Math - Das grosse Fenster ...

[richy]

Interessanter Bericht zum Thema :
http://www.zeit.de/zeit-wissen/2006/...werb_Titel.xml

[richy]

Hi JGC
Nochmal zu deinem Vergleich Mandelbrot und Feigenbaumdiagramm. Die Verhulst Gleichung laesst sich in die Mandelbrotgleichung ueberfuehren. Beide Gleichungen stellen somit das selbe dar :
http://www.gefilde.de/ashome/artikel...artikel_as.pdf

Der VERHULST-Prozess ist nicht-linear, was sofort klar wird, wenn man den Klammerausdruck zu ax−ax^2 auswertet. Er lässt sich sogar rein-quadratisch darstellen. Dazu ersetzen wir die Variable x durch 1/2-z/a und erhalten nach kurzer Rechnung die auf z umgeschriebene Übergangsregel: z-> z^2 +c , wobei c = a/2*(1−a/2). MANDELBROT hat die VERHULST-Dynamik in dieser einfachen Form untersucht, dabei allerdings nicht mit reellen, sondern mit komplexen Zahlen gerechnet. Von vielen Sachverhalten gewinnt man dabei ein umfassenderes Bild.

[JGC]

Zitat von richy

Hi JGC
Nochmal zu deinem Vergleich Mandelbrot und Feigenbaumdiagramm. Die Verhulst Gleichung laesst sich in die Mandelbrotgleichung ueberfuehren. Beide Gleichungen stellen somit das selbe dar :
http://www.gefilde.de/ashome/artikel...artikel_as.pdf

Hi Richy...


Genau DIESES scheint mir der springende Punkt zu sein!!

Ich weiß gerade nicht wie ich das genauer spezifizieren soll, aber wir haben im realen Leben im Grunde doch immer mit Transformationen zu tun, oder etwa nicht?

Bevor ein gegebener Sachverhalt existieren kann, müssen doch zuerst vorher die entsprechend notwendigen(benötigten) Voraussetzungen existieren, DAMIT der entsprechende jetzt vorfindbare Sachverhalt existieren kann..

Ob jetzt eine Wahrnehmung, ein Bild, ein Geräusch, oder überhaupt eine Idee, eine Gestalt, eine Eigenschaft, eine Form, ein Umriss, eine Größe oder ein darin manifestierter Inhalt betrachtet wird....

IMMER müssen doch schon vorher die benötigten vorherigen Voraussetzungen geherrscht haben, damit durch die sowieso schon stetige Bewegung/Veränderungs-Abläufe die momentanen betrachtbaren Voraussetzungen existieren können... (und natürlich ein "betrachtendes" Was)

Und erst durch entsprechende Transformationen(die jeweiligen momentan stattfindenden Zustandsveränderungen durch die jeweils möglichen gegebenen Voraussetzungen) in entsprechende Realitäten verwandelt werden..

Ein Plan nimmt z.B. Gestalt an oder ein Gedanke wird zu einem gesprochenen Wort, das wiederum einschneidende physikalische Konsequenzen zeigt...



Ein rekursiver Vorgang in einer gegebenen Voraussetzung??

Anders ausgedrückt...

Um DA zu stehen, wo JETZT GERADE jeder Mensch geistig/körperlich/emotional, oder jedes Atom oder jede Regierung, jeder Staat (oder sonst noch jede Form existierender Sachverhalte) momentan steht, waren IMMER schon vorherige Bedingungen, sowie ein entsprechender Mangel oder Überschuss daran beteiligt, DAS jetzt alles gerade DA steht, WO sie sich jetzt gerade alles befindet

Die Gegenwart ist also eine determinierte Folge der jeweilig betrachteten "schon geschehenen" Vergangenheiten und all ihrer damaligen Sachverhalte wie zugehörigen Umstände...

All das, was JETZT ist, lässt sich also im Grunde letztlich logisch auf einen einzigen Ursprung zurück führen, der durch seine damalige entsprechende Startbedingung genau DAS Universum schuf und DEN menschlichen Geist zugelassen hat, welchem wir heute begegnen..


Könnte die jeweilige Transformation der Schlüssel allen Seins sein??

Das z.B. ein Vogel gleichzeitig MIT der Voraussetzung, sich über das Ei zu vermehren, in der Evolution auftauchen konnte..

Das es SO gesehen gar nicht um die Henne/Ei-Frage geht, WAS vorher da war, sondern eher darum, welche Voraussetzungen mit den jeweiligen gleichzeitig vorhandenen, möglichen Realitäten verknüpfbar sind?

Sucht sich z.B. ein Blitz aus einer Wolke sein Ziel aus oder wird der Blitz schon vorher von seinem möglichen Ziel "aufmerksam" gemacht, das er DORT einschlagen könnte...(dazu gibt es interessante Highspeed-Filme)

http://www.chilloutzone.net/video/bl...motion--1.html
oder im Wiki

Aber gut, ich will jetzt nicht alles verwirren, letztlich wollte ich nur damit sagen, das eigentlich alles irgendwie von 2 Seiten her gleichzeitig bestimmt wird


Der abstrakte Raum in Interaktiver Rückkopplung mit dem realen Raum??

Nach genau all denen Gesetzen, die man in all den Fraktalen wiederfindet??


Gruß............................JGC

[richy]

Das Video ist der absolute Hammer.
Genauso wie dieses :
http://www.youtube.com/watch?v=GQqMoxF3vEA
Hier einige Bilder. Die Nichtlinearitaet laesst gruessen :-)
http://www.youtube.com/watch?v=AaHqJ...eature=related

[JGC]

Hi Richy...


Die Blitzzeit in meinem Linkverweis betrug übrigens gerade nur 0,4 Sek.

Gedehnt auf 1.24 Min...

[richy]

Hi JGC

aber wir haben im realen Leben im Grunde doch immer mit Transformationen zu tun, oder etwa nicht?

Transformation ... ist ein gewichtiger Ausdruck. In der Wissenschaft ist der Ausdruck mit den Integraltransformationen verknuepft.
Zum Beispiel der Fouriertransformation
Diese Transformation ermeglicht es dir nicht das Zeitsignal sondern die darin enthaltenen Frequenzen wahrzunehmen.
Aufgrund dieser sprachlichen Vorbelegen sollte man unverfaenglicher von Abbildungen reden. Oder noch allgemeiner von Operatoren.

Bevor ein gegebener Sachverhalt existieren kann, müssen doch zuerst vorher die entsprechend notwendigen(benötigten) Voraussetzungen existieren, DAMIT der entsprechende jetzt vorfindbare Sachverhalt existieren kann..

Das nennt man Kausalitaet.
Dazu musst du Vorgaenge aber zeitlich ordnen koennen. Man benoetigt also den Zeitpfeil. Und der haengt an der Entropie. Daher sind Vorgaenge vor der Dekohaerenz akausal.
Eindringlichstes Beispiel : Der objektive Zufall.
Aber wenn man die physikalische Realitaet (Makrowelt) betrachtet hast du Recht. Da ist alles kausal. Sogar die Mathematik ist kausal. Lediglich unsere Emotionen nicht.

Ob jetzt eine Wahrnehmung, ein Bild, ein Geräusch, oder überhaupt eine Idee, eine Gestalt, eine Eigenschaft, eine Form, ein Umriss, eine Größe oder ein darin manifestierter Inhalt betrachtet wird....

IMMER müssen doch schon vorher die benötigten vorherigen Voraussetzungen geherrscht haben, damit durch die sowieso schon stetige Bewegung/Veränderungs-Abläufe die momentanen betrachtbaren Voraussetzungen existieren können... (und natürlich ein "betrachtendes" Was)

Jawohl so ist es !
Das hast du super erkannt. Zu unserer Realitaet gehoert immer eine Stueck Vergangenheit. D.h. ohne Dynamik gibt es gar keine Realitaet. Die Dekohaerenz zeigt es noch eindringlicher. Ohne Entropieaenderung gibt es fuer uns keine Realitaet. Und daher gibt es fuer uns auch in einer VWI nur eine Realitaet. Die Realitaet mit der wir verschraenkt sind. An deren Entropie wir haengen. Ausgenommen hiervon sind wie erwaehnt der Zufall und z.B. unsere Emotionen.
Die benoetigen keinerlei Realitaet. Auch wenn wir traeumen benoetigen wir keine Realitaet.
Darum erscheint uns das Schlafen auch zeitlos.
Schon verrueckt. Aber ohne "thermische Verluste" Reibung gaebe es keine Realitaet. Und der Anschluuss an die Entropie erfolgt ueber die Gravitation. Ohne Gravitation gaebe es somit auch keine Realitaet.
Kleiner Gag :
Manche missverstehen dies und meinen ohne Realitaet gaebe es auch keine Gravitation.
Das sind die Leute die unter Drogen dann vom Balkon springen
D.h. im Grunde mehr als ein Gag. Denn es zeigt dass Zeit und Gravitationsgefuehl zusammenhaengen.
Meist siegt die Gravitation ueber die Emotion :-)
Man landet auf dem harten Boden der Tatsachen :-)

Ein rekursiver Vorgang in einer gegebenen Voraussetzung??

Ja, Treffer :-) Wobei "rekursiv" eine diskretisierte Betrachtungsweise voraussetzt.
Diese iterativen Gleichungen wie Verhulst oder Mandelbrot sind nichts weiter als Differentialgleichungen die man in diskretisierter Zeit betrachtet.
Das sind Differenzengleichungen. Diskretisierte Differntialgleichungen.

Die ganze Naturwissenschaft basiert auf Differentialgleichungen. Das hier waere eine solche :

Sogar eine partielle , also raumliche.
Wenn du diese auf einem Rechner simulieren willst musst du sie diskretisieren, denn der Rechner ist getaktet und die Speicherzellen sind diskret. Und dann wird aus der SGL eine Differenzengleichung. Im hyperbolischen Fall eine iterative, step by step Rechenvorschrift.
Und es ist einfacher dann die Z-Transformation statt der Fourier oder La place Transformation zu verwenden.
Im Bildbereich entspricht dies einer Substitution :
z=exp(s) s=alpha+i*omega
(Mit alpha=0 wird aus der Laplace die Fouriertransformation.)

Verhulst Gleichung und Mandelbrotmenge sind auch ueber soch eine Substitution miteinander verknuepft.
x = 1/2-z/a
Achtung das ist eine seltsame Substitution. Denn die Iterationswerte werden ueber einen bereits existierenden Parameter ersetzt.
Eine Substitution kann man physikalisch als Beobachtersysemwechsel interpretieren.
Mandelbot und Verhulst betrachten somit den selben Sachverhalt aus verschiedenen Perspektiven.
Und so eigentuemlich es klingen mag. Diskretisierte und Kontinuierliche Welt entsprechen ebenfalls einem Beobachtersystemwechsel. Allerding in der Betrachtung des Bildbereiches einer Integralltransformation.

Die Gegenwart ist also eine determinierte Folge der jeweilig betrachteten "schon geschehenen" Vergangenheiten und all ihrer damaligen Sachverhalte wie zugehörigen Umstände...

Ja, so dachte sich das Herr La Place schon.
Allerdings macht die Unschaerfe , besser der Zufall ein Strich durch diese Rechnung. Ebenfalls die Chaostheorie plus Goedel.
Denn der La Placesche Daemon scheitert auch ohne Zufall an der Beschreibung seiner selbst.

Aber in der Regel passt diese Vorstellung des iterativen Fortschreitens des Weltenverlaufs.

Gruesse

BTW:
Im Moment bist du mit deiner Intuition auf dem richtigen Weg.

[richy]

Ich mach mal hier weiter :

n cycle (2^n) r_(2^n) Sloane
1 2 3
2 4 3.449490 A086180
3 8 3.544090 A086181
4 16 3.564407 A091517
5 32 3.568750
6 64 3.56969
7 128 3.56989
8 256 3.569934
9 512 3.569943
10 1024 3.5699451
11 2048 3.569945557
infty accumulation point 3.569945672 A098587
=>

MAPLE Code zum Ansteuern einiger Periodenverdopplungen

if zyk=01 then r_min:=3.00000000; r_max:=3.449490;fi;
if zyk=02 then r_min:=3.44949000; r_max:=3.544090 ;fi;
if zyk=03 then r_min:=3.54409000; r_max:=3.564407;fi;
if zyk=04 then r_min:=3.56440700; r_max:=3.568750;fi;
if zyk=05 then r_min:=3.56875000; r_max:=3.56969;fi;
if zyk=06 then r_min:=3.56969000; r_max:=3.56989;fi;
if zyk=07 then r_min:=3.56989000; r_max:=3.569934;fi;
if zyk=08 then r_min:=3.56993400; r_max:=3.569943;fi;
if zyk=09 then r_min:=3.56994300; r_max:=3.5699451;fi;
if zyk=10 then r_min:=3.5699451; r_max:=3.569945557;fi;

Wolframs Postulat



f ist eine spezielle Funktion. f-1 deren Umkehrfunktion
f(x)=exp(x) fuehrt auf die Wolfram/richy Loesung von r=2.

Die drei bisher bekannten analytischen geschlossenen Loesungen :

Wuerden weitere geschlossene Loesungen existieren entsprechen sie nicht Wolframs Postulat !

Die r=2 Loesung laesst sich verallgemeinern zu

(dies ist nicht das verkettete r=2 Polynom sondern p2/p1)

Beispiel der Anwendung :

y[n+1]:=y[n]*(4-12*y[n]+16*y[n]^2-8*y[n]^3);

hat die Loesung :


mit 4^n statt 2^n

************************************************** *
Nur Anmerkungen :
Verhulst laesst sich auch darstellen als r/4-r*(x-1/2)^2

Mandelbrot Verhulst :
Verhulst lässt sich sogar rein-quadratisch darstellen. Dazu ersetzen wir die Variable x durch 1/2-z/a

Aus der r=4 Loesung folgt :
-1/2*(-1+cos(2*arccos(-1+2*x)))=4*x*(1-x)


Hilfsmittel :
http://www.hawo.stw.uni-erlangen.de/...lungen/dsv.pdf

Konservativer Versuch
************************************************** ***************
FRAGEN (an mich selbst) :
Warum funktioniert die Umformung Fib_1/Fib so aalglatt obwohl sie auf eine nichtlineare Differenzengleichung fuehrt ?
Wie kann ich Verhulst umgekehrt in eine DZGL 2 ter oder m ter Ordnung ueberfuehren ?
************************************************** ****************
Progressiver Teil :
************************************************** ****************

Wenn ich Wolframs chaotische r=4 Loesung betrachte ist diese von der Periodizitaet bestimmt.
Im Kern enthaelt sie eine Frac Funktion.
Die r=2 Loesung entspricht einem Fall in dem die Frac funktion voellig eindeutig ist.
Zyklen entsprechen Resonanzen mit einer Frac Funktion.
=>
Im Falle des Chaos steht die Frac Funktion in einem irrationalen Verhaeltnis zu der Gleichung. Im Falle der Zyklen in einem rationalen Verhaeltnis.
=>
Der Kern von Wolframs Frac Funktion sieht zunaechst grauenhaft aus.
Das ist er aber gar nicht, denn cos-1(1-2*x0) ist nur ein Parameter, so dass sich der Kern reduzieren laesst zu cos( exp(a*n)*w) w=f(x0)
Das exponentiell steigende Argument exp(a*n) ist somit die Groesse die man in den Griff bekommen muss. Es ist gar nicht die Umkehrabbildung die den Frac Charakter erzeugt, sondern die zunehend steigende Frequenz im Argument des Kosinus.
Teuflisch
Denn diese Frequenz im Kosinus steigt exponentiell mit jedem Iterationsschritt.
************************************************** ****************

[richy]

Noch ein Merkzettel, den ich im alten Forum mal aufgestellt habe :
ANHANG 1

Zitat von richy

Differenzialgleichungstypen erster Ordnung, fuer die analytische
Loesungsmethoden existieren:
(Die also analytisch geloest werden koennen)

dv/dx=f(x)/g(v) :
*************
Lsg: TRENNEN DER VARIABLEN

dv/dx=f(v/x) :
***********
Lsg: SUBSTITUTION z(x)=v(x)/x, dv(x)/dx=z+x*dz/dx

Beispiel :
(x^3*y - 2*y^4)
----------------- = dy(x)/dx
y^3*x - 2*x^4

dv/dx=f [ (ax+bv+c)/ (Ax+By+C) ]
***************************
Fall 1)
Determinante (a b A B) <> 0
c=C=0
dv/dx=f[ (a+b*v/x) / (A+B*v/x)] =F(v/x]

Fall 2)
c und C ungleich Null
Erfordert einen etwas hoeheren mathematischen Aufwand, der mittels Substitution schliesslich auf den Fall c=C=0 abgebildet werden kann.

Fall 3)
Determinante (a b A B) = 0
Substitution u(x)=ax+b*v(x) fuehrt auf eine DGL die sich durch Trennen der Variablen loesen laesst.

*********************
ALLGEMEINE LINEARE DGL:
dv/dx=p(x)*v(x)+q(x)
*********************
LSG:
v(x)=exp(a(x))*Integral(q(t)*exp(-a(t)) dt * C
mit
a(x)= Integral(0..x, p(u) du

***************
Bernoullische DGL
***************
dv(x)/dx = p(x)*v(x) + q(x)*v(x)^n, n ungleich 0,1
LSG:
SUBSTITUTION u(x)=v^(1-n)
fuehrt auf die lineare DGL


****************
RICCATISCHE DGL
****************
dv(x)/dx=p(x)*v(x)^2 +q(x)*v(x) +r(x)
******************************
Die RICCATiSCHE DGL enthaelt die Bernoullische DGL fuer r(x)=0
und die lineare DGL fuer p(x)=0 als Spezialfaelle.
Sie ist die Verallgemeinerung der bernoullischen und allgemeinen DGL.

Man kann diese DGL nur loesen indem man durch Probieren eine spezielle Loesung v1(x) findet.
Dann fuehrt die Substitution:
v(x)=v1(x) + 1/u(x)
auf die lineare DGL:
du/dx = -(2*p*y1 +q )*u - p

Die exakte DGL
************
D()/Dx steht fuer den partiellen Ableitungsoperator.

Das ist auch ein sehr wichtiger DGL Typ:
P(x,v)dx+Q(x,v)*dv=0
Diese Differentialgleichung ist exakt , wenn fuer die partiellen Ableitungen in einem einfachen zusammenhaengenden Gebiet der x,v Ebene gilt:
DP/Dv=DQ/Dx

Es existiert dann eine Funktion f(x,v) mit:
df/dx=P und df/dv=Q
Das Bestimmen der Loesung ist etwas komplizierter.

Die nichtexakte DGL
****************
ist von der Form:
P(x,v)dx+Q(x,v)*dv=0
wobei die partiellen Ableitungen die Bedingungen :
DP/Dv=DQ/Dx nicht erfuellen !
Solche DGL`s koennen dennoch geloest werden indem man sie mittels eines geeigneten Faktors u(x,v) in eine exakte DGL ueberfuehrt.
u heisst dann integrierender Faktor.
Es muss gelten:
Du/Dv*P + u*DP/Dv = Du/Dx*Q + u*DQ/Dx

[richy]

Rein algebraische Loesung Verhulst r=2:

Ausgangsgleichung
y(k+1)=2*y(k+1)*(1-y(k))
********************
Umformen zur (bekannten) Zielsubstitution

y(k+1)=2*y(k+1)-2*y(k)^2
2*y(k+1)=4*y(k+1)-4*y(k)^2
1-2*y(k+1)=1-4*y(k+1)-4*y(k)^2
1-2*y(k+1)=(1-2*y(k))^2
ln(1-2*y(k+1))=2*ln(1-2*y(k))

Zielsubstitution : (allgemein g{y[k+1]}/g{y[k]}=konstant
Das ist der wichtigste Punkt bei DZGL's !

ln(1-2*y(k+1))
-------------- =2
ln(1-2*y(k))

Substitution : z(k)=ln(1-2*y(k))
z(k+1)=2*z(k)

Loesung :
*******
z(k)=z0*2^k
=> Loesung Ruecksubstitution

ln(1-2*y(k))=ln(1-2*y0)*(2^k) (Hierauf basiert Wolframs Postulat der Umkehrfunktion)
ln(1-2*y(k))=ln((1-2*y0)^(2^k))
(1-2*y(k))=(1-2*y0)^(2^k)

y(k)=1/2*(1-(1-2*y0)^(2^k))
***********************

Fuer den chaotischen Fall r=4 lautet die Zielsubstitution

arccos(1-2*y(k+1))
---------------------------- =2
arccos(1-2*y(k))

Diese Transformation ist noch abgefahrener :-) ...
Die spezielle cos .... arccos Funktion erzeugt in jedem Iterationsschnritt doppelt so viel Nullstellen wie zuvor. An der selben Stelle wie das entsprechende verkettete Polynom.
Sie ist das verkettete Polynom. Und alle Nullstellen sollen reell sein !

y(k)=1/2*(1-(1-2*y0)^(2^k))
ist ein Polynom 2^k ter Ordnung.
Das ist offensichtlich.

y(k)=(1-cos(2^n*arccos(1-2*y(0))))/2
ist exakt ein Polynom 2^k ter Ordnung. (keine Naeherung, abgebrochen Potenzreihe)
Aber nur fuer die speziellen veketteten p(4,k) Polynome

Das ist unglaublich

[richy]

Ich will es einfach nicht glauben.
Daher habe ich mal folgenden Ausdruck in der Iteration nachgeprueft :

arccos(1-2*y(k+1))
---------------------------- = gagga = ????
arccos(1-2*y(k))


Ja, sehr oft liefert der Ausdruck 2 aber nicht immer.

gagga := .02112117989
gagga := 2.000000024
gagga := 1.999999996
gagga := 1.999999999
gagga := 2.000000000
gagga := 2.000000000
gagga := .9903649613
gagga := 1.019457552
gagga := .9618276370
gagga := 1.079374644
gagga := .8529247570
gagga := 1.344872725
gagga := .4871295719
gagga := 2.000000000


Das sieht nicht nach Rechenungenauigkeit aus oder ?

Ich kenne den Nullstellenplan der Verhulstgleichung in der komplexen Ebene recht gut. Es gibt zwar sehr viele reelle Nullstellen fuer r=4. Aber auch einige konkungiert komplexe Nullstellen. Mich hat immer schon gewundert wie Wolfram diese in der doch recht einfachen Form untergebracht hat.
Es gibt nur einen mir bekannten Fall in denen alle Nullstellen reell sind und 2^n fach. Und das ist r=2.

Manno, Stephen Wolfram ist der Erfinder von Mathematika. Eine Art mathematisches Wunderkind.

Aber seine Loesung fuer r=4 kann doch eigentlich nicht stimmen.
Insbesonders zeigt die Simulation dass hier etwas nicht stimmt !
Muss man die Mehrdeutigkeit des arccos noch unterbringen ?
Stimmt seine Loesung mit dieser Ueberlegung dann also doch ?

EDIT:
Die komplexwertigen Nullstellen ergeben sich in der Umkehrabbildung. Man kann diese somit nicht ohne komplexwertige Rechnung beurteilen. In der Simulation sind dies Schnittpunkte die nicht existieren.
Acuscosinus ist eine ungerade Funktion. Letztendlich wird aber der Cosinus darueber gebildet, so dass dies einer Betragsbildung entspricht. Die Betragsbildung behebt den Mangel im Gagga Test.
Siehe DGL versus DZGL
Die Loesung von Wolfram ist korrekt !