Wohin krümmt sich die Raumzeit?

[Hermes]

Ich glieder das hier mal aus, weil der Zeitthread eh schon im Chaos steckt... :

Zitat von Hermes

In welche Richtung krümmt sich denn die Raumzeit, wenn es 'insgesamt' nur 4 Dimensionen geben sollte?

Zitat von EMI

Hallo Hermes,

man geht davon aus das die Raumzeit nicht in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist. Somit hat die Raumzeit nur eine innere, aber keine äußere Krümmung.

Ich habe mir dazu den wiki-Eintrag angesehen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Raumkr%..._Kr.C3.BCmmung

Ja, dort steht, daß man "im Allgemeinen" nicht von einer Einbettung der Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum ausgeht.

Das steht unter der Rubrik "Praktische Anwendung", und ich habe das Gefühl, daß es sich hier um einen Denkfehler handel(t)n (könnte).

Wenn man sagt, es gibt keine äußere Krümmung der Raumzeit, dann zunächst die Definition der inneren Krümmung:

Zitat von wiki

Die innere Krümmung lässt sich anhand der Geometrie im gekrümmten Raum selbst feststellen. Beispielsweise können Dreiecke auf der Kugeloberfläche eine Innenwinkelsumme von mehr als 180 Grad (bis zu 540 Grad) haben, im Gegensatz zu ebenen Dreiecken mit einer konstanten Winkelsumme von 180 Grad. Die innere Krümmung kann positiv sein (wie auf einer Kugel) oder negativ (wie der Kühlturm eines AKWs). In einem negativ gekrümmten Raum ist die Innenwinkelsumme weniger als 180 Grad.

In diesem um eine Dimension gekürzten aber analogen Beispiel befindet sich das gekrümmte Objekt (das Dreieck) eingebettet auf der Oberfläche der Kugel. Selbst für sich allein gesehen besitzt es durch die Krümmung eine weitere Dimension.

Oder ist mit Krümmung vielleicht eher sowas wie eine Dehnung gemeint?! Dann wäre aber das wiki-Beispiel für innere Krümmung nicht korrekt.

[zeitgenosse]

Hermes:
Ja, dort steht, daß man "im Allgemeinen" nicht von einer Einbettung der Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum ausgeht.

Gemäss dem 'Theorema egregium' (Gauss'sche Flächentheorie) ist es so, dass die Eigenschaft einer gekrümmten Fläche - bzw. deren "innere Krümmung" - nicht vom umgebenden 3-Raum abhängig ist.

Hermes:
In diesem um eine Dimension gekürzten aber analogen Beispiel befindet sich das gekrümmte Objekt (das Dreieck) eingebettet auf der Oberfläche der Kugel. Selbst für sich allein gesehen besitzt es durch die Krümmung eine weitere Dimension.

Das Dreieck selbst ist noch immer eine kompakte Fläche in Dimension 2, befindet es sich doch nach wie vor auf der Kugeloberfläche. Es ist jedoch in den 3-Raum der Kugel eingebettet.

Zum Wiki-Eintrag:

Hawking geht von einem 4-dimensionalen Raum (zusammen mit der Zeit sogar 5-dimensional) aus. Als astronomische Beobachter befinden wir uns auf dessen 3-Sphäre. In diesem Sinne ist diese Sphäre in den 4-Raum einer Hyperkugel eingebettet. Das Standardmodell der Kosmologie kennt aber in der Tat nur 3 räumliche Dimensionen.

Gr. zg

[Hermes]

Habe mir den wiki zu "'Theorema egregium' (Gauss'sche Flächentheorie)" angeschaut.

http://de.wikipedia.org/wiki/Theorema_egregium

Ein Verfahren das dazu angewendet werden kann, die inneren Krümmungseigenschaften des Raums zu berechnen, wenn ich es richtig verstanden habe.

Wenn die Eigenschaften der gekrümmten Fläche nicht vom umgebenden 3-Raum abhängig sind, impliziert das, daß es überhaupt einen gibt!
Das meine ich ja eigentlich.

Eine gekrümmte Raumzeit impliziert eine weitere Dimension, in die sie sich krümmen kann. Ob diese sich vielleicht selbst erst aus der Krümmung ergibt oder Voraussetzung ist wäre eine andere Frage...

Ich denke, diese Frage müßte man doch eigentlich eindeutig mathematisch beantworten können?!
Kann ein n-dimensionales Objekt gekrümmt sein ohne daß dies einen n+1-dimensionalen Raum voraussetzt indem diese stattfindet?

Andererseits hat es mich auch überrascht, daß das mathematisch imaginäre Vorzeichen der Zeit sich nicht zwingend ergibt sondern eher so festgelegt ist..

[Uranor]

Zitat von Hermes

Andererseits hat es mich auch überrascht, daß das mathematisch imaginäre Vorzeichen der Zeit sich nicht zwingend ergibt sondern eher so festgelegt ist..

salve,

aus Sicht des Formalismus sind alle Vorhersagen gleichwertig. Die Vorhersagesituatio selbst sagt, dass sie keine Beschreibung der Wirklichkeit sondern eben Vorhersage ist. Das meint, der Köllner Dom existiert nicht und nirgends in der Zustandssituation von vor 200 Jahre. Er existiert ausschließlich in der aktuellen Mess-Situation. Alle anderen seiner zeilichen Darstellungen sind imaginär.

Gruß Uranor

[zeitgenosse]

Zitat von Hermes

Kann ein n-dimensionales Objekt gekrümmt sein ohne daß dies einen n+1-dimensionalen Raum voraussetzt indem diese stattfindet?

Eine n-Mannigfaltigkeit mit Krümmung, z.B. die Pseudosphäre von Beltrami, kann selbstverständlich nur in einem Raum mit Dimension (n+1) existieren. Gleiches gilt für einen nichtorientierbaren Raum wie das Möbius'sche Band (Flächen sind in topologischer Hinsicht auch Räume). Ob dieser übergeordnete Raum euklidisch oder nichteuklidisch ist, geht aus der gekrümmten Fläche allein noch nicht unmittelbar hervor.

Adäquates gilt für die 2-Sphäre (Kugeloberfläche). Ihre Existenz setzt voraus, dass a) ein 3-Raum existiert und b) eine Kugel vorhanden ist, in welche die Sphäre eingebettet ist. Die Kugel selbst kann in einer 3-Mannigfaltigkeit schweben, die euklidisch ist. Allerdings gilt, dass jede einfach zusammenhängende und kompakte 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist (siehe dazu die Poincaré-Vermutung).

Gr. zg

[richy]

Hi Zeitgenosse

Eine n-Mannigfaltigkeit mit Krümmung, z.B. die Pseudosphäre von Beltrami, kann selbstverständlich nur in einem Raum mit Dimension (n+1) existieren.

Bist du dir da sicher ?
Ich nehme eine Salmi. Das ist ein 3 D Objekt.
Jetzt mache ich eine Ringsalami daraus. Die ist gekruemmt aber immer noch ein 3 D und kein 4 D Objekt.
Ich kann natuerlich auch diesen Fall betrachten :
Ein glattes Blatt Papier. Das soll 2 dimensional sein. Und das kann ich in die dritte Dimension kruemmen.
Z.B einen Trichter daraus formen.
Ist mir bei der Salami ein Denkfehler unterlaufen ?

[Sino]

Glaub, hier wird der n-dimensionale gekrümmte Raum mit seiner Visualisierung als Objekt in einem n+1-dimensionalen euklidischen Raum verwechselt.
Das scheint mir dann etwa so wie die Frage: "Wenn dieses Universum endlich und geschlossen ist, was ist ausserhalb" ?

Hmm, aber was ist, wenn das Universum im grossen Massstab gleichmässig negativ gekrümmt ist ? Ich glaub, da scheitert die Vorstellung dann eh. Wie gesagt, für mich scheint das Problem zu sein, dass man sich etwas zu visualisieren versucht und dann fragt: "Was ist ausserhalb ?"

Dabei legt die Geometrie nur innerhalb des Raums die Gleichungen fest, mit denen man Abstände und Winkel etc. zu messen hat. Ob das Ding ein Objekt ist, das in etwas Höherdimensionales real Existierendes eingebettet ist, oder nicht, ist erstmal egal.

[Lambert]

vielleicht sollte man sich erst mal mit der Galaxy beschäftigen, bis man diese verstanden hat?

Gruß,
Lambert

PS. eine Theorie am Ende ihrer Existenz mystifiziert gerne. Was sonst bleibt ihr übrig?

[Uranor]

Zitat von Sino

Dabei legt die Geometrie nur innerhalb des Raums die Gleichungen fest, mit denen man Abstände und Winkel etc. zu messen hat. Ob das Ding ein Objekt ist, das in etwas Höherdimensionales real Existierendes eingebettet ist, oder nicht, ist erstmal egal.

So ähnlich versuche ich das auch zu verstehen. Das Ergebnis wäre ein Ersatzschaltbild. Darin folgt nun ein Objekt seinem Impuls. Sein Intervall kann es nicht verlängern. Denn dazu wäre ja Energieaufwand nötig. Im Intervall gleich bleiben geht OK. Bevorzugt muss aber der energiegünstigste Weg werden. Der Weg führt also unweigerlich über längstmögliche Eigenzeit. Der Weg verläuft krumm.

Ergo, die Krümmung ist nicht. Das meint, sie ist nicht höherdimensional. Die Krümmung basiert auf dem via Impulsnutzung unvermeidbar energiegünstigst gewählten Weg im 3D-Raum.

Da die Dynamik nicht ist sondern stattfindet, stellt die senkrecht auch X,Y,Z stehende Zeitdimension keine Raumdimension sondern eine Zustandsdimension dar. Die zeigt sich in der Natur genau so real wie die Raumdimensionen. Sie hat aber lediglich die Aufgabe, Dynamik zu ermöglichen, sonst nix.

Im Endeffekt ist Raumkrümmung winfach nur Trägheitsfolge im 3+1D.

Gruß Uranor

[Jogi]

Sorry, wenn ich hier mal dazwischenquake.

Zitat von richy

Ich nehme eine Salmi. Das ist ein 3 D Objekt.

Yep.
Und zwar ein statisches.

Jetzt mache ich eine Ringsalami daraus. Die ist gekruemmt aber immer noch ein 3 D und kein 4 D Objekt.

Klar.
Immer noch statisch.

Jetzt lass eine Bewegung (meinetwegen eine Rotation) hinzukommen, dann hast du ein 4D-Ereignis.

Dann noch eine linearbewegung entlang der Rotationsachse, schon sind's 5 Dimensionen.

Wenn die Salami sich dabei noch aufbläht, wären es schon 6.
usw...

Ich hab's schon mal gesagt:
Zusätzliche Dimensionen müssen nicht raumartig sein, sie können aber in diesem stattfinden, und sind in diesem Fall (Dynamik) deshalb mit ihm (und mit der Zeit) verknüpft.

Soweit ich's verstanden habe, geht Heim aber noch viel weiter, da gibt es nicht nur räumliche und zeitliche Dimensionen, sondern auch noch ganz andere, deren Wesen wir uns nur schwerlich vorstellen können.


Gruß Jogi