Frage zur Rotation in der Relativitätstheorie

[Ich]

Zitat von Timm

Ich gehe davon aus, daß sich John Baez in seinem General Relativity Tutorial auf den stress-energy tensor bezieht, den ich verlinkt hatte (englisches Wikipedia):



T11 ist Druck, x-Impuls fließt in x-Richtung
T12 ist Scherung, x-Impuls fließt in y-Richtung, also tangential.

Ich bin mir nicht sicher bei T21, T31 und T32. Eigentlich sollte T21 y-Impuls in x-Richtung sein, also auch Scherung. Sehe ich das richtig?

Aus Wikipedia:
In solid state physics and fluid mechanics, the stress tensor is defined to be the spatial components of the stress–energy tensor in the proper frame of reference. In other words, the stress energy tensor in engineering differs from the stress–energy tensor here by a momentum convective term.

Wenn man also ins Ruhesystem geht, dann kriegt man Druck und Spannungen und so. Wenn man nicht im Ruhesystem ist, dann kommen noch Impulsströme dazu - wenn sich eine drucklose Flüssigkeit etwa schräg in x-y-Richtung bewegt, dann hat man einen Impulsstrom in y-Richtung, der durch eine auf x normale Fläche geht und andersherum.
dp/dt = d(mv)/dt = dm/dt*v + dv/dt*m. Der erste Term verschwindet im Ruhesystem, der zweite beschreibt eine Kraft. Durch die Fläche geteilt hat man eine Impulsstromdichte und eine Spannung. "momentum convective term" finde ich ganz gut ausgedrückt, wie bei der Konvektion geht es um Massentransport.

[Timm]

Zitat von Ich

Aus Wikipedia:
In solid state physics and fluid mechanics, the stress tensor is defined to be the spatial components of the stress–energy tensor in the proper frame of reference. In other words, the stress energy tensor in engineering differs from the stress–energy tensor here by a momentum convective term.

Wenn man also ins Ruhesystem geht, dann kriegt man Druck und Spannungen und so. Wenn man nicht im Ruhesystem ist, dann kommen noch Impulsströme dazu - wenn sich eine drucklose Flüssigkeit etwa schräg in x-y-Richtung bewegt, dann hat man einen Impulsstrom in y-Richtung, der durch eine auf x normale Fläche geht und andersherum.
dp/dt = d(mv)/dt = dm/dt*v + dv/dt*m. Der erste Term verschwindet im Ruhesystem, der zweite beschreibt eine Kraft. Durch die Fläche geteilt hat man eine Impulsstromdichte und eine Spannung. "momentum convective term" finde ich ganz gut ausgedrückt, wie bei der Konvektion geht es um Massentransport.

Die Stichworte "Massentransport" und "Impulsströme" erinnern an den Ball aus Testpartikeln in The Meaning of Einstein’s Equation, S. 13, wobei ich einige Fragen habe:

To see this, consider a small ball of test particles, initially at rest relative to each other, that is moving with respect to the matter in the universe. In the the local rest frame of such a ball, the right-hand side of equation (2) is nonzero. For one thing, the pressure due to the matter no longer vanishes. Remember that pressure is the flux of momentum. In the frame of our moving sphere, matter is flowing by. Also, the energy density goes up, both because the matter has kinetic energy in this frame and because of Lorentz contraction.

D.h. im Ruhesystem des Balls ist der Impulsstrom d(mv)/dt. Weshalb gilt hier nicht dm/dt*v < 0, weil der Ball schrumpft?

Seite 2., wie unterscheidet sich diese Matrix

V¨/V = - 1/2
flow of t−momentum in t direction +
flow of x−momentum in x direction +
flow of y−momentum in y direction +
flow of z−momentum in z direction

noch vom Stress-energy tensor? Fehlen da lediglich die Diagonalelemente?

Noch zu shear stress. Die Scherkraft wirkt tangential zur Fläche.

Der Ball Mittelpunkt sein in Ruhe zum Fluid. Wenn er rotiert, sollte es Impulsströme nicht in sondern tangential zur Richtung gehen. Hast Du das gemeint mit "schräg in x-y-Richtung bewegt" gemeint?
Ist generell Scherung flow of i−momentum in j direction mit i <> j?

[Ich]

Zitat von Timm

D.h. im Ruhesystem des Balls ist der Impulsstrom d(mv)/dt. Weshalb gilt hier nicht dm/dt*v < 0, weil der Ball schrumpft?

Der EIT ist eine lokale Eigenschaft der Raumzeit und wird nicht davon beeinflusst, wie sich irgendwelche Testpartikel bewegen. Anderrum schon.

Seite 2., wie unterscheidet sich diese Matrix

noch vom Stress-energy tensor? Fehlen da lediglich die Diagonalelemente?

Das ist keine Matrix, sondern die Spur des EIT.

Noch zu shear stress. Die Scherkraft wirkt tangential zur Fläche.

Der Ball Mittelpunkt sein in Ruhe zum Fluid. Wenn er rotiert, sollte es Impulsströme nicht in sondern tangential zur Richtung gehen. Hast Du das gemeint mit "schräg in x-y-Richtung bewegt" gemeint?

Ich meinte, dass z.B. der EIT nach den Koordinatenachsen ausgerichtet angegeben wird. Dann hast du diese xy-Komponenten, wenn das Fluid schräg zu den Achsen strömt, die Geschwindigkeit also eine x- und y-Komponente hat.

Ist generell Scherung flow of i−momentum in j direction mit i <> j?

Scherspannung ist ein Teil davon.

[Timm]

Zitat von Ich

Das ist keine Matrix, sondern die Spur des EIT.

Ja.

These flows are the diagonal components of a 4 × 4 matrix
T called the ‘stress-energy tensor’

Glatt überlesen.

Zitat von Ich

Ich meinte, dass z.B. der EIT nach den Koordinatenachsen ausgerichtet angegeben wird. Dann hast du diese xy-Komponenten, wenn das Fluid schräg zu den Achsen strömt, die Geschwindigkeit also eine x- und y-Komponente hat.
Scherspannung ist ein Teil davon.

Ah ok.

Noch eine Unklarheit. Baez' Ball schrumpft transversal. Geometrisch anhand der 2-Sphäre leuchtet das ein. Aber wie kann man sich das mittel der Impulsströme klar machen? Ich hätte Schrumpfen in Bewegungsrichtung erwartet.

[Ich]

Zitat von Timm

Noch eine Unklarheit. Baez' Ball schrumpft transversal. Geometrisch anhand der 2-Sphäre leuchtet das ein. Aber wie kann man sich das mittel der Impulsströme klar machen? Ich hätte Schrumpfen in Bewegungsrichtung erwartet.

Wenn es einen einleuchtenden Weg gäbe, sich das klarzumachen, hätte Baez ihn erwähnt, fürchte ich. Ich habe mich noch nicht damit beschäftigt, aber das ist vermutlich etwas komplizierter.

[Timm]

Zitat von Ich

Wenn es einen einleuchtenden Weg gäbe, sich das klarzumachen, hätte Baez ihn erwähnt, fürchte ich. Ich habe mich noch nicht damit beschäftigt, aber das ist vermutlich etwas komplizierter.

Ok, danke.

[Timm]

Zitat von Ich

Wenn es einen einleuchtenden Weg gäbe, sich das klarzumachen, hätte Baez ihn erwähnt, fürchte ich. Ich habe mich noch nicht damit beschäftigt, aber das ist vermutlich etwas komplizierter.

In Analogie zur 2-Sphäre würde ich (wenn ich an den Ball denke) erwarten, daß im statischen Universen auch anfänglich parallele Null Geodäten konvergieren. Weißt Du da Näheres? Ich habe hierzu ohne Ergebnis recherchiert.

Die Geodäten der Testpartikel des Balls verlaufen so, als würde er sich in Richtung einer punktförmigen Masse bewegen. Aber im Gegensatz zum freien Fall ist die Ausdehnung in Bewegungsrichtung wegen der konstanten Pekuliargeschwindigkeit konstant. Ob diese Überlegung Sinn macht, weiß ich nicht.

[Bernhard]

Zitat von Timm

In Analogie zur 2-Sphäre würde ich (wenn ich an den Ball denke) erwarten, daß im statischen Universen auch anfänglich parallele Null Geodäten konvergieren.

[ot]Ich würde hier auch eine Analogie zur 2-Sphäre erwarten. D.h. anfänglich parallele Geodäten sollten immer einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.[/ot]

[Bernhard]

Zitat von Timm

Noch eine Unklarheit. Baez' Ball schrumpft transversal. Geometrisch anhand der 2-Sphäre leuchtet das ein. Aber wie kann man sich das mittel der Impulsströme klar machen?

Als Grund wird genannt, dass aufgrund der Lorentz-Kontraktion die Energiedichte als vergrößert erscheint. Damit überwiegt lokal die Anziehung der Materie die Abstoßung aufgrund des kosmologischen Terms.

[Bernhard]

Zitat von Ich

Wenn man nicht im Ruhesystem ist, dann kommen noch Impulsströme dazu - wenn sich eine drucklose Flüssigkeit etwa schräg in x-y-Richtung bewegt, dann hat man einen Impulsstrom in y-Richtung, der durch eine auf x normale Fläche geht und andersherum.
dp/dt = d(mv)/dt = dm/dt*v + dv/dt*m. Der erste Term verschwindet im Ruhesystem, der zweite beschreibt eine Kraft. Durch die Fläche geteilt hat man eine Impulsstromdichte und eine Spannung. "momentum convective term" finde ich ganz gut ausgedrückt, wie bei der Konvektion geht es um Massentransport.

Da das auf statische Druckterme nicht anwendbar ist, ergänze ich hier noch um die Erklärung aus der kinetischen Fluidmechanik. Jeder Druck in einem Fluid setzt bewegte Teilchen voraus, und damit kann dann auch ein statischer Druck(term) als Impulsterm interpretiert werden.