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Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander! |
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#1
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Math - DGL versus DZGL
Hi
Im allgemeinen loest man DZGL's ueber die Z Transformation. Im folgenden moechte ich versuchen einige klassische Loesungsverfahren fuer DGL's auf DZGL's zu uebertragen. Gemaess der Z Transformation betrachte ich dabei z[k-n] bzw z[k+n] rein formell als n-te Ableitung. dy/dt=f(t)/g(y) : ************* Lsg: TRENNEN DER VARIABLEN Beispiel DGL : ********** dy/dt=t^2/y^2 int t^2 dy = int y^2 dy y(t)=t^3+ C Vorgehensweise bei einer DZGL ? ************************ y[t+1]=t^2/y[t]^2 Maple kann solche nichtlineare DZGL's nicht loesen. Dieser spezielle formale Ansatz fuehrt nicht weiter : Summe y[n]^2, 0..t = Summe n^2, 0..t Wir formen dennoch um : y[t+1]*y[t]^2=t^2 Logarithmieren ln(y[t+1]*y[t]^2)=2*ln(t) ... ln(y[t+1]=-2*ln(y[t])+2*ln(t) Substitution z[k]=ln(y[k]) z[k+1]=-2*z[k]+2*ln(k) Maple kann hier lediglich eine Faltungssumme als Loesung liefern : rsolve(z(k+1)=-2*z(k)+2*ln(k),z(k)); Ruecksubstitution : z[k]=ln(y[k]) y(k)=exp(z[k] Die Aufgabenstellung ist bereits zu schwierig. Formulieren wir eine etwas einfachere Aufgabe : ************************************************** ************** DGL : dy/dt=exp(t)/y Die allgemeine Loesung lautet : y(t)^2=2*exp(t)+C DZGL : y[k+1]=exp(k)/y[k] y[k+1]*y[k]=exp(k) ln(y[k+1])=k-ln y[k]) Substitution z[k]=ln(y[k]) z[k+1]=-z[k]+k ************ Diesmal erhalten wir eine geschlossene Loesung (k durch t ersetzt) : Test der Loesung : Wir bilden y[k+1]*y[k] und erhalten tatsaechlich ueber einen Exponentenvergleich y[k+1]*y[k] = exp(k) Graphischer Test : Gewaehlt wurde der Anfangswert y(0)=1 : y(t) ist wegen (-1)^k nur fuer geradzahlige k reell. Ansonsten komplexwertig : complexplot(z,t=0..5); Vergleich mit der Differenzengleichung : Programmcode : Zitat:
Zitat:
=> Wir haben tatsaechlich eine Loesung der DZGL : y[k+1]=exp(k)/y[k] gefunden ! Dabei haben wir eine aehnliche Methode verwendet wir beim Trennen der Variablen. Diese enthaelt statt Integration eine Substitution und eine Logarithmierung. Die Methode funktioniert daher nur fuer einige spezielle Faelle. Aber immerhin ! Anm: Auch in der Loesung y(k) faellt der Ausdruck 2^k auf. Gruesse Ge?ndert von richy (23.09.10 um 09:49 Uhr) |
#2
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AW: DGL versus DZGL
Hmm ... ich weiss nicht ob meine obigen Ueberlegungen wirklich neu sind, so dass ich dem Kind einen neuen Namen geben darf.
Kann mich jemand diesbezueglich aufklaeren ? Mist, Ralf Kannenberg wuesste das sicherlich. Kann jemand hier im AC Forum bei Ralf anfragen was er von der Sache haelt ? Ich nenne solange den DZGL Prototypen mal unverfaenglich Ram-DZGL : Hypothese : (D.h. ich denke die Loesung ist schluessig) Die RAM DZGL : z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m hat die allgemeine Loesung : Ge?ndert von richy (23.09.10 um 01:53 Uhr) |
#3
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AW: DGL versus DZGL
Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?
http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/topics Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen! |
#4
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AW: DGL versus DZGL
Zitat:
Ich weiss inzwischen, dass meine Monologe hier nur wenige verstehen. Weil hier keine Mathematiker unterwegs sind. Daher poste ich mathematische Beitraege in der Plauderecke. Zitat:
Mit nichtlineaeren DZGL's beschaeftigen sich nur wenige Mathematiker. Verfiziere einfach meine Aussage : Die DZGL : z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m hat die allgemeine Loesung : Ich vermisse im Forum hier tatsaechlich einen mathematischen Spezialisten wie Ralf Kannenberg :-( Ge?ndert von richy (22.10.10 um 22:50 Uhr) |
#5
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AW: DGL versus DZGL
"Schnelltest" der Loesung ueber den Ausdruck z[t+1]*z[t]
z[t] ist eine Exponentialfunktion und daher fuehrt das Produkt z[t+1]*z[t] zu einer neuen Exponentialfunktion die die Summe der Exponenten von z[t+1] und z[t] enthaelt. Der gemeinsame Nenner des Exponenten ist m^2+2*m+1 Betrachten wir zunaechst den Ausdruck (-m)^k des Zaehlers Dieser ergibt in der Summe : (-m)^k + (-m)^(k+1) = (-m)^k*(1-m) Fuer m=1 werden diese Terme kompensiert. Daher erhielten wir die einfache Verifikation der DZGL y[k+1]=exp(t)/y[k] y[k+1]/y[k]=exp(t) Fuer m<>1 trifft diese Kompensation leider nicht mehr zu. Die (-m)^k Teme bilden fuer m<>1 alternierende Faktoren : (-m)^k*(1-m) Trennen wir die Summanden dennoch nach ihrem (-m)^k Charakter. Nach (-m)^k und den restlichen Summanden. Die nicht (-m)^k Klasse im Zaehler besteht aus folgende Summanden : a*t*m a*t -a Diese Klasse K1 erzeugt im Zaehler von z[t+1]*z[t] folgenden Ausdruck : K1= a*t*m + a*(t+1)*m + a*t + a*(t+1) + -a -a K1= a*(2*t*m+m+2*t-1) Die Klasse K2 wird in der Summe durch den alternierenden Faktor (-m)^k*(1-m) bestimmt. Sie ist fuer m<>1 schwieriger im Handling. Fassen wir die Nenner Faktoren in der Loesung zusammen : K2: y(0)*m^2 + 2*y(0)*m + a + y0 + ..... dieser Stelle breche ich mal ab ... Ge?ndert von richy (15.04.11 um 15:37 Uhr) |
#6
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AW: DGL versus DZGL
zttl hat mich leider aus meinem Konzept gebracht.
Ich kann es mir auch einfach machen Die von mir angegebene Loesung der RAM DZGL ist korrekt. Die DZGL z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m hat die allgemeine Loesung : BASTA !!! Ge?ndert von richy (23.09.10 um 01:59 Uhr) |
#7
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AW: DGL versus DZGL
Ich frage dich ob dir deine Monologe nicht allmählich zu doof werden, gebe dir sogar noch einen Link für das deutschsprachige Mathematik Usenet an das du dich wenden könntest...
...und stattdessen regst du dich auf. Ich werde deine Kreise nicht stören. Vergnüg dich schön mit deinen Monologen! |
#8
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AW: DGL versus DZGL
Zitat:
Natuerlich darfst du gerne anhand der bisherigen doch recht einfachen Vorgehensweise auch Fragen stellen. Welche Fragen stellen sich fuer dich ? Ge?ndert von richy (22.10.10 um 22:56 Uhr) |
#9
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AW: DGL versus DZGL
Zitat:
Ich wollte dich wirklich nicht mehr stören, aber solche Nettigkeiten verdienen allemal eine gebührende Erwiderung! Mein Hinterteil fühlt sich einigermaßen geehrt und richtet dir einen Gruß aus: Ciao, piccolo stranzo Zitat:
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#10
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AW: DGL versus DZGL
Ich wollte meinen letzten Beitrag eigentlich noch um die persoenlichen Belange bereinigen. Du hast mich mit deinem Beitrag persoenlich angegriffen und daher habe ich zunaechst persoenlich reagiert.
Ich war bis 2001 in einem mathemathischen Forum unterwegs. chaostheorie.de. Kein hohes Niveau. Das Forum wurde von Spam Robots zerbroeselt. Ich muss wohl keine Rechenschaft darueber ablegen warum ich schliesslich bei quanten.de also in einem physikalschen Forum gelandet bin. Aufgrund einer einfachen Frage meinerseits : Ist die Zeit quantisiert ? Ich habe sehr viel von den Physikern hier gelernt. Auch viele Menschen hier schaetzen gelernt. Aber vielleicht sollte ich mir deinen Rat zu Herzen nehmen. Das Forum hier verlassen und meine Ideen in einem Mathematik Forum vorstellen. Da gibt es jedoch ein Problem. Ich bin kein Mathematiker. Ich wende nur Ingenieursmathematik an. Ok, ich muss darueber nachdenken. Letzendlich kann ich einfach die Ergebnisse auch auf meiner Webseite vorstellen. Das ist allerdings ein wenig mehr muehsam als die Gedanken in ein Forum zu schreiben. Und in einem Forum hat man auch einen groesseren Antrieb. Auch darueber sollte ich nachdenken. Ge?ndert von richy (22.10.10 um 22:51 Uhr) |
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