Raumdehnung vs. Bewegung durch den Raum

[Timm]

Kanitscheider verweist bei den angegebenen Formeln auf dem MTW, wie Eugen schon schrieb. Der könnte morgen bei mir eintreffen. Dann wird sich der Nebel wahrscheinlich lichten,

Gruß, Timm

[Timm]

Zitat von Bauhof

Aber Bernulf Kanitscheider hat dazu eine Information. Er schreibt auf Seite 226 seines Buches [1]:

Lt. MTW (der Wälzer wiegt 2.5 kg) Seite 783 ist R "the radius of curvature of the 2-sphere surrounding the emitter and passing through the receiver at the time of reception"
Wobei R kongruent zu a*Summe(Xr - Xe) ist. Mit Xe = 0 , weil die emittierende Galaxie im Ursprung ist und a dem Skalenfaktor. Das Produkt a*Summe () ist abhängig vom Wert des Krümmungsparameters k (-1, 0, +1).

r ist der Abstand Erde - Galaxie, wie Eugen geschrieben hat. Diese Formel gilt (MTW S. 794) für die flache Minkowski Raumzeit, sodaß die Rotverschiebung ausschließlich Dopplereffekt ist. Nun leben wir nicht in einem leeren Universum. Insofern dürfte der unterschiedliche Energiefluß nicht so unerwartet sein. Er ist zumindest, wenn ich es richtig verstehe, kein Argument gegen die hier diskutierte Gleichwertigkeit zweier Modelle gleicher Materiedichte aber unterschiedlicher Deutung der Galaxienflucht.

Gruß, Timm

[Ich]

Hi Timm, Bauhof,

ich lehne mich mal aus dem Fenster und behaupte, Kanitscheiders Fehler gefunden zu haben. Kurzversion: Er verwechselt den Abstand zum Zeitpunkt der Lichtaussendung mit dem zum Zeitpunkt des Empfangs.
Vor der Langversion noch ein Erratum: in meinem Beitrag #10 muss es statt "Angular Size Distance" "transverse Comoving Distance" heißen, ich hab da ein Quadrat falsch gelesen.
Und noch was: Ich werde jetzt ungefähr alle Entfernungsdefinitionen der Kosmologie verwenden, das ist das Schöne an Kanitscheiders Fehler. Zur Referenz bitte dieses Paper anschauen.

Kanitscheiders erste Formel ergibt Sinn, so wie sie im MTW steht. Das R darin ist aber weder der Skalenfaktor noch der Abstand ("Comoving Distance"), sondern "the radius of curvature of the 2-sphere surrounding the emitter and passing through the receiver at the time of reception", aka "transverse Comoving Distance" Rt. Das ist der Umfang dieser Fläche geteilt durch 2pi, analog zu dem "r" in der Schwarzschildmetrik. Unter statischen Bedingungen verteilt sich das Licht genau auf diese Fläche, da hieße es einfach
S = L / (4(PI)R²) = L / (4(PI)Rt²).
Im dynamischen Fall ist dieses R aber definitionsgemäß die "Luminosity Distance" RL, wobei gilt
RL = Rt * (1+z),
daher also die Formel
S = L / [4(PI)Rt²(1+z)²].

Kanitscheider stellt dem gegenüber die Formel
S = L / [4(PI)r²(1+z)^4],
die im Falle eines "Geschwindigkeitseffekts" gelten soll. Eine entsprechende Formel findet sich laut Timm im MTW; ich behaupte, dass sie sich auf einen anderen Fall bezieht, dazu später mehr.

Als erstes muss man natürlich zeigen, dass das "R" gleich dem "r" ist, sonst könnte man keinen Widerspruch konstruieren. Das ist nach der MTW-Definition auch tatsächlich der Fall, weil auch in Minkowskikoordinaten gilt r=U/2pi. Nach Kanitscheiders Definitionen ginge das übrigens nicht.

Dann betrachten wir den Fall
"the radius of curvature of the 2-sphere surrounding the emitter and passing through the receiver at the time of reception"
in SRT-Koordinaten. Wir gehen also ins System des Emitters. Der schickt Licht aus, das den Beobachter im Abstand r erreicht. Ruhte der Beobachter, sähe er also
S = L / (4(PI)r²).
Da er sich aber wegbewegt, muss man zwei Effekte berücksichtigen:
Erstens sind die Photonen alle rotverschoben, haben also um 1/(1+z) geringere Energie.
Zweitens kommen die Photonen gemäß der Rotverschiebung auch in geringerer Rate 1/(1+z) an, also nochmal weniger Fluss.
Gibt in Summe
S = L / [4(PI)Rt²(1+z)²],
mithin dasselbe Ergebnis wie beim "Expansionseffekt".

Was macht Kanitscheider stattdessen? Ich tippe mal, das von ihm zitierte Szenario im MTW lautet sinngemäß "Eine wegfliegende Galaxie im Abstand r hat den Fluss S = L / [4(PI)r²(1+z)^4]".

Wir gehen dazu ins System des Empfängers. Der sieht die Galaxie natürlich zu dem Zeitpunkt, da sie das Licht aussendet. Das "r" in diesem Fall ist also auch die "transverse Comoving Distance" zum Zeitpunkt der Emission, nicht Rezeption. Was im flachen Raum stimmigerweise die "Angular Size Distance" ist, entsprechend der tatsächlich beobachteten Winkelgröße der Galaxie.
Hier sind wieder die beiden oben beschriebenen Effekte zu berücksichtigen, die den Fluss um 1/(1+z)² schwächen.
Zusätzlich kommt aber noch der "Headlight Effect" ins Spiel: die Galaxie strahlt nur in ihrem Ruhesystem in alle Richtungen gleichmäßig. Wenn sie sich bewegt, erscheint das Licht, das entgegen der Bewegungsrichtung ausgesandt wird, wegen der Aberration für den ruhenden Beobachter auf einen größeren Winkel verteilt, also mit geringerem Fluss. (Kann man relativ einfach nachrechnen bei Bedarf.) Der entsprechende Faktor ist 1/(1+z)², womit wir auf die von Kanitscheider angegebenen
S = L / [4(PI)r²(1+z)^4]
kommen - allerdings bedeutet diesmal das r etwas anderes, die "Angular Size Distance" DA nämlich. Ein Blick ins Paper zeigt, dass es passt: Die Luminosity Distance ist tatsächlich
DL = DA*(1+z)².

Also, meine These: Kanitscheider verwendet im zweiten Fall ein Szenario, das nicht zum ersten Fall passt. Der Unterschied ist der Zeitpunkt, zu dem "r" gemessen wird: bei Emission oder bei Rezeption. Und das ist auch der einzige Unterschied zwischen den Formeln. Es kann da auch kein echter Widerspruch sein, weil ja beide Beschreibungen im leeren Raum durch eine Koordinatentrafo ineinander übergehen.

[Timm]

Hi 'Ich',

Kanitscheider übernimmt eigentlich nur was im MTW steht, ohne weitere Erklärung und ohne R und r zu definieren.

Zitat von Ich

Zusätzlich kommt aber noch der "Headlight Effect" ins Spiel: die Galaxie strahlt nur in ihrem Ruhesystem in alle Richtungen gleichmäßig. Wenn sie sich bewegt, erscheint das Licht, das entgegen der Bewegungsrichtung ausgesandt wird, wegen der Aberration für den ruhenden Beobachter auf einen größeren Winkel verteilt, also mit geringerem Fluss. (Kann man relativ einfach nachrechnen bei Bedarf.) Der entsprechende Faktor ist 1/(1+z)², womit wir auf die von Kanitscheider angegebenen
S = L / [4(PI)r²(1+z)^4]
kommen - allerdings bedeutet diesmal das r etwas anderes, die "Angular Size Distance" DA nämlich. Ein Blick ins Paper zeigt, dass es passt: Die Luminosity Distance ist tatsächlich
DL = DA*(1+z)².

Also, meine These: Kanitscheider verwendet im zweiten Fall ein Szenario, das nicht zum ersten Fall passt. Der Unterschied ist der Zeitpunkt, zu dem "r" gemessen wird: bei Emission oder bei Rezeption. Und das ist auch der einzige Unterschied zwischen den Formeln. Es kann da auch kein echter Widerspruch sein, weil ja beide Beschreibungen im leeren Raum durch eine Koordinatentrafo ineinander übergehen

r bezieht sich auf die Emission. Damit es keine Mißverständnisse gibt, zitiere ich aus dem MTW, S. 794:

Exercise 29.5 Dopplershift Versus Cosmological Redshift

(a) Consider, in flat spacetime, a galaxiy moving away from the Earth with velocity v, and emitting light that is received at Earth. Let the distance between Earth and galaxy, as measured in the Erth's Lorentz frame at some specific moment of emission, be r; and let the Dopplershift of the radiation when it is eventually received be z = Δ λ / λ. Show that the flux of energy S received at the Earth is related to the galaxy's intrinsic luminosity L by

S = L / [4(PI)r²(1+z)^4] (29.37)

(b) Compare this formula for the flux with with formula (29.27), where the redshift is of cosmological origin. Why is the number of factors of (1-z) different for the two formulas? [Mathematical answer: equation (6.28a of Ellis (1971).]

Den Ellis "Relativistic Cosmology" habe ich nicht. Könnte der von Dir ins Spiel gebrachte "Headlight Effect" gemeint sein?

Ich verstehe leider viel zu wenig davon, meine erste Reaktion, die kosmologische Rotverschiebung bezöge sich auf ein materiehaltiges Universum (wegen des des Hinweises auf den Krümmungsparameter) war wohl falsch. Allerdings kommt S. 785 noch ein Vergleich mit Beobachtungen. Geht es stattdessen um ein leeres FRW Universum? Aber dann müßte die unumstrittene Äquivalenz der Modelle doch auch den Energiefluß beinhalten (weil kovariant), oder?

Gruß, Timm

[Marco Polo]

Zitat von Timm

Ich verstehe leider viel zu wenig davon....

Von wegen. Wegen dir tun meine Operationsnarben höllisch weh, Timm...

[Ich]

Hi Timm,

Zitat von Timm

r bezieht sich auf die Emission.

Eben. Und R auf die Rezeption. Was dann auch Frage (b) beantwortet.

Könnte der von Dir ins Spiel gebrachte "Headlight Effect" gemeint sein?

Nein, es kann keinen physikalisch messbaren Unterschied geben. Der Headlight Effect gehört zur SRT und muss berücksichtigt werden, und das Ergebnis muss mit dem Ergebnis der kosmologischen Sichtweise übereinstimmen.
Es können eigentlich nur unterschiedliche Entfernungsdefinitionen gemeint sein. Wie gezeigt liefern beide Sichtweisen natürlich dasselbe Ergebnis, also DL = Dt*(1+z) = Da*(1+z)² (Dt ist diese transverse Comoving Distance). Da gibt's keine Unterschiede - außer man verwendet einmal die eine Entfernung und das andere mal die andere und merkt's nicht.
Dt entspricht der Entfernung zum Zeitpunkt der Rezeption, DA ist die Entfernung zur Zeit der Emission. Der Unterschied (1+z) zwischen beiden entspricht in kosmologischen Koordinaten dem unterschiedlichen Skalenfaktor: a(rez)/a(em) = 1+z.

Ich verstehe leider viel zu wenig davon, meine erste Reaktion, die kosmologische Rotverschiebung bezöge sich auf ein materiehaltiges Universum (wegen des des Hinweises auf den Krümmungsparameter) war wohl falsch.

Das ist nicht der Krümmungsparameter des Universums, das ist einfach der "Radius" der beschriebenen Kugel, d.h. deren Umfang durch 2pi.

Allerdings kommt S. 785 noch ein Vergleich mit Beobachtungen. Geht es stattdessen um ein leeres FRW Universum? Aber dann müßte die unumstrittene Äquivalenz der Modelle doch auch den Energiefluß beinhalten (weil kovariant), oder?

Was steht da? Wenn die Beobchtungen ergeben, dass das Universum nicht leer ist, dann kann man dem durchaus glauben. Meine Rechnungen hier beziehen sich natürlich auf eine flache Raumzeit, ist ja von MTW hier (29.5) so vorgegeben.

[Timm]

Zitat von Ich

Eben. Und R auf die Rezeption. Was dann auch Frage (b) beantwortet.

Danke, verstanden. Hätte ich nur gründlich gelesen. Offensichtlich ist das Kanitscheider auch entgangen, was zu seiner falschen Folgerung führte:

Wäre die kosmologische Rotverschiebung tatsächlich ein Geschwindigkeitseffekt und kein Expansionseffekt, so würde der Energiefluss S, der von einer Galaxie der Leuchtkraft L auf der Erde gemessen wird, nicht

S = L / [4(PI)R²(1+z)²],

sondern

S = L / [4(PI)r²(1+z)^4]

betragen.

Gruß, Timm

[Timm]

Zitat von Marco Polo

Von wegen. Wegen dir tun meine Operationsnarben höllisch weh, Timm...

Oh je Marc, jetzt quälen mich aber Gewissensbisse.

Aber daß Du Dich in alter Frische meldest ist ein gutes Zeichen und ich wünsche Dir schnelle Genesung.

Gruß, Timm

[Timm]

Ich greife mal aus Deinem reichhaltigen Beitrag diesen Teil heraus, denn er berührt den Kern des Themas:

Zitat von Ich

Die kinematische ist proportional zum Abstand, die Gravitationsverschiebung ist proportional zum Quadrat des Abstands. Deswegen funktioniert Bunn & Hoggs Ansatz, bei kleinen Entfernungen nur die kinematische komponente zu berücksichtigen. Die beiden werden in einer gewissen Entfernung gleich groß.
Aber vorsichtig verwenden: diese Aufteilung in Doppler und Gravitation ist nur solange eindeutig möglich, solange man die Rotverschiebung als Funktion der Entfernung noch gut mit a*x+b*x² nähern kann bzw. das Potential statisch genug ist. Bei größeren Entfernungen und Lichtlaufzeiten verschwimmt der Unterschied, und man tut sich schwer mit dieser Aufteilung.
In erster Näherung ist:
Doppler: z=H/c * r
Gravitation: z=2/3*pi*G/c²*rho * r²

Bedeutet "Verschwimmen" bei größeren Entfernungen, daß es die Beiträge Gravitation und Doppler nach wie vor gibt, sie sich aber mathematisch nicht mehr darstellen lassen? Oder macht die Theorie keine klaren Aussagen für diesen Fall?

Nochmal die Formel (16) aus Peacock's "A Diatribe on expanding space":

1 + z = [(1+v/c)/(1-v/c)]^1/2*(1 + ΔΦ/c²)

mit ΔΦ = -2πGρr²/3 und daraus z = -2πGρr²/3c²

Mit diesem Newton'schen Ansatz (Birkhoff's Theorem) ergibt sich demnach Blauverschiebung (z < 0) für den Fall v = 0, was im Bild mitbewegter Koordinaten einer Pekuliargeschwindigkeit des Senders in Richtung Empfänger entspricht.
D.h. mit einem bestimmten Wert x für v (der Relativgeschwindigkeit mit der der Sender sich vom Empfänger entfernt) ist abhängig vom Gravitationspotential z = 0, und für v > x wird z > 0.

Um nun auf die Frage "verschwimmt" zurückzukommen, was passiert mit (16), wenn die Kugel immer größer gedacht wird, sodaß mehr und mehr die ART berücksichtigt werden muß. Du hast ja auf die Schwierigkeiten schon hingewiesen. Ich verstehe Peacock so, daß auch für kosmologische Distanzen die Rotverschiebung sich aus den beiden Anteilen (Gravitation, Kinematik) zusammensetzt. Er schreibt "to second order".
Müßte man aber nicht erwarten, daß sich deren Verhältnis verschiebt, je mehr die Art hinzu kommt? Und zwar in Richtung des gravitativen Anteils?

Oder, um hoffentlich etwas weniger verschwommen zu fragen:
Gegeben seien Rotverschiebungen von z =1 bis z = 1000 und die Entwicklung des Universums nach heutigem Wissen. Nun trage ich z gegen den prozentualen Anteil der kinematischen Komponente an z auf. Ich mag es überlesen haben, bin jedoch nirgends auf so eine Abschätzung gestoßen. Wie siehst Du das?

Gruß, Timm

[Bauhof]

Zitat von Timm

Gegeben seien Rotverschiebungen von z =1 bis z = 1000 und die Entwicklung des Universums nach heutigem Wissen. Nun trage ich z gegen den prozentualen Anteil der kinematischen Komponente an z auf. Ich mag es überlesen haben, bin jedoch nirgends auf so eine Abschätzung gestoßen.

Hallo Timm,

mir ist immer noch nicht klar, was du mit "kinematischer Komponente" meinst. Dazu habe bislang noch nie etwas (in deutschsprachigen Büchern) gelesen. Mit der "kinematischen Komponente" kann doch nur die Summe der gravitativen Rotverschiebungen plus Pekulariarbewegungen der Galaxien gemeint sein.

Und die Summe dieser beiden Komponenten ist vernachlässigbar klein gegenüber dem "Hubble-Fluss", der allein auf der Dehnung des Raumes beruht und nicht auf kinematische Komponenten. So entnehme ich es jedenfalls seit 30 Jahren aus meinen Büchern.

Ist ein 'Paradigmenwechsel' zu erwarten?

M.f.G. Eugen Bauhof