Unbestimmtheitsrelation ?

[Hawkwind]

Zitat von Harti

Hallo zusammen,
bisher hat keiner auf meine obige Frage reagiert. Ist sie zu blöde ?

Vielleicht kann man meine Frage auch mehr mathematisch betrachten.

Ein Objekt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in einem Koordinatensystem, gebildet aus Zeitachse (y) und Raumachse (x). Die Bewegung erscheint als Gerade.
Der genau Ort, an dem sich das Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt aufhält, wird durch zwei Koordinaten (x;y) bestimmt. Die Geschwindigkeit wird durch dx/dy bestimmt. Wenn die Differenzen in Zähler und Nenner gegen Null streben, welchen Wert erhalte ich dann ? Ist die Annahme, eine Gerade habe in einem Punkt eine genau bestimmbare Steigung (Geschwindigkeit), nur ein (rein mathematisches) Denkkonstrukt, weil ein Punkt dimensionslos ist ? Muss ich mich entscheiden, um nicht in Widerspruch zu geraten, ob ich einen dimensionlosen Punkt betrachte oder eine eindimensionale Strecke ? Ist die Unbestimmtheitsrelation Ausdruck dieser Entscheidungsnotwendigkeit in der Realität ?

MfG
Harti

Bei einer Geraden kannst du ja ein beliebiges Steigungsdreieck wählen - da ist Momentangeschwindigkeit ja sowieso immer gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit.

Ansonsten brauchst du die Infinitesimalrechnung; solange stetige und stetig differenzierbare Funktionen (Weg-Zeit-zusammenhänge) vorliegen (was in der Physik immer der Fall ist), sehe ich kein Problem, an einem beliebigen Punkt die 1. Ableitung zu bilden.

Die Unschärfe betrifft ja auch nicht die klassische Physik.

[Bauhof]

Hallo zusammen,

ich habe das Thema hierher verschoben, weil ich meine, das das nicht mehr "Schulphysik" ist.

M.f.G Eugen Bauhof

[richy]

Hi Harti
Die Unschaerferelation ist nichts mysthisches und tritt auch im makroskopischen auf. So sind auch Spaltgeometrie und Interferenzbild komplementaere Groessen. Ueber die Fouriertransformation miteinaner verbunden. Und daher zwei unterschiedliche Beschreibungen des selben Sachverhalts, die man nicht vermischen sollte.
http://www.uni-tuebingen.de/uni/pki/..._4AFourier.pdf
Erlaeuterungen dazu :
http://www.quanten.de/forum/showthre...t=1102&page=35
http://www.quanten.de/forum/showthre...t=1102&page=36

Am deutlichsten zeigt die Unschaerferelation der Nachrichtentechnik, dass Bild und Urbereich einer FT komplementaer sind. Unsere Sinnesorgane koennen beides wahrnehmen. Deshalb bringen wir beides auch gerne durcheinander.

Lediglich der Zufall, der die Verteilung des Interferenzbildes wie ein Spruehbild abtastet ist die uns voellig unverstaendliche Groesse. Der physikalische Aspekt. Unschaerfe ist ein schlechter Ausdruck. Es ist nichts verschmiert oder unscharf sondern zufaellig.

Gruesse

[lamento]

Hallo miteinander,

Ein wesentliches Element der Quantenmechanik ist die Unschärferelation.
Sie spielt eine wichtige Rolle bei allen Versuchen die Quantentheorie
- über den mathematischen Formalismus hinaus - zu verstehen; solche
Versuche gibt es auch in diesem Forum glücklicherweise immer wieder.
Leider findet man auch in aktuellen Lehrbüchern sehr oft - bzw.
immer noch - vollkommen irreführende Darstellungen der
Unschärferelation(en). Im Folgenden einige Fakten hiezu.

Es gibt (im wesentlichen) zwei Arten von Unschärferelationen, nämlich

1.) die Relation die man im Rahmen des quantenmechanischen Formalismus
ableitet. Hier ist \Delta x die Quadratwurzel des Mittelwerts des
Quadrats der Abweichung des gemessenen Wertes von x vom
Erwartungswert \bar{x}. Dies ist eine statistische Größe; es
sind unendlich (= ziemlich viele) Messungen durchzuführen, um
dies \Delta x experimentell zu ermitteln. Bei all diesen Messungen
wird nur der Ort gemessen und zwar unendlich genau (= mit einer
Unschärfe, die sehr viel kleiner als das gesuchte \Delta x ist); nur
der Ort und sonst nix - zum nix zählt u.a. auch der Impuls- wird
gemessen.
Sinngemäß genau dasselbe gilt für \Delta p.

Die so definierte Unschärferelation (der bekannten Form) ist auf
Grund ihrer Herkunft mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit
richtig. Sie hat offensichtlich nichts mit einer einzelnen Messung zu
tun; insbesondere kann sie sicher nicht zur Begründung einer Aussage
wie: "Je genauer man den Ort eines Teilchens mißt umso umbestimmter
wird der Impuls, und umgekehrt" herangezogen werden.

2.) gibt es Unschärferelationen, die durch Gedankenexperimente a la
Heisenberg begründet werden. Das bekannteste dieser Gedankenexperimente ist die 'Messung' von Ort und Impuls
eines Elektrons mit Hilfe eines
Lichtmikroskops. Es wird in dem Büchlein von Heisenberg und vielen
Lehrbüchern beschrieben.
Bei diesem Experiment soll der Ort eines Elektrons, dessen Impuls als
bekannt angenommen wird, ermittelt werden. Es zeigt sich, daß die
Unschärfe \delta x der Ortsmessung mit der Unschärfe \delta p des
Impulses über dieselbe reziproke Beziehung (der bekannten Form) wie bei
1.) zusammenhängt.

Dieses Gedankenexperiment betrifft im Gegensatz zu 1) ein einzelnes
Teilchen. Es kann aber auch nicht zur zur Begründung einer Aussage
wie: "Je genauer man den Ort eines Teilchens mißt umso umbestimmter
wird der Impuls, und umgekehrt" herangezogen werden. Der Grund ist,
daß die Unschärfe \delta p die Unschärfe des Impulses *nach* der Messung
beschreibt, während \delta x die Unschärfe eines echten Messresultats
(des Ortes x) ist. Wenn der Impuls p vor der Messung wirklich bekannt
ist, kann der Ort mit Hilfe dieser experimentellen Anordnung beliebig
genau gemessen werden (die Unschärfe \delta p des Impulses wird dann
beliebig groß aber das betrifft ja nicht die Messung sondern die Zeit
nach der Messung). Bei einer Messung im mikroskopischen Bereich ist
der Einfluß des Messapparates auf das untersuchte Objekt (der natürlich
immer da ist, aber im makroskopischen Bereich vernachlässigt werden
kann) zu berücksichtigen, d.h. man hat Präparation und Messung zu
unterscheiden.

Heisenberg hat in seiner Interpretation dieses Gedankenexperiments
Präparation (d.h. Herstellen von Anfangsbedingungen für zukünftige
Messungen) mit Messung verwechselt. Diesen Irrtum hätte jeder andere
Physiker seiner Zeit auch begangen (und sei er noch so brilliant);
meines Wissens wurde der Unterschied erst Jahrzehnte später (von
Margenau) formuliert. Weniger fein ist, daß er ihn nie korrigiert
hat. Der Unterschied zwischen Präparation und Messung ist inzwischen
Standard u. auch in (guten) Lehrbüchern (Peres) zu finden.

Es gibt noch andere (ziemlich abstrakte) Varianten der Unschärferelation
(die wirklich simultane Messungen von Ort und Impuls behandeln), aber auch
diese sind *statistische* Aussagen und können daher nicht zur Begründung
von Aussagen über Einzelmessungen wie "Je genauer man den Ort eines
Teilchens misst umso umbestimmter wird der Impuls, und umgekehrt"
herangezogen werden.

Diese Fakten zeigen, daß eine Aussage wie "Je genauer man den Ort
eines Teilchens misst umso umbestimmter wird der Impuls, und umgekehrt"
nicht begründbar ist, weder im Rahmen des exakten Formalismus der
Quantentheorie, noch im Rahmen irgendwelcher Gedankenexperimente.
Darüber hinaus gibt es gute Gründe anzunehmen, daß eine solche Aussage
einfach falsch ist: Das einfachste Argument dafür habe ich oben
reproduziert, andere Gedankenexperimente (mir sind drei bekannt)
und mindestens ein reales Experiment (die Realisierung eines von
Popper vorgeschlagenen Gedankenexperiments), die zeigen
daß das \hbar-limit unterschritten werden kann, existieren.

Diese "Unschärferelation" (damit meine ich jetzt wieder Aussagen wie
"Je genauer man den Ort eines Teilchens misst umso umbestimmter wird der
Impuls, und umgekehrt") ist der wichtigste (wenn auch nicht der einzige)
Eckpfeiler der Standard (Kopenhagen) Interpretation der Quantentheorie.
Die Nichtexistenz der "Unschärferelation" ist ein starker Hinweis darauf,
daß sich die Forschung in diesem - durch Fragen der Interpretation sehr
stark beeinflußten - Bereich seit vielen Jahrzehnten auf einem Irrweg von
atemberaubenden Ausmaßen befindet.

Überblicksliteratur:

Ballentine, Lehrbuch Quantenmechanik und
Reviews of Modern Physics, vol.42, 358-381 (1970)

Artikel von Popper in "The Logic of Scientific Discovery" und
in einem Buch, dessen Titel etwa "Quantum theory and the schism of
physics" lautet.

Gruß
Lamento

[JoAx]

Hallo Lamento!

Zitat von lamento

... Der Grund ist,
daß die Unschärfe \delta p die Unschärfe des Impulses *nach* der Messung
beschreibt, während \delta x die Unschärfe eines echten Messresultats
(des Ortes x) ist. Wenn der Impuls p vor der Messung wirklich bekannt
ist, kann der Ort mit Hilfe dieser experimentellen Anordnung beliebig
genau gemessen werden

Ich hätte da eine Frage. Wie soll die Kenntniss über den exakten Impuls unmittelbar vor der Ortsmessung realisiert werden? Eine einfache Annahme, dass dieser bekannt wäre, reicht imho nicht aus. Genau so gut könnte ich annehmen, dass beides - Ort und Impuls - exakt bekannt sind. Wäre das auch eine Widerlegung in "deinem" Sinne? Ich denke kaum.


Gruss, Johann

[Hawkwind]

Zitat von lamento

Diese Fakten zeigen, daß eine Aussage wie "Je genauer man den Ort
eines Teilchens misst umso umbestimmter wird der Impuls, und umgekehrt"
nicht begründbar ist, weder im Rahmen des exakten Formalismus der
Quantentheorie, noch im Rahmen irgendwelcher Gedankenexperimente.
Gruß
Lamento

Hmm, die Aussage der Orts- Impulsunschärfe ist ja, dass es kein Messinstrument geben kann, das Impuls und Ort eines Quants zugleich beliebig genau messen kann.

Das ist ein Feature, das in die Quantenmechanik implementiert wurde, und diese ist ja nun zweifellos extrem erfolgreich und bestens bestätigt.

Schau dir nur als ein Beispiel das Problem des harmonischen Oszillators mit Hilfe der Schrödingergleichung an. Neben der Diskretisierung der Energieniveaus ist der auffälligste Unterschied zur klassischen Mechanik, dass die Energie des Grundzustands nicht bei Null sondern darüber liegt.

Das ist ein Ausdruck der Impuls-Ortsunschärfe-Relation für das oszillierende Quant: wäre die Energie des Grundzustandes bei E=0, so würde das Teilchen am Gleichgewichtspunkt schlicht ruhen (v=0,x=0), was im Widerspruch zur Impuls-Orts-Unschärfe ist und von der Quantenmechanik deshalb ausgeschlossen wird: darum ist die Energie des Grundzustandes größer null.

Wenn du nun sagst, dass die Unschärferelation nur für statistische Standardabweichungen gilt und deshalb für ein einzelnes Teilchen irrelevant ist, dann ist das einfach falsch.

Gruß,
Hawkwind

[Hawkwind]

Zitat von JoAx

Hallo Lamento!



Ich hätte da eine Frage. Wie soll die Kenntniss über den exakten Impuls unmittelbar vor der Ortsmessung realisiert werden? Eine einfache Annahme, dass dieser bekannt wäre, reicht imho nicht aus. Genau so gut könnte ich annehmen, dass beides - Ort und Impuls - exakt bekannt sind. Wäre das auch eine Widerlegung in "deinem" Sinne? Ich denke kaum.


Gruss, Johann

Um den Impuls vor der Messung zu kennen, müsste man einen entsprechenden Zustand präparieren - im wesentlichen die Geschwindigkeit messen. Die nachfolgende Ortsmessung würde dann aber die Geschwindigkeit des Teilchens stören. Damit sind wir wieder bei der Unschärfe; wir hatten das Beispiel ja schon viel weiter oben im Thread.
In der "Sprache" der Quantenmechanik wäre dann der Zustand vor der Ortsmessung mit bekannter Geschwindigkeit eine ebene Welle; das sind die Eigenfunktionen des Impulses und der Wellenvektor mal hquer entspricht dann dem scharfen Impuls des Teilchens. Nach der Ortsmessung wäre der Zustand ein Diracscher Peak am gemessenen Ort. Diesem könnte man keinen Impuls mehr zuordnen; die Vorhersage für eine Impulsmessung wäre völlig unbestimmt.

Ich denke, Lamento irrt oder ich habe ihn völlig falsch verstanden.

[lamento]

Hallo miteinander,

Ich habe mich bemüht es genau zu erklären, aber bitte nehmt Euch
jetzt auch ein bißchen Mühe, es zu verstehen. Ich habe drei verschiedene Versionen der 'Unschärferelation' angeführt, und wenn man das Problem verstehen will muß man die drei getrennt diskutieren und dann vergleichen.

Es ist überhaupt kein Problem einen Zustand mit scharfem Impuls zu
präparieren (das ist ja auch eine der Voraussetzungen Heisenbergs, wenn
das nicht ginge dann wäre ja sein Experiment schon deshalb inhaltsleer)

Die Ortsmessung beeinflußt den Impuls *nach* der Messung, nicht
den Messwert. Den Unterschied zwischen Messung und Preparation
habe ich versucht zu erklären, aber ich werde hier kein Buch darüber
schreiben. Lies das Quanten Lehrbuch von Peres.

Mit pauschalen Aussagen wie; die "Unschärferelation ist Teil der QM und
daher richtig" wird man nicht sehr weit kommen. Wie gesagt es gibt drei
verschiedene Unschärferelationen und ich kritisiere genau eine davon. Diese
von mir kritisierte Unschärferelation ist *nicht* Teil des quantenmechanischen Formalismus.

Gruß und alles Gute
Lamento

[JoAx]

Zitat von lamento

Ich habe mich bemüht es genau zu erklären, aber bitte nehmt Euch
jetzt auch ein bißchen Mühe, es zu verstehen.

Das versuche ich auch, lamento! Es klappt halt nicht.

Zitat von lamento

Es ist überhaupt kein Problem einen Zustand mit scharfem Impuls zu
präparieren (das ist ja auch eine der Voraussetzungen Heisenbergs, wenn
das nicht ginge dann wäre ja sein Experiment schon deshalb inhaltsleer)

Ok. Wir hätten also einen scharfen Impuls nach der Präparation, und einen scharfen Ort nach der Orts-"Messung". Aber was sagt das aus? Wozu misst man Orte und Impulse? Physik ist ja keine Geschichtswissenschaft, die nur daran interessiert ist, wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befunden haben, und welchen Impuls diese unmittelbar vor der Ortsmessung hatten. Man braucht diese Werte, um dieselben zu einem späteren Zeitpunkt zu berechnen. In der klassischen Mechanik funktioniert das auch prima, da Messungen keinen Einfluss auf diese Parameter haben, diese sind nach der Messung die selben. Was kann ich aber in der QM mit einem scharfen Ort zum Messzeitpunkt, und einem scharfen Impuls vor der Messung anfangen? Ich kann berechnen, wie der Impuls nach der Ortsmessung sein könnte. Und dieser ist um so breiter gestreut, je genauer man den Ort bestimmt hat.

Wie gesagt. Ort zum Messzeitpunkt und Impuls unmittelbar davor sind an sich uninteressant. imho.

Jede Präparation kann als Messung verstanden werden. (Präparieren) Messen wir den Impuls scharf, wo soll anschliessend nach dem Teilchen gesucht werden? - In einem sehr grossen Volumen. => Je genauer der Impuls bekannt ist, desto unbestimmter ist der Ort. Ist doch einfach und logisch, oder etwa nicht?

Zitat von lamento

Den Unterschied zwischen Messung und Preparation habe ich versucht zu erklären,

Nicht wirklich, ehrlich gesagt. Du hast lediglich erwähnt/behauptet, dass da ein Unterschied besteht, und gleich auf Literatur verwiesen, ohne den Unterschied benannt zu haben. Es muss kein Buch sein, aber ein paar Worte wären nicht fehl am Platz, denke ich.

Zitat von lamento

Diese von mir kritisierte Unschärferelation ist *nicht* Teil des quantenmechanischen Formalismus.

Und wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist diese Kritik physikalisch irrelevant. imho


Gruss, Johann