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Schulphysik und verwandte Themen Das ideale Forum für Einsteiger. Alles, was man in der Schule mal gelernt, aber nie verstanden hat oder was man nachfragen möchte, ist hier erwünscht. Antworten von "Physik-Cracks" sind natürlich hochwillkommen! |
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#31
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AW: Extremwertproblem
@Hamilton
Den Rechenweg habe ich oben auch angegeben. Die Methode von Lagrange ermoeglich aber solche Aufgaben formell einheitlich zu loesen. Die Schwierigkeit verlagert sich dann auf das Loesen des Gleichungssystems. Aber auch dies laesst sich am Rechner einheitlich loesen. Die Lagange Methode habe ich auch bei folgendem Problem erfolgreich benutzt. Dabei war unter anderem ein numerischer Differenzierer im Frequenzbereich zu entwerfen. Dieser Entwurf enthielt nun aber Eigenschaften, die ihn fuer nichtlineare Differenzenverfahren ungeeignet macht, Er ist nicht Gruppengeschwindigkeitstreu. Diese Eigenschaft erfuellen aber Differenzierer mit einem Entwurf ueber die Taylorreihe. Alledings haben die den Nachteil hoher numerischer Daempfung. Loesung des Problems war ein Entwurf im Frequenzbereich wobei der Entwurf im Zeitbereich ueber die Methode von Lagrange als Nebenbedingung verwendet wurde. Das kann man sich so vorstellen, dass man ueber die Nebenbedingungsgleichungen zunaechst die Dimension des Zahlenraumes erhoeht in dem dann aber im urspruenglichen Bereich nur noch die Gebiete in Frage kommen in denen die Nebenbedingungen erfuellt sind. Die Implementierung am Rechner war dabei lediglich eine erweiterung der Bestimmungsmatrix. Also sehr einfach. Damit besass der Differenzierer nun die positibven Eigenschaften beider Entwurfsverfahren. Er war gruppengeschwindigkeitstreu UND numerisch wenig gedaempft. Dank Lagrange :-) Zitat:
Zitat:
Jetzt ist aber V eine Funktion von r und h. Und damit kannst du diese Gleichung r=f(V(r,h) als Funktion r=g(h) umformen. Kann dir aber schon vorhersagen, dass du dabei ueber recht unschoene Ausdruecke stolpern wirst. Das Ergebnis wird aber auch h=2*r sein. Ge?ndert von richy (04.11.08 um 18:27 Uhr) |
#32
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AW: Extremwertproblem
Bei einem gegebenen Volumen von 1 Liter ergeben sich
h=r=6.8278cm Grüsse, rene [nachträgliche Anmerkung: Hat sich im Nachhinein als falsch erwiesen]
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Realität ist eine Frage der Wahrnehmung Ge?ndert von rene (04.11.08 um 19:29 Uhr) Grund: Hat sich im Nachhinein als falsch erwiesen |
#33
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AW: Extremwertproblem
Schockschwerenot. Es gibt 2 komplexe Lösungen und eine reelle mit r=5.4193cm bei V=1000cm^3.
h wäre dann h=2*r So kann man sich täuschen. Grüsse, rene
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Realität ist eine Frage der Wahrnehmung |
#34
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AW: Extremwertproblem
Hab's mal eben numerisch nachgerechnet.
Dabei ist mir aufgefallen dass der Flächeninhalt von Deckel und Boden zusammen genau der Mantelfläche entspricht. So unschön ist das also gar nicht. Gruß Jogi
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Die Geschichte wiederholt sich, bis wir aus ihr gelernt haben. |
#35
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AW: Extremwertproblem
Zitat:
1) V=h*Pi*r^2 minimiere : 2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h Methode von Lagrange: H(r,h,l1)=2*Pi*r²+2*Pi*r*h + l1*(h*Pi*r^2-c) l1 ist der Lagrange Multipikator. Man erhaelt das Gleichungssystem : 1)dH/dr=4*Pi*r + 2*Pi*h + 2*l1*h*Pi*r=0 2)dH/dh= 2*Pi*r + l1*Pi*r^2=0 3)dH/dl1= h*Pi*r^2-c=0 Den Weg wie man das Gleichungssystem loest hatte ich mir gespart weils so einfach ist : Gleichung 3 braucht man nicht. Kuerzen : 1) 2*r + h + l1*h*r=0 2) 2 + l1*r=0 2) nach l1 aufloesen 2) l1=-2/r in 1) einsetzen 2*r + h - 2*h=0 2*r-h=0 h=2*r **** Ohne Polynome Eleganter und einfacher als mit Lagrange geht es nicht. http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator Man fuegt der zu optimierenden Gleichung die Nebenbedingung lambda*g=0 an. Es lassen sich beliebig viele Nebenbdingungen ueber lambda_k anfuegen. Nun loest man diese neue Oprimierungsaufgabe. Der Lagrangemultiplikator faellt wie man oben gesehen hat bei der Loesung wieder raus. Zitat:
Zitat:
Zitat:
Ge?ndert von richy (04.11.08 um 19:09 Uhr) |
#36
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AW: Extremwertproblem
Is klar.
Bei der Sache mit der Kugel warst du mir zuvorgekommen, ich war grad' dabei, den alten Griechen zu suchen, der den Zusammenhang schon mal erkannt hatte. Gruß Jogi
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Die Geschichte wiederholt sich, bis wir aus ihr gelernt haben. |
#37
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AW: Extremwertproblem
Yep. Hast Du. Allgemein ausgewertet komme ich auf:
r = 1/2*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi als reele Lösung. Dann kommen noch die beiden komplexen -1/4*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi ± 1/4*I*sqrt(3)*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi Grüsse, rene
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Realität ist eine Frage der Wahrnehmung |
#38
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AW: Extremwertproblem
Warum benutzt du nicht die Lagrange Methode, die ich vorgestellt habe ?
Da kann man die Loesung wie du oben siehst fast im Kopf ausrechnen. Einfach Nebenbedingung g=0 ueber lambda*g "hinne drabaebbe". (ankleben :-) Ge?ndert von richy (04.11.08 um 19:13 Uhr) |
#39
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AW: Extremwertproblem
Zitat:
Naja, nun hab ich es auch mit Lagrange berechnet und das gleiche Ergebnis rausbekommen, also h=2*r. Also wieder was dazu gelernt. |
#40
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AW: Extremwertproblem
Zitat:
Grüsse, rene
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