Berechnung von Raumzeitkrümmung??

[The_Theorist]

Hallo,
ich wollte fragen, wie ich mit der ART und Einsteins Feldgleichung in der Lage bin, zu berechnen, wie stark beispielsweise ein Stern die Raumzeit krümmt? Möglich müsste es sein. Und noch meine andere Frage, was ein Tensor ganz simpel überhaupt ist. Wikipedia schreibt das ein wenig zu kompliziert.
Gruß

[TomS]

Die Berechnung ist aufwändig, am im Prinzip einfach.

Man benutzt die Metrik (= die Lösung der Einstein-Gleichungen) um daraus den Krümmungstensor zu berechnen. Da es sich um die Krümung der vierdimensionalen Raumzeit handelt, gibt es nicht "die" Krümmung; dieser Tensor fasst vielmehr deren Komponenten zusammen.

Nun kann man ein paar einfachere geometrische Objekte ableiten, die evtl. besser vorstellbar sind, allerdings nicht mehr die vollständige Information tragen, nämlich den Ricci-Tensor sowie diverse Krümmungsskalare (nach Ricci, Kretschmann).

Im Falle der Schwarzschildmetrik im Außenraum eines Sterns oder eines schwarzen Lochs liegt eine Vakuumlösung (verschwindende Energie-Impuls-Druck-Dichte) vor. Für eine Vakuumlösung sind Ricci-Tensor und Ricci-Skalar exakt Null. Der Kretschmann-Skalar weist jedoch auf eine nicht-verschwindende Krümmung hin; sein Wert ist ~ 1/r^6, d.h. er fällt mit wachsendem Abstand vom Zentrum sehr schnell ab. Im Falle einer Vakuumlösung entspricht der Kretschmann-Skalar direkt der sogenannten Weyl-Krümmung.

Über eine anschauliche Interpretation muss ich mir noch Gedanken machen.

[Timm]

Eine gängige Veranschaulichung bietet die "Staubkugel", wie hier beschrieben. Gleichung (2) zeigt die Rate V../V mit der das Volumen der Kugel unter dem Einfluß der Raumzeitkrümmung expandiert, bzw. schrumpft. Dabei ist V../V proportional zu Energiedichte + Druck, im isotropen Fall der FRW Raumzeit zu (rho + 3P). Ich halte diese einfache Darstellung (auf die 'Ich' mehrfach hingewiesen hat) der Einstein'schen Feldgleichungen für sehr lehrreich.

Wenn die Raumzeit von einer zentralen Masse gekrümmt wird (Schwarzschild), verformt sich die Kugel zu einem Ellipsoid, wobei das Volumen erhalten bleibt.

[TomS]

Zitat von Timm

Wenn die Raumzeit von einer zentralen Masse gekrümmt wird (Schwarzschild), verformt sich die Kugel zu einem Ellipsoid, wobei das Volumen erhalten bleibt.

Gut.

Aber was bedeutet Weyl-Krümmung an einem Ort ohne Betrachtung einer Bewegung in der Zeit?

[Timm]

Zitat von TomS

Aber was bedeutet Weyl-Krümmung an einem Ort ohne Betrachtung einer Bewegung in der Zeit?

Soweit ich das verstanden habe, enthält der Wey-Tensor die Information über die Verformung der Kugel zum Ellipsoid. Die Kugel befindet sich im freien Fall, sodaß die Verformung als Funktion der Zeit zunimmt. Den Ricci-Tensor muß man nicht berücksichtigen, weil der im Vakuum verschwindet. Deshalb ist das Volumen zeitlich konstant.

[Marco Polo]

Zitat von TomS

Die Berechnung ist aufwändig, am im Prinzip einfach.

Einfach? Das fällt mir schwer zu glauben.

[TomS]

Zitat von Timm

Soweit ich das verstanden habe, enthält der Wey-Tensor die Information über die Verformung der Kugel zum Ellipsoid. Die Kugel befindet sich im freien Fall, sodaß die Verformung als Funktion der Zeit zunimmt. Den Ricci-Tensor muß man nicht berücksichtigen, weil der im Vakuum verschwindet. Deshalb ist das Volumen zeitlich konstant.

Ja, das ist schon richtig.

Alles was ich sagen wollte ist, dass ich eine Veranschaulichung suche, die ohne die zeitliche Betrachtung auskommt.

[TomS]

Zitat von Marco Polo

Einfach? Das fällt mir schwer zu glauben.

Doch. Sobald die Metrik gegeben ist, folgt der Krümmungstensor aus diversen Ableitungen. Es ist zumeist eine relativ langwierige, aber prinzipiell nicht schwierige Rechnung.

Das Lösen der Feldgleichungen ist deutlich schwieriger.

[Timm]

Zitat von TomS

Alles was ich sagen wollte ist, dass ich eine Veranschaulichung suche, die ohne die zeitliche Betrachtung auskommt.

Hmm, eine Veranschaulichung der Krümmung der Raumzeit ohne zeitliche Betrachtung? Da bin ich skeptisch, denn das wäre die Krümmung des Raums.

Für mich ist die einfachste Veranschaulichung immer noch der zeitliche Verlauf des Abstands benachbarter Geodäten. Man malt die beiden Linien, fertig. Das funktioniert in der Schwarzschild-, wie auch in der FRW-Raumzeit. Für eine etwas umfassendere Betrachtung würde ich allerdings die Kugel (s. der Artikel von Baez) bevorzugen.

[TomS]

Zitat von Timm

Hmm, eine Veranschaulichung der Krümmung der Raumzeit ohne zeitliche Betrachtung? Da bin ich skeptisch, denn das wäre die Krümmung des Raums.

Es gibt schon Methoden, das rein geometrisch und ohne dynamische Überlegungen zu definieren.

Man beginnt mit einer Zusammenhangsform auf einer Mannigfaltigkeit sowie dem Paralleltransport eines Vektors entlang einer (beliebigen) geschlossenen Kurve.

https://en.wikipedia.org/wiki/Parall..._Transport.svg

Dass die Parallelerschiebung entlang ABNA am Punkt A den Winkel alpha generiert, ist ein Ausdruck der nicht-trivialen Geometrie. Diese ist in der Zusammenhangsform ω kodiert (die fundamentaler ist als die Krümmung). Aus der 1-Form ω folgt die 2-Form

Ω = Dω = dω + ω ∧ ω

Diese 2-Form Ω entspricht nun im wesentlichen dem Riemannschen Krümmungstensor R. Man kann R auch direkt mittels D darstellen.

(leider ist das nicht besonders anschaulich)