Math - DGL versus DZGL

[richy]

Hi

Im allgemeinen loest man DZGL's ueber die Z Transformation. Im folgenden moechte ich versuchen einige klassische Loesungsverfahren fuer DGL's auf DZGL's zu uebertragen.
Gemaess der Z Transformation betrachte ich dabei z[k-n] bzw z[k+n] rein formell als n-te Ableitung.

dy/dt=f(t)/g(y) :
*************
Lsg: TRENNEN DER VARIABLEN

Beispiel DGL :
**********
dy/dt=t^2/y^2
int t^2 dy = int y^2 dy
y(t)=t^3+ C

Vorgehensweise bei einer DZGL ?
************************
y[t+1]=t^2/y[t]^2
Maple kann solche nichtlineare DZGL's nicht loesen.

Dieser spezielle formale Ansatz fuehrt nicht weiter :
Summe y[n]^2, 0..t = Summe n^2, 0..t

Wir formen dennoch um :
y[t+1]*y[t]^2=t^2

Logarithmieren
ln(y[t+1]*y[t]^2)=2*ln(t)
...
ln(y[t+1]=-2*ln(y[t])+2*ln(t)

Substitution
z[k]=ln(y[k])
z[k+1]=-2*z[k]+2*ln(k)

Maple kann hier lediglich eine Faltungssumme als Loesung liefern :
rsolve(z(k+1)=-2*z(k)+2*ln(k),z(k));

Ruecksubstitution :
z[k]=ln(y[k])
y(k)=exp(z[k]



Die Aufgabenstellung ist bereits zu schwierig. Formulieren wir eine etwas einfachere Aufgabe :
************************************************** **************

DGL :
dy/dt=exp(t)/y

Die allgemeine Loesung lautet :
y(t)^2=2*exp(t)+C

DZGL :
y[k+1]=exp(k)/y[k]
y[k+1]*y[k]=exp(k)
ln(y[k+1])=k-ln y[k])
Substitution
z[k]=ln(y[k])

z[k+1]=-z[k]+k
************

Diesmal erhalten wir eine geschlossene Loesung (k durch t ersetzt) :



Test der Loesung :
Wir bilden y[k+1]*y[k] und erhalten tatsaechlich ueber einen Exponentenvergleich y[k+1]*y[k] = exp(k)

Graphischer Test :
Gewaehlt wurde der Anfangswert y(0)=1 :

y(t) ist wegen (-1)^k nur fuer geradzahlige k reell. Ansonsten komplexwertig :
complexplot(z,t=0..5);


Vergleich mit der Differenzengleichung :
Programmcode :

s[0]:=(1);
for i from 1 to 20 do
s[i]:=evalf(exp(i)/s[i-1]);
od;

Ausdruck :

s[0] := 1
s[1] := 2.718281828
s[2] := 2.718281829
s[3] := 7.389056096
s[4] := 7.389056102
s[5] := 20.08553692

Die Werte stimmen mit den Schleifenschnitten der reellen Achse ueberein.
=>
Wir haben tatsaechlich eine Loesung der DZGL : y[k+1]=exp(k)/y[k] gefunden !
Dabei haben wir eine aehnliche Methode verwendet wir beim Trennen der Variablen. Diese enthaelt statt Integration eine Substitution und eine Logarithmierung. Die Methode funktioniert daher nur fuer einige spezielle Faelle.
Aber immerhin !
Anm: Auch in der Loesung y(k) faellt der Ausdruck 2^k auf.

Gruesse

[richy]

Hmm ... ich weiss nicht ob meine obigen Ueberlegungen wirklich neu sind, so dass ich dem Kind einen neuen Namen geben darf.
Kann mich jemand diesbezueglich aufklaeren ? Mist, Ralf Kannenberg wuesste das sicherlich. Kann jemand hier im AC Forum bei Ralf anfragen was er von der Sache haelt ?
Ich nenne solange den DZGL Prototypen mal unverfaenglich Ram-DZGL :

Hypothese : (D.h. ich denke die Loesung ist schluessig)

Die RAM DZGL :

z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m

hat die allgemeine Loesung :

[zttl]

Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?

http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/topics

Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!

[richy]

Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?

Defenitiv NEIN !
Ich weiss inzwischen, dass meine Monologe hier nur wenige verstehen. Weil hier keine Mathematiker unterwegs sind.
Daher poste ich mathematische Beitraege in der Plauderecke.

Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!

Fuer lineare DZGL's wird die Z Transformation angewendet
Mit nichtlineaeren DZGL's beschaeftigen sich nur wenige Mathematiker.
Verfiziere einfach meine Aussage :

Die DZGL :

z(t+1,a,m)=exp(a*t)/z^m

hat die allgemeine Loesung :


Ich vermisse im Forum hier tatsaechlich einen mathematischen Spezialisten wie Ralf Kannenberg :-(

[Bauhof]

Zitat von zttl

Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?
http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/topics
Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!

Hallo zttl,

wer ist Kannenberg? Ist das ein Alias von richy?

M.f.G. Eugen bauhof

[zttl]

Lieber richy

Ich habe wirklich an nichts Böses gedacht als ich dir die Mathe Newsgroup empfahl. Es war auch keine Aktion dich von hier zu vergraulen, eher konstruktiv gemeint um eine Diskussion zu ermöglichen, die du hier niemals führen könntest.

Zitat von zttl

Werden dir deine Monologe nicht langsam zu doof?
http://groups.google.de/group/de.sci.mathematik/topics
Es gibt auch noch Mathematiker die nicht Kannenberg heißen!

Ich hätte den Ausdruck "doof" besser durch einen anderen ersetzen sollen, z.B. durch mürbe, langweilig oder mühsam. Wie auch immer möchte ich mich bei dir für die entstandene Gefühlslage entschuldigen. Du hast ja auch diese Größe dazu besessen.

Zitat von Bauhof

wer ist Kannenberg? Ist das ein Alias von richy?

Nein, das ist ein Teilnehmer des AC.

[richy]

Hi

Zitat von zeitgenosse

Zum Beispiel, als ich fragte, wohin sich die 44 überdimensionierten Stützen der gefallenen WTC-Tower verflüchtigten. Baustahl zerbröselt ja nicht einfach so zu Granulat.

Oder die Unstimmigkeiten bei WTC 7 ...
Es hat mich damals gewundert, dass das Forum so drastisch reagiert hat.

@Zttl
Ich hab deine Aussage wirklich in den falschen Hals bekommen. Sorry. Wobei ich in diesem Thread versucht habe auch mal Grafiken der Formeln zu verwenden, damit es anschaulicher wird. Das Problem bei Mathematik Foren ist, dass dort entweder Schueler und Studenten nach Loesungen suchen, oder wirklich in mathematischer Spache (die ich nicht beherrsche) grosse Probleme gewaelzt werden.
Chaotstheorie.de war im Grunde ideal, aber das Forum ist leider hinueber.
Ich werde aber nach etwas in dieser Richtung suchen.
Ein Chaostheroieforum.

Es gab aber auch hier immer wieder Resonanz auf mathematische Themen. Und mir macht es auch nichts aus wenn es diese einmal nicht gibt. (Vielleicht unbewusst doch ) Es ist dennoch praktischer spontan etwas in ein Forum zu schreiben anstatt den HTML Editor anzuwerfen. Auf meiner Homepage versuche ich dann spaeter Punkte die mir besonders interessant erscheinen festzuhalten.

Gruesse

[EMI]

Zitat von richy

Oder die Unstimmigkeiten bei WTC 7 ...
Es hat mich damals gewundert, dass das Forum so drastisch reagiert hat.

Nun zerrt dieses Thema nicht auch noch hier in dieses Forum!

Es gab über 3000 Tote, denkt ihr auch mal an deren Angehörige mit eurer Verschwörungsdudelei?

Die Stahlträger hat's "zerbröselt", genauso wie die Schreibtische, Fahrstühle, Telephone und MENSCHEN!

Triebwerke der Flugzeuge, die die Massenmörder entführt hatten, flogen mehrere 100 Meter weit durch New York und krachten runter auf die Strassen.

So nun ENDE, und gedenkt der unschuldigen Toten.

EMI

[richy]

Nun zerrt dieses Thema nicht auch noch hier in dieses Forum!

Ok dann fange ich nochmal von Vorne an.

Motivation meiner Eingangsrechnung :
Mathematische Grundlage der Physik und insbesonders der Ingenieurwissenschaften sind die Differentialgleichungen. Schon F=m*a stellt eine solche dar. Denn a=dv/dt
Sind solche DGL's linear, dann lassen sie sich ueber Vefahren wie die Integraltransformationen oder einen Seperationsansatz analytisch loesen. Teilweise mit nicht unerheblichem Aufwand. Fuer nichtlineare DGL's existieren einige Loesungsverfahren, die ich in einem Thread im Forum zusammengestellt habe. Aber selbst damit lassen sich nicht alle Aufgabenstellungen loesen.
Beispielsweise der realistische Sprung eines Fallschirmspringers unter Beruecksichtigung der Reibung. (Den Thread krame ich nicht mehr vor)

In den 70 er Jahren hat man solche Probleme daher am Analogrechner simuliert. In den 80 er Jahren waren die Digitalrechner leistungsfaehig genug, so dass diese die Analogrechner abloesten.
Das sollte alles bekannt sein.
Bei einer numerischen Simulation auf dem Digitalrechner werden aufgrund der Diskretisierung keine Differentialgleichungen geloest sondern Differenzengleichungen. Im linearen Fall gehen DZGL und DGL ineinander ueber wenn gewisse Stabilitaetskriterien eingehalten werden. Im nichtlinearen Fall ist dies nicht mehr gegeben.

Beispiel :
Die logistische Differentialgleichung (logistische Funktion)
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
hat ein voellig anderes Loesungsverhalten als die logistische Differenzengleichung, logistische Gleichung, Verhulstgleichung
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
Insbesonders ist letztere bis heute nicht analytisch loesbar.

Von besonderem Interesse ist heutzutage die Simulation nichtlinearer Differntialgleichungen. (Wetterbericht, Stroemungsdynamik ...) Dafuer gibt es einige Simulationsalgorithmen. Im Bereich des digitalen Filterentwurfs beschraenkt man sich auf den linearen Fall und wendet die Z-Transformation an, die ueber eine Substitution aus der La Place Transformation hervorgeht.
Die Z Transformation ist wie die F-Transformation oder Laplacetransformation nur fuer die Loesung linearer Probleme anwendbar.

Es existieren somit keinen allgemeinen Werkzeuge zur Loesung von nichtlinearen Differenzengleichungen. Die Verhulstgleichung, Mandelbrotmenge sind Paradebeispiele fuer diese Situation. Solche Werkzeuge existieren nur fuer nichtlineare Differentialgleichungen.

Es stellt sich somit die Frage, ob man aufgrund der Verwandtschaft von DGL und DZGL nicht einige dieser Werkzeuge nichtlinearer DGL's nicht auch in modifizierter Form auf Differenzengleichungen anwenden koennte.

Und wie mein erster wirklich einfacher Versuch zeigt :
Jawohl, in beschraentem Maße ist dies scheinbar moeglich :

dy/dt=f(t)/g(y) :
Loest man klassisch ueber Trennen der Variablen
y[k+1]=f(k)/g(y[k])
laesst sich fuer spezielle Funktionen g() mittels Logarithmieren loesen.
Und besonders einfach ist der Fall f(k)=exp(a*k)
Fuer beliebige Funktionen f(k) gibt es wahrescheinlich keine Loesung.

Dies koennte man weiter untersuchen. Und es stehen noch weitere Hilfsmittel fuer nichtlineare DGL's zur Verfuegung, die man modifizieren koennte.

Das war mein Grundgedanke fuer diesen Threads hier.

[zttl]

In Gedenken an die Hinterbliebenen waren es gerade sie, die eine lückenlose Aufklärung der Ereignisse um 9/11 verlangten.

Diese bekamen sie in Form des Kean Commission Report, der mehr Fragen aufwarf als beantwortet wurden.

Oder wie normal ist es, daß eine gewaltige Stahlträgerkonstruktion in nahezu Freifallgeschwindigkeit herunterbröselt? Selbst eine thermisch geschwächte Konstruktion müßte einen gewissen Widerstand entgegenbringen. In den Staubproben fand man Thermat und Rückstände von C4.

Oder wie normal ist es, dass WTC 7 wegen einiger Feuerchen wie nach einer klassischen Sprengung implodiert?

Oder wie normal ist es, daß Tage zuvor mit Put Optionen gegen die American Airlines gewettet wurde?

Da hast du dich hinter der falschen Personengruppe versteckt um auf die Mitleidsdrüse draufzudrücken.

http://infoblogmedia.wordpress.com/911-2/