Extremwertproblem

[richy]

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[EMI]

Gegeben sind 5 Behälter, sortenrein gefüllt mit Kügelchen unterschiedlichster Anzahl(größer 100). Es gibt 10 Gramm und 11 Gramm Kugeln.

Mit einer Wägung (Waage mit Gramm Anzeige) soll bestimmt werden in welchen Behältern sich die 10g und in welchen sich die 11g Kugeln befinden.
Dabei könnten auch alle Behälter nur mit 10g Kugeln oder nur mit 11g Kugel befüllt sein.

Wie geht man vor?

Gruß EMI

PS: Jogi halt dich bitte zurück, Du kennst die Lösung.

[Sino]

Zitat von zeitgenosse

Bravourös!

Nun aber - last but not least - eine Praxisaufgabe:

Aus einem Rundholz gut gelagerter deutscher Fichte (Radius 10 cm) soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt (b*h) von 3 Meter Länge herausgesägt werden. Wie gross sind b und h zu bemessen (auf praktikable Werte runden), damit eine maximale Tragfähigkeit (T) erzielt wird?

Hmm, habs mal probiert, aber ohne Gewähr !
Keine Ahnung, ob man die Tragfähigkeit so rechnet ! Habe heute das erste Mal seit 20 Jahren Statik-Kram kurz angeschaut. Bin also von einem Balken ausgegangen, auf den ein Moment wirkt, dass ihn durchbiegt. Der Balken hat die Breite a und Höhe b.

Hab mir die Formel für die Spannung rausgesucht:
sigma(z)=M*z/I mit I=integral(z²)dA wobei z die Koordinate ist, in der durchgebogen wird, also obdA nach unten, wenn der Balken waagerecht liegt. z=0 ist in der Mitte vom Balken.

Wenn man das nach M umstellt, und von -b/2 bis b/2 über z integriert,
dann ergibt sich:

M = sigma_max*a*b²/6

sigma_max ist die maximal erlaubte Spannung, Zug oder Schubspannung, je nachdem, was kleiner ist.

Nebenbedingung ergibt sich aus dem Kreis um den Balken:
(a/2)²+(b/2)²=r <=> a²+b²-4r²=0

Ok, da die Tragfähigkeit maximal werden sollte, maximiere ich das Moment M und bastele den Lagrange-Ansatz damit zusammen:

H = sigma_max*a*b²/6 + l1(a²+b²-4r²)
1) dH/da = sigma_max*b²/6+2*l1*a = 0
2) dH/db = sigma_max*a*b/3+2*l1*b = 0
3) dH/dl1 = a²+b²-4r² = 0

Wenn ich das auflöse, bekomm ich raus:
a=2*r/sqrt(3) ~ 11.5cm
b=sqrt(2)*a = 2*sqrt(2)*r/sqrt(3) ~16.3 cm

Keine Ahnung, ob das stimmt. Wie gesagt, den Ansatz für die maximale Tragfähigkeit das maximale Biegemoment anzusetzen, hab ich mir schon aus den Fingern gesaugt. (edit: Ok, scheint zu funktionieren, das gleiche wie bei EMI.)

[Sino]

Zitat von EMI

Gegeben sind 5 Behälter, sortenrein gefüllt mit Kügelchen unterschiedlichster Anzahl(größer 100). Es gibt 10 Gramm und 11 Gramm Kugeln.

Mit einer Wägung (Waage mit Gramm Anzeige) soll bestimmt werden in welchen Behältern sich die 10g und in welchen sich die 11g Kugeln befinden.
Dabei könnten auch alle Behälter nur mit 10g Kugeln oder nur mit 11g Kugel befüllt sein.

Wie geht man vor?

Hmm, gibts da noch irgendwelche Zusatzinfos, was man nicht darf ?
Ich mein, sonst nehm ich die Kugeln aus dem Behälter und wiege die einfach.

Wenn der Behälter undurchsichtig und verschlossen ist und man ihn nicht öffnen darf, hab ich keine Ahnung, wie man z.b. 200 Kugeln a 11g von 220 Kugeln a 10g Gramm unterscheiden soll. Beide Behälter würden ja 2200g plus Verpackung wiegen. ( Ich geh auch davon aus, dass die Kugeln auch gleich gross sind )

Oder ist das 'ne Scherzfrage ?

[Sino]

Zitat von EMI

EINE Wägung reicht!

Achso, ok, Ist schon spät

edit:
Also wenn ich Kugeln aus den Behältern nehmen darf, dann nehm ich unterschiedlich viele Kugeln aus jedem einzelnen Behältern und zwar jeweils soviele, dass das Gesamtgewicht eindeutig jede einzelne mögliche Kombination aus Behälter und Kugeleinzelgewicht widerspiegelt.
Dann wieg ich die und rechne rückwärts.

Ok, Binärcodierung geht:

1 Kugel aus Behälter 1
2 Kugeln aus Behälter 2
4 Kugeln aus Behälter 3
8 Kugeln aus Behälter 4
16 Kugeln aus Behälter 5

edit:
Die Decomposition ist etwas kompliziert:

0) Setze X := gemessenes Gewicht in Gramm.
1) Setze i:=1;
1) Falls X gerade = > { 10g-Kugeln in Behälter i ... Setze X:=X-10 }
sonst => { 11g-Kugeln in Behälter i ... Setze X:=X-11 }
2) Setze X:=X/2
3) Falls X>0 => Setze i:=i+1, gehe zu 1
sonst fertig

P.S.: Wie man wohl erraten kann, hab ich das am Computer ausprobiert. Dummerweise hat das beim ersten Versuch gestern Nacht mit einer Folge aus 2er Potenzen nicht hingehauen, was aber am Ende nicht an der Folge gelegen hat, sondern an einem Bug in meinem Programm ;(

Beweis:

Gewicht = g_1 + 2*g_2 + 2*2*g_3 + 2*2*2*g_4 + 2*2*2*2*g_5

Der g1 Term bestimmt, ob das Gewicht gerade oder ungerade ist. Bei 11g in Behälter 1 ist das Gewicht ungerade.
Da man nun g_1 kennt, kann man g_1 nun abziehen.
Dann teilt man das Restgewicht durch 2. Dadurch rückt der g_2 Term an die Stelle von g_1 und bestimmt, ob das Restgewicht gerade oder ungerade ist, weil er keinen Vorfaktor mehr hat.
Damit kennt man g_2, zieht es wieder ab, teilt das Restgewicht durch 2, macht mit g_3 weiter usw.

[zeitgenosse]

Zitat von EMI

Wie kommt man denn auf:
w = 2 sqrt(a*h - a²)

Deine Frage verstehe ich nicht (weil du ja bereits die richtige Lösung geliefert hast).

Aber meinetwegen, bin ja ein gutmütiger Kerl.

Die Weite erhalten wir aus der Wurfparabel (und diese aus den Koordinaten des Wasserstrahls):

y = (1/2)g*t^2 = x^2/4h

In diese Gl. setzen wir diee Koordinaten des Auftreffpunktes (x_w, H-h) ein und lösen nach x_w (Weite) auf, so dass:

x_w = 2 * sqrt(Hh - h^2)

H Höhe Wassersäule
h Differenz Wasserpegel-Bohrloch

Aus weiteren Überlegungen folgt in summe, dass die grösstmögliche Weite dann erzielt wird, wenn sich das Bohrloch in der Mitte der Wassersäule befindet.

Gr. zg

[EMI]

Zitat von Sino

1 Kugel aus Behälter 1
2 Kugeln aus Behälter 2
4 Kugeln aus Behälter 3
8 Kugeln aus Behälter 4
16 Kugeln aus Behälter 5

Richtig Sino, das ist die Lösung.

310g = alle Behälter 10ner Kugeln
311g = 11er in Behälter1, Rest 10ner
312g = 11er in Behälter2, Rest 10ner
313g = 11er in Behälter2 und 1, Rest 10ner
314g = 11er in Behälter3, Rest 10ner
315g = 11er in Behälter3 und 1, Rest 10ner
316g = 11er in Behälter3 und 2, Rest 10ner
317g = 11er in Behälter3, 2 und 1, Rest 10ner
318g = 11er in Behälter4, Rest 10ner
319g = 11er in Behälter4 und 1, Rest 10ner
320g = 11er in Behälter4 und 2, Rest 10ner
321g = 11er in Behälter4, 2 und 1, Rest 10ner
.
.
341g = alle Behälter 11er Kugeln

Gruß EMI

[Hamilton]

Da l1 in allen dH/dp_i den gleichen Wert hat => alle p_i müssen gleich sein.
( man kann die noch nach p_i auflösen, dann steht da p_i=exp(l1-1) , braucht man aber nicht )

Bingo!, oh, ich muss, auf 10 Zeichen kommen, also nocmal: Bingo (das ist richtig, kurz und elegant)

[Sino]

Zitat von EMI

Richtig Sino, das ist die Lösung.

War eine nette Aufgabe. Hätte nur nicht auf die Idee kommen sollen, das zu programmieren, bevor ich genau verstanden hab, was ich da mathematisch treibe.
Nachdem ich die Formel mal auf Papier geschrieben hab, die G am Ende darstellt, war mir erst klar, was ich da treibe und hab das Programm dann extrem vereinfacht. Das war mal wieder blinder Aktionismus von mir.

[EMI]

Zitat von zeitgenosse

Deine Frage verstehe ich nicht (weil du ja bereits die richtige Lösung geliefert hast).

Ich wollte nur mal sehen wie andere auf diese w = 2 sqrt(a*h - a²) Gleichung kommen.

Ich bin da so vorgegangen:

ha = h-a
mgha = 1/2mv²
v = sqrt2gha = sqrt(2gh-2ga)

w = v*sqrt2a/g
w = 2 sqrt(a*h - a²)

Gruß EMI