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  #11  
Alt 13.11.11, 13:03
Benutzerbild von JoAx
JoAx JoAx ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 05.03.2009
Beitr?ge: 4.324
Standard AW: "Crashkurs" Topologie

Zitat:
Zitat von eigenvector Beitrag anzeigen
Ja, dann macht das auf jeden Fall mehr Sinn.
Man muss aber immer aufpassen, als Teilmenge welchen Topologischen Raums man so eine Teilmenge denn betrachtet.
Alles klar! Danke!


Gruß, Johann
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  #12  
Alt 13.11.11, 13:17
Benutzerbild von JoAx
JoAx JoAx ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 05.03.2009
Beitr?ge: 4.324
Standard AW: "Crashkurs" Topologie

Hallo SCR!

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen

(Quelle: wikipedia; Bereich 1 nicht abgebildet)

-> Vom topologischen Standpunkt aus betrachtet müsste das Flamm'sche Paraboloid nergativ gekrümmt sein.
Kannst du mir bitte erklären, wo/wann es bei der Topologie (nicht Geometrie) überhaupt um Krümmungen geht?

Bei der ART geht es doch ausschließlich um Geometrie, oder nicht? Das ganze Universum oder auch nur begrenzte bereiche davon werden geometrisch, und nicht topologisch behandelt. (?)

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Innere Schwarzschildlösung:
Die innere Schwarzschildlösung beschreibt eine Sphäre

-> Vom topologischen Standpunkt aus betrachtet müsste die innere Schwarzschildlösung positiv gekrümmt sein.
Auch hier - ...

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Wie seht Ihr das?
Meine Einschätzung sollte klar geworden sein. Oder?

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Anmerkung: Die "äußere flache Minkowski-Metrik" findet man nur im Modell und nicht in der Realität.
Das ist völlig überflüssig. Die Minkowski-Metrik im Unendlichen ist eine Randbedingung. Unter anderem auch diese macht es überhaupt möglich irgendeine Lösung zu finden.


Gruß, Johann
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  #13  
Alt 13.11.11, 21:32
SCR SCR ist offline
Gesperrt
 
Registriert seit: 21.05.2009
Beitr?ge: 3.061
Standard AW: "Crashkurs" Topologie

Hallo JoAx,
Zitat:
Zitat von JoAx Beitrag anzeigen
Kannst du mir bitte erklären, wo/wann es bei der Topologie (nicht Geometrie) überhaupt um Krümmungen geht?
Die äußere Gestalt eines Körpers/Raums (= Topologie) erlaubt Dir globale Aussagen über die inneren Krümmungen (= Geometrie) des Körpers/Raums.
Exemplarisch aus
Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Um einen ersten groben Überblick zu gewinnen, mit was sich die Topologie beschäftigt (und auf welcher Basis), kann ich diesen IMHO hervorragenden Artikel nur wärmstens empfehlen: Die Lösung eines Jahrhundertproblems; Spektrum der Wissenschaft; 11/2004


Zitat:
Zitat von JoAx Beitrag anzeigen
Bei der ART geht es doch ausschließlich um Geometrie, oder nicht? Das ganze Universum oder auch nur begrenzte bereiche davon werden geometrisch, und nicht topologisch behandelt. (?)
Was hast Du denn eigentlich gegen die Topologie / Warum willst Du sie unbedingt von der Geometrie abgrenzen? Verstehe ich nicht ganz.

Zitat:
Zitat von JoAx Beitrag anzeigen
Das ist völlig überflüssig. Die Minkowski-Metrik im Unendlichen ist eine Randbedingung. Unter anderem auch diese macht es überhaupt möglich irgendeine Lösung zu finden.
Zitat:
Zitat von Pathfinder
Und mit diesem "topologischen Grundwissen" schaue ich mir jetzt einmal die Schwarzschildlösung "von außen" an. Da erkenne ich sofort zwei "Krümmungsprobleme": Eines im Zentrum, eines außenherum.

Die äußere Lösung weist "im Zentrum" durch die Singularität ein Loch in der Mannigfaltigkeit auf -> Ein Loch von außen betrachtet bedeutet stets, dass negative äußere wie auch innere Krümmungen vorliegen (k<0).

Alle Schwarzschildlösungen weisen außen das Problem ihrer Offenheit auf: "Die Schwarzschildmetrik geht asymptotisch nach außen hin in die Minowskimetrik über". Das entspricht ja nun keinesfalls der Realität: In einem Universum bestehend aus nur einer Zentralmasse werden wir keinen Ort finden, an welchem nicht die Gravitation derselben Auswirkung zeigen würde -> Die Schwarzschildlösung eignet sich deshalb auch nicht als kosmologisches Modell sondern nur als lokal anwendbare Lösung.

Nun kann ich das "innere Krümmungsproblem" (es handelt sich lediglich um eine Koordinatensingularität) dadurch beheben, dass ich die äußere um die innere zur vollständigen Schwarzschildlösung ergänze.
Topologisch betrachtet "verschwindet dadurch das Loch" und damit auch die äußeren wie auch die inneren (diese in Summe: negative und positive innere Krümmungen heben sich gegenseitig auf) Krümmungen der Mannigfaltigkeit -> k=0 bei Zugrundelegung der vollständigen Schwarzschildlösung.

Um das "äußere Krümmungsproblem" zu beheben bringe ich die Mannigfaltigkeit "mit sich selbst zum Abschluß" -> Ich "nehme die Schere" und ergänze außen positive Krümmungen (Siehe den gebastelten Globus von oben) bis eine geschlossene Mannigfaltigkeit vorliegt (~ "Jetzt wirkt die Gravitation überall" weil jetzt überall innere Krümmungen vorliegen).

Ergebnis:
Diese "modifizierte" vollständige Schwarzschildlösung würde nun auch die "eigentlich korrekte" Schnittkrümmung aufweisen: k>0.
Denn jetzt haben wir nur noch einen Batzen Knet vor uns liegen - Und der ist positiv gekrümmt. Von außen als auch von innen betrachtet.

So ungefähr verstehe ich "topologische Physik".
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