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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben. |
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#31
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AW: Polya und Primzahlen
Hi rene , Bauhof
Erstmal vielen Dank fuer eure Muehe. Zitat:
Bei den beiden Funktionen ist es so , dass nicht eine davon fuer alle x groesser ist. Auch nicht fuer alle x>0. Ich moechte das Minorantenkriterium anwenden. http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium Dazu muss ich ein Intervall finden [epsilon....oo] in dem garantiert ist , dass meine zu testende Funktion stets groesser ist als die Verglechsfunktion. Alles im Intervall von [startindex.. epsilon] interessiert nicht, da die Summe oder das Produkt endlich bleibt. Vorausgesetzt es gibt keine Polstellen. Den Pol x=2 hat Polya umgangen. Die Divergenz verursacht dann letztendlich ein unendlich langes Intervall. @rene Zitat:
Davon mache ich noch ne Skizze. Und dann waere exp(1/x)<(x-1)/(x-2) fuer x>3 oder x>100. Das spielt keine Rolle. Polya startet mit der Primzahl 3. Die Primzahl 2 nimmt er als Referenzwert. Polyas Herleitung habe ich noch nicht so ganz verstanden. Aber es ist interessant, dass seine Haeufigkeit fast identisch ist mit dem Produkt in dem Beweis zur Primzahlkehrwertsumme. (Der Beweis ist ueberhaupt ausgesprochen raffiniert) ciao Ge?ndert von richy (08.10.09 um 23:04 Uhr) |
#32
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AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
Zitat:
Das ganze steht und fällt mit dem Gültigkeitsbereich von (p-1)/(p-2). Polya spricht von der großen Schranke X. Was passiert, wenn X gegen unendlich geht? Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus |
#33
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AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
leider verstehe ich deine Formulierungen nicht immer. Einmal schreibst du (p-1)/(p-2) und dann wieder (x-1)/(x-2). Die Variable x steht für reelle Zahlen und p steht für Primzahlen. Ist das überall von dir konsequent eingehalten? Für alle reelle Zahlen x soll gelten: (1) exp(1/x) = (x-1)/(x-2) (mit 3 ≤ x ≤ unendlich) Setze y=1/x ? x=1/y; dann ergib sich: (2) exp(y) = (1/y - 1)/(1/y - 2) (mit 0 < y ≤ 1/3) (3) exp(y) = (1 - y)/(1 - 2y) (4) ln[exp(y)] = ln[(1 - y)/(1 - 2y)] (5) y = ln(1 - y) - ln(1 - 2y) Für y → 0 strebt ln(1 - y) - ln(1 - 2y) gegen Null, die Gleichung (5) ist also erfüllt. Wegen y → 0 und x=1/y strebt exp(1/x) gegen 1 für x → unendlich. Somit muss wegen (1) auch (x-1)/(x-2) gegen 1 streben für x → unendlich. Das heißt, beide Terme in der Gleichung (1) "treffen" sich im Unendlichen bei dem Wert 1. Vermutlich in asymptotischer Annäherung. Wenn tatsächlich asymptotische Annäherung vorliegt, dann gibt es vorher keinen Schnittpunkt, dann gilt die Ungleichung: (6) exp(1/x) < (x-1)/(x-2); für alle reellen x im Wertebereich 3 ≤ x < unendlich Nehmen wir mal an, dass dies so ist (die asymptotische Annäherung können wir vielleicht später noch beweisen, falls dein Argument mit den Steigungen nicht hinreichend sein sollte). Mit dem Hilfsmittel (6) möchtest du etwas beweisen. Was war das genau? Mit freundlichen Grüßen Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski Ge?ndert von Bauhof (11.10.09 um 16:39 Uhr) |
#34
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AW: Polya und Primzahlen
Hi
@Timm Zitat:
Zitat:
Mehrfachheiten waeren auch keine Primzahlen. In einem Intervall(2....X) soll es N Primzahlen geben. Dann ist fuer die Prifakultaet dieses Produkt maximal, denn es enthaelt die groesste Anzahl, naemlich N Faktoren. Fuer eine Folge der natuerlichen Zahlen wuerde das Produkt in einer Art Saegezahnform oder aehnlichem schwanken. An diese Kurve laesst sich eine konvexe Huellenkurve anlegen. Diese habe ich betrachtet. Also alle Primfakultaeten. Zitat:
Zitat:
Zitat:
@Bauhof Zitat:
p(i) i=1...N oder p, p=2,3,5....N Warum ist es in manchen Faellen ncht relevant ? Die Primzahlen kann ich analytisch nicht erfassen. Auch die natuerlichen Zahlen sind recht unhandlich. Benutze ich das Minorantenkriterium so interessieren Ungleichungen : f(x) < g(x), x element R Gilt dies fuer reele Zahlen, so gilt dies auch fuer natuerliche Zahlen : f(i) < g(i), i element N und ebenso fuer Primzahlen f(p) < g(p), p element Primzahlen Zitat:
Und das Prob war die asymptodische Naeherung, ob es zuvor keinen Schnittpunkt gibt. Wobei der Betrag der Ableitung von (x-1)/(x-2) stets groesser ist als der von exp(1/x). Bin mir jetzt fast sicher, dass daher nur der Schnittpukt im Unendlichen existieren kann. Zitat:
exp(1/x) < (x-1)/(x-2), fuer alle x>=3, x element reelle Zahlen Dies gilt auch fuer alle Primzahlen : exp(1/p) < (p-1)/(p-2) fuer alle p>=3, p element Primzahlen Minorantenkriterium : Untersuche statt product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) das Produkt der stets kleineren Faktoren product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) = exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity)) Dank Herrn Euler, Erdoes und Herrn Bauhof wissen wir, dass die Summe im Exponenten divergent ist Daraus folgt : exp(sum(1/prim(i), i=2..infinity)) = exp(00) = 00 Und daher auch product( exp(1/prim(i)), i=2..infinity)) = 00 und daher auch product( (prim(i)-1)/(prim(i)-2), i=2..infinity) = 00 Viele Gruesse Ge?ndert von richy (12.10.09 um 00:00 Uhr) |
#35
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AW: Polya und Primzahlen
Dass sich g(x)=exp(1/x) und f(x)=(x-1)/(x-2) im Intervall [3...oo] nur im Unendlichen schneiden folgt wahscheinlich aus deren Ableitung |f´(x)|>|g´(x)| und aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Anschaulich: Voraussetzung : alle Ableitungen kleiner 0, beide Funktionen streng monoton fallend Gilt f(x0)>g(x0) so koennen sich die Funktionen fuer x>xo nur schneiden wenn gilt |f´(x)|>|g´(x)| xs sei dieser Schnittpukt Entweder ist dies eine Tangente oder es gilt nun g(x>xs)>f(x>xs) Damit sich die Funktionen ein zweites Mal schneiden muesste gelten |g´(x)|>|f´(x)| (oder f´(x)>0) Dieser Fall liegt aber nicht vor : Kuerzer formuliert : Wenn im betrachteten Intervall die Funkrion f(x)=(x-1)/(x-2) kleiner waere als g(x)=exp(1/x) dann muesste es auch eine Stelle geben an der der Betrag deren Ableitung kleiner ist als der von g(x), da sich beide Funktionen im Unendlichen schneiden. Das ist aber nicht der Fall und daher muss f(x) stets groesser als g(x) sein. Ge?ndert von richy (11.10.09 um 22:43 Uhr) |
#36
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AW: Polya und Primzahlen
Offtopic : ...
Ge?ndert von richy (13.10.09 um 01:05 Uhr) |
#37
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AW: Polya und Primzahlen
zum Beispiel...
Welche physikalische Relevanz hat die Divergenz von Zahlenreihen? Gruß, ÖLambert |
#38
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AW: Polya und Primzahlen
Hallo richy,
ein letzter Blick auf diese Tabelle Zitat:
Ab der Differenz, deren Primfakultät aus 10^3 Primfaktoren besteht, gibt es offensichtlich eine lineare Abhängigkeit der Superhäufigkeit SH von log(Zahl der Primfaktoren). log(Zahl der Primfaktoren) ---- SH 3 ----------------------------- 12,1230 4 ----------------------------- 15,5972 5 ----------------------------- 18,9914 6 ----------------------------- 22,3329 Daraus folgt die Geradengleichung SH = 3,4033*log(Zahl der Primfaktoren) + 1,9131 Sollte sich diese Gleichung nicht unmittelbar aus dem Produkt der Quotienten (p-1)/(p-2) in verallgemeinerter Form ableiten lassen? Aber wie? Die Nichtlinearität bei < 10^3 dürfte von dem Fehler herrühren, daß ich die nicht zu SH beitragenden Faktoren 1*2 einbezogen habe, 8 statt 10, 98 statt 100 usw. Dein Beweis unterstützt ja nun diesen linearen Zusammenhang. Er besagt, daß mit jeder verzehnfachung der Zahl der Primfaktoren einer Differenz, deren SH um den konstanten Betrag 3,4033 zunimmt. In diesen Trippelschritten nähert sich SH offensichtlich abzählbar dem Unendlichen. Es wird häufig von der Zufallsverteilung der Primzahlen gesprochen. Mir scheint, die Systematik bei der Häufigkeit der Differenzen, ist mit einer reinen Zufallsverteilung nicht vereinbar, sondern Ausdruck der Definition der Primzahlen. Würde man mit einem idealen Zufallsgenerator Zahlen abnehmender Dichte generieren, analog zu der von Primzahlen, dann müßte bei der Häufigkeitsbetrachtung der Differenzen Gleichverteilung herauskommen, wie ich es ursprünglich auch für die Primzahlen erwartet hatte. Was ist es, das so viele an den Primzahlen fasziniert? Als ich noch auf der Suche war, hatte ich Kontakt mit einem amerikanischen Medizin Studenten, der am selben Problem arbeitete. Ist es diese noch immer von Geheimnissen umwobene absolute Eigenständigkeit dieses Zahlenkonstrukts? Die in der Natur keinerlei Ausprägung findet? Mir zumindest nicht bekannt. Gruß, Timm
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Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus Ge?ndert von Timm (15.10.09 um 17:41 Uhr) Grund: Ergänzung: sollte sich diese Gleichung ... |
#39
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AW: Polya und Primzahlen
@Lambert
Zitat:
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmoni...ndungsbeispiel @Timm Der Logarithmus beruht sicherlich auf dem Zusammenhang, das die Prinzahlen etwa einen x*ln(x) Verlauf haben. Das muesste man sich genauer ueberlegen. Die Funktion in das Produkt einsetzen. Aber Maple finde keine geschlossene Loesung. Wird nicht einfach sein. Zitat:
Zitat:
Ge?ndert von richy (15.10.09 um 18:12 Uhr) |
#40
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AW: Polya und Primzahlen
Zitat:
ich kann unter dem Link keine physikalische Relevanz erkennen. Denn es war die physikalische Relevanz von divergenten Reihen gefragt. Ich hake nur deshalb nach, weil ich vor längerer Zeit etwas über eine Vermutung gelesen habe, dass zwischen bestimmten quantalen Vorgängen und Primzahlen ein Zusammenhang besteht. M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen – ihm hatte ich das gar nicht zugetraut! Hermann Minkowski Ge?ndert von Bauhof (15.10.09 um 18:28 Uhr) |
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