Unsymetrie




Entweder bildet man den Betrag

Zitat:
arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
--------------------------- ist gleich zwei !
arccos|1-2*y(n)|
oder die Wuerzel (1-2*y(n))^2

Zitat:
arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
------------------------------- ist gleich zwei !
arccos( Wurzel (1-2*y(n))^2) )
Und jetzt passen die Proportionen im gesamten Intervall 0..1 !

sogar fuer alle y. Hab ich fuer y=-30 000 bis 30 000 getestet



Wobei ich diese Propertion noch immer nicht recht glauben will.


Der Mini Peak ist sicherlich Numerik.
arccos|1-2*y|=2*arccos(1-8*y+8*y^2)
scheint fuer alle y eine Identitaet darzustellen. Kanns mir bisher nicht erklaeren.

Und natuerlich fangen jetzt erneute Probs an. Denn wir muessen die Substitution modifizieren. Aber dass es komplizierter wird ist eigentlich ein Zeichen dass der Weg stimmt.

Was aus der Loesung fuer r=4 alles folgt weiss ich noch gar nicht abzuschatzen.

Ge?ndert von richy (16.09.10 um 02:10 Uhr)
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  #26  
Alt 16.09.10, 01:48
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PRAXISTEST !!!

Also nochmals der numerische gagga Test :


Die Haelfte geht daneben


Ge?ndert von richy (16.09.10 um 22:36 Uhr)
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  #27  
Alt 16.09.10, 21:57
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numerischer Versuch:
****************
Direker Vergleich von Wolframs Loesung mit der Iteraton :

restart;
with(plots):
Digits:=20;
N:=100;
s:=0.8;
sta:=s;
for k from 1 to N do
gagga[k]:=1/2*(1-cos(2^(k)*arccos((1-2*sta))));
s:=4*s*(1-s);
loes[k]:=s;
od:

druck2:=seq([i,gagga[i]-loes[i]],i=1..N):
plot([druck2],r=0..N,style=line);

Dargestellt wird die Differenz zwischen Iteration und analytischer Loesung :

Rechnung mit einer Genauigkeit von 20 Stellen :


Rechnung mit einer Genauigkeit von 30 Stellen :


Wolframs Loesung ist korrekt !

Die Loesung enthaelt den Ausdruck 2^k. Daher kann sie auf dem Digitalrechner nur annaehernd berechnet werden. Bei einer Aenderung der Rechengenauigkeit zeigt sich dies deutlich.

Warum macht sich der von mir gezeigte "Fehler" nicht bemerkbar ?
Auf beiden Seiten der Gleichung wird der cos gebildet. Und dieser ist eine gerade Funktion. Wahrscheinlich deshalb. Es war dennoch wichtig zu zeigen , dass gilt

arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2)
--------------------------- = 2
arccos|1-2*y(n)|

Der Betrag ist wichtig.
Es muss noch gezeigt werden warum dieser Zusammenhang ueberhaupt gueltig ist.
Dieser Zusammenhang gilt fuer alle verketteten Polynome p[k+1] und p[k] !
Also Polynome 2^k ter Ordung.
Der Zusammenhang entspricht dem Logarithmengesetz log(x^a)=a*log(x)

Das witzige ist, dass ich fuer meine Loesung damals im Grunde die selbe Methode angewendet habe wie Wolfram, aber in einer graphischen Anschauung.

Ge?ndert von richy (16.09.10 um 22:55 Uhr)
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  #28  
Alt 23.09.10, 08:04
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richy richy ist offline
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Standard AW: DGL versus DZGL

Hi

Neben der Z Transformation fuer lineare Differezengleichungen habe ich gerade ein maechtiges Hilfsmittel gefunden, dass auch fuer nichtlineare DZGL's einsetzbar sein koennte. Die erzeugende Funktion. Ein Potenzreihenansatz. Verwandt mit der Z Transformation.

Hier gibt es ein komplettes Buch darueber zum kostenlosen Download :
Hab mal reingeschaut. Wirklich empfehlenswert :
generatingfunctionology
http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html
Die kalten Winterabende sind gerettet :-)

ANMERKUNG
Ich hatte in diesem bischen ungewoehnlichen Beitrag tatsaechlich ausgehend von der Grundidee des ersten Beitrages die Loesungsmethode von Wolfram selbst hergeileitet. Wobei sich spaeter herausstellt, dass diese Loesungsmethode schon seit 1870 bekannt aber wenig verbreitet ist. Sie wurde von Ernst Schroeder in Karlsruhe "entdeckt"

Ge?ndert von richy (21.11.11 um 04:28 Uhr)
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