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Theorien jenseits der Standardphysik Sie haben Ihre eigene physikalische Theorie entwickelt? Oder Sie kritisieren bestehende Standardtheorien? Dann sind Sie hier richtig.

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  #1  
Alt 20.12.09, 21:21
Benutzerbild von Helix
Helix Helix ist offline
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Standard Benford

worauf beruht das benfordsche gesetz

warum funktieoniet es

und wer kann mir mit elementarer mathemathik die herleitung aufschreiben
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  #2  
Alt 20.12.09, 22:21
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Benford

Hi Helix
Das Benfordsche Gesetz ist eine Erweiterung des Zipfschen Gesetztes auf Ziffern. Es ist in dem Sinne erweitert, dass es alle Positionen der Ziffern beschreiben kann. Fuer die erste Ziffer geht das Benfordsche Gesetz ueber in das Zipfsche Gesetz.
Das waere schonmal ein Stichwort fuer dich. Fuer das Benfordsche Gesetz gibt es bei Wiki einige Begruendungen wie :
Zitat:
Das Benfordsche Gesetz gilt insbesondere für Zahlenmaterial, das natürlichen Wachstumsprozessen unterliegt. Dann nämlich verändern sich die Zahlen im Laufe der Zeit und verzehnfachen sich. Die erste Position der Mantisse verharrt für ca. 30% der Zeit auf der 1, 18% der Zeit auf der 2 usw: Das entspricht der logarithmischen Verteilung, die das benfordsche Gesetz vorhersagt und ist unabhängig von der Zeit in der eine Verzehnfachung erfolgt. Dann beginnt der Zyklus von Neuem bei der 1. Bei einer Momentaufnahme der Preise eines Supermarktes wird man genau diese Verteilung finden, egal wann die Erhebung durchgeführt wird.
Da sich 99 Cent Ware besser verkauft als 1 EUR Ware wird die 9 das Ergebnis verzerren.
(Logarithmische Verteilung weil Integral(1/x)=ln(x))
Ansonsten alles klar ? Natuerlich nicht. Das ist keine Begruendung sondern eine Beschreibung, die einem sogar zu einer viel zu einfachen und falschen Vorstellung verleitet. Betrachtet man die Anfangsziffern der natuerlichen Zahlen. Sind die Zipf verteilt ? Nein, die sind gleichverteilt. Unser Dezimalsystem ist zwar bezueglich der Ziffernzahl logarithmisch aufgebaut, aber das erklaert noch lange nicht das Benfordsche Gesetz. Dennoch ist die Beschreibung bei Wiki richtig. Wo liegt der Haken ? In der beilaeufigen Bemerkung
"... für Zahlenmaterial, das natürlichen Wachstumsprozessen unterliegt."
So sind in der Tat die Anfangsziffern der Fibonaccizahlen zipfverteilt. Aber warum ? Ich meine fast dafuer gibt es keine wirklich einfache Erklaerung. Und warum entwickeln sich Supermarktpreise wie Fibonaccizahlen ? Die Preise falllen auch mal. Ganz so einfach ist der Sachverhalt somit nicht. Es muss sowohl die Codierung (Zahlensystem) betrachtet werden als auch die Zahlenfolge, Information, die damit codiert wird.
Die Folge der logistischen Gleichung ist zwar eine Wachstumsfunktion, aber keine monoton wachsende Funktion. Dennoch gibt es Bereiche in denen die Zahlenwerte (nicht die Ziffern) zipfverteilt sind.

Dazu eine ganz allgemeine Betrachtung, die sich nicht nur auf Zahlensysteme beschraenkt..
Das Zipfsche Gesetzt laesst sich nicht bei allen Systemen anwenden. Eine Frage waere somit welche Voraussetzungen muss das System erfuellen, dass es eine solche Verteilung aufweist ?
Meine Antwort waere, dass es sich dabei um eine entwickelnde Kodierung handeln muss. Bei unserer Sprache bedeutet "entwickelnd", dass wir diese erlernen. Und ebenso, dass sich die menschlichen Sprachen entwickelt haben. Ich gehe sogar soweit, dass Verteilugsfunktionen als Maß einer Information verwendet werden kann. Falls es solch eine Information gibt :-)
Ein Kanal + optimale Codierung weist dann fuer spezielle Informationen eine Zipf Verteilung auf. Bei Musikstuecken wurden dazu numerische Experimente durchgefuehrt, die dies bestaetigen. Dass unsere Sprache eine Information uebertraegt duerfte selbstverstaendlich sein.

Eine weitere allgemeine Erklaerungsmoeglicheit bietet sich ueber das Phaenomen des rosa 1/f Rauschens. Nur muss man beachten, dass hier die Groessen Frequenz f und Wahrscheinlichkeit p keine direkten Analogien sind. Eine Analogie die mir sinnvoll scheint waere es die Leistungsichte eine 1/f Prozesses mit dem Aufwand eines 1/k Prozesses zu interpretieren. Unser Zahlensystem ist somit eine Darstellung mit moeglichst geringem Aufwand bezueglich der Anzahl der Ziffern.
Fuer Prozesse mit 1/f Rauschen existieren nun einige theoretische Modelle. Aber letztendlich kann man selbst hier keine gesicherten Aussagen treffen.
1/f Spektren treten auf, wenn ueber einen sehr breitbandigen Kanal moeglichst effizientl Information uebertragen werden soll. Ein konstantes Spektrum waere hier unphysikalisch und scheidet aus. Charakteristisches Kennzeichen des 1/f Spektrums ist, dass in einem festen f Intervall. z.B Oktav die Leistung konstant ist. Das gilt wegen. Integral 1/x = ln(x)
Das Benfordsche Gesetz ist auch als 80/20 Prinzip bekannt. Dazu habe ich hier einige numerische Versuche durchgefuehrt. Das 80/20 Prinzip ist abhaengig von der Anzahl der Klassen. Das sollte man beachten.
Zipf in der logistischen Gleichung , Musik, Fibonaccifolge ... :
http://www.quanten.de/forum/showthre...ght=Zipfelsinn
Funkelrauschen, Einfluss Klassengroesse bei Benford :
http://www.quanten.de/forum/showthre...ght=Zipfelsinn
http://books.google.de/books?id=sB_e...ektrum&f=false

Stichworte waeren :
Zipfsches Gesetz
80/20 Verteilung
Pareto Verteilung

Als Analogie :
Rosa Rauschen
Funkelrauschen=Rotes Rauschen
Form von Lawinen, Sandhaufen ...

Gruesse

Ge?ndert von richy (21.12.09 um 07:28 Uhr)
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  #3  
Alt 20.12.09, 22:40
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
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Beitr?ge: 4.170
Standard AW: Benford

Besonders verblueffend ist uebrigends, dass die Zahlwoerter selbst in der (deutschen) Sprache etwa eine Benford Rangfolge aufweisen.
Die Reihenfolge der Haeufigkeit ist eins, zwei, drei, vier, fuenf, sechs ... Das ist kein Zufalll, Zahlenmystik.
Benfordsches und Zipf Gesetz in einem !
Lediglich das Wort "acht" ist eine Ausnahme.
Warum "Jenseits der Standardphysik"? Das 80/20 Prinzip ist ein anerkanntes Prinzip im Wirtschaftswesen. Finanzpruefer spueren ueber Benford gefaelschte Bilanzen auf. Das funktioniert, weil echte Bilanzen nicht von einem Zufallsprozess stammen.
Und 1/f-Spektren gehoeren zur Standardphysik. Man kann sie nur noch nicht genau erklaeren.
Schlussfolgerungen wie sie "Global Scaling " trifft sind Esoterik.

Ge?ndert von richy (20.12.09 um 23:54 Uhr)
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