Extremwertproblem

[richy]

@Hamilton

Den Rechenweg habe ich oben auch angegeben.
Die Methode von Lagrange ermoeglich aber solche Aufgaben formell einheitlich zu loesen. Die Schwierigkeit verlagert sich dann auf das Loesen des Gleichungssystems. Aber auch dies laesst sich am Rechner einheitlich loesen.

Die Lagange Methode habe ich auch bei folgendem Problem erfolgreich benutzt.
Dabei war unter anderem ein numerischer Differenzierer im Frequenzbereich zu entwerfen. Dieser Entwurf enthielt nun aber Eigenschaften, die ihn fuer nichtlineare Differenzenverfahren ungeeignet macht, Er ist nicht Gruppengeschwindigkeitstreu. Diese Eigenschaft erfuellen aber Differenzierer mit einem Entwurf ueber die Taylorreihe. Alledings haben die den Nachteil hoher numerischer Daempfung.
Loesung des Problems war ein Entwurf im Frequenzbereich wobei der Entwurf im Zeitbereich ueber die Methode von Lagrange als Nebenbedingung verwendet wurde. Das kann man sich so vorstellen, dass man ueber die Nebenbedingungsgleichungen zunaechst die Dimension des Zahlenraumes erhoeht in dem dann aber im urspruenglichen Bereich nur noch die Gebiete in Frage kommen in denen die Nebenbedingungen erfuellt sind.
Die Implementierung am Rechner war dabei lediglich eine erweiterung der Bestimmungsmatrix.
Also sehr einfach.

Damit besass der Differenzierer nun die positibven Eigenschaften beider Entwurfsverfahren. Er war gruppengeschwindigkeitstreu UND numerisch wenig gedaempft.
Dank Lagrange :-)

r = (V/pi)^(1/3) erhalten, also die dritte Wurzel aus V/pi

r = ³√ V / (2π) und ein hässlicher Ausdruch für h, den man durch h=V/(πr²) bekommt.

Das erhaelt man bei der Methode ohne Lagrange.
Jetzt ist aber V eine Funktion von r und h. Und damit kannst du diese Gleichung r=f(V(r,h) als Funktion r=g(h) umformen.
Kann dir aber schon vorhersagen, dass du dabei ueber recht unschoene Ausdruecke stolpern wirst.
Das Ergebnis wird aber auch h=2*r sein.

[rene]

Bei einem gegebenen Volumen von 1 Liter ergeben sich

h=r=6.8278cm

Grüsse, rene

[nachträgliche Anmerkung: Hat sich im Nachhinein als falsch erwiesen]

[rene]

Schockschwerenot. Es gibt 2 komplexe Lösungen und eine reelle mit r=5.4193cm bei V=1000cm^3.

h wäre dann h=2*r

So kann man sich täuschen.

Grüsse, rene

[Jogi]

Zitat von rene

Bei einem gegebenen Volumen von 1 Liter ergeben sich

h=r=6.8278cm

Hab's mal eben numerisch nachgerechnet.

Dabei ist mir aufgefallen dass der Flächeninhalt von Deckel und Boden zusammen genau der Mantelfläche entspricht.

So unschön ist das also gar nicht.


Gruß Jogi

[richy]

Oh, na sowas, plötzlich steht die richtige Lösung schon da-

NB:
1) V=h*Pi*r^2
minimiere :
2) A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
Methode von Lagrange:
H(r,h,l1)=2*Pi*r²+2*Pi*r*h + l1*(h*Pi*r^2-c)
l1 ist der Lagrange Multipikator.

Man erhaelt das Gleichungssystem :
1)dH/dr=4*Pi*r + 2*Pi*h + 2*l1*h*Pi*r=0
2)dH/dh= 2*Pi*r + l1*Pi*r^2=0
3)dH/dl1= h*Pi*r^2-c=0

Den Weg wie man das Gleichungssystem loest hatte ich mir gespart weils so einfach ist :

Gleichung 3 braucht man nicht.

Kuerzen :
1) 2*r + h + l1*h*r=0
2) 2 + l1*r=0

2) nach l1 aufloesen
2) l1=-2/r

in 1) einsetzen
2*r + h - 2*h=0
2*r-h=0
h=2*r
****

Ohne Polynome
Eleganter und einfacher als mit Lagrange geht es nicht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator


Man fuegt der zu optimierenden Gleichung die Nebenbedingung lambda*g=0 an.
Es lassen sich beliebig viele Nebenbdingungen ueber lambda_k anfuegen.
Nun loest man diese neue Oprimierungsaufgabe.

Der Lagrangemultiplikator faellt wie man oben gesehen hat bei der Loesung wieder raus.

Merke: Man kann nicht das Volumen optimieren und gleichzeitig die Fläche minimieren.

Wer tut denn so was ? *fg

Maximales Volumen bei minimaler Oberflaeche geht ja gar nicht !
Ich habe das falsch gelesen. Das Volumen ist die Nebenbedingung !

Schockschwerenot. Es gibt 2 komplexe Lösungen und eine reelle mit r=5.4193cm bei V=1000cm^3.

Ich habe dir bei der Methode unschoene Ausdruecke vorhergesagt :-)

[Jogi]

Zitat von EMI

War zu erwarten. Kugelnähe halt.

Is klar.

Bei der Sache mit der Kugel warst du mir zuvorgekommen, ich war grad' dabei, den alten Griechen zu suchen, der den Zusammenhang schon mal erkannt hatte.


Gruß Jogi

[rene]

Zitat von richy

Ich habe dir bei der Methode unschoene Ausdruecke vorhergesagt :-)

Yep. Hast Du. Allgemein ausgewertet komme ich auf:

r = 1/2*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi als reele Lösung. Dann kommen noch die beiden komplexen

-1/4*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi ± 1/4*I*sqrt(3)*4^(1/3)*(V*Pi^2)^(1/3)/Pi

Grüsse, rene

[richy]

Warum benutzt du nicht die Lagrange Methode, die ich vorgestellt habe ?
Da kann man die Loesung wie du oben siehst fast im Kopf ausrechnen.
Einfach Nebenbedingung g=0 ueber lambda*g "hinne drabaebbe". (ankleben :-)

[Sino]

Zitat von richy

Warum benutzt du nicht die Lagrange Methode, die ich vorgestellt habe ?
Da kann man die Loesung wie du oben siehst fast im Kopf ausrechnen.
Einfach Nebenbedingung g=0 ueber lambda*g "hinne drabaebbe". (ankleben :-)

Hmm, das komische ist, dass ich die Aufgabe irgendwie sofort wiedererkannt habe, aber mich kein Stück daran erinnern kann, das jemals so gerechnet zu haben. (Hab's vielleicht früher falsch gemacht. )
Naja, nun hab ich es auch mit Lagrange berechnet und das gleiche Ergebnis rausbekommen, also h=2*r. Also wieder was dazu gelernt.

[rene]

Zitat von richy

Warum benutzt du nicht die Lagrange Methode, die ich vorgestellt habe ?
Da kann man die Loesung wie du oben siehst fast im Kopf ausrechnen.
Einfach Nebenbedingung g=0 ueber lambda*g "hinne drabaebbe". (ankleben :-)

Stimmt. Das Verhältnis zwischen r und h lässt sich damit beinahe spielerisch bestimmen mit h=2*r. Aber ich will ja schliesslich auch noch ihre Beträge rausbekommen, also eine Funktion f'(r) mit einer minimierender Variable r, und wenn ich die habe, kann ich auch noch h bestimmen.

Grüsse, rene