Abgleich meines Wissens

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

...bevor wir weitermachen hätte ich noch eine Frage. Du schriebst, dass eine Sphäre ein endliches Volumen besitzt.
Das gilt dann aber scheinbar erst ab einer 3-Sphäre, da eine 2-Sphäre, wie du schriebst, kein Volumen hat, oder?

Hallo Marc,

ich habe mich mit den mehrdimensionalen Objekten vor langer Zeit schon mal beschäftigt. Die Begriffe Oberfläche und Sphäre habe ich zum Begriff "Begrenzungsraum" zu meinem besseren Verständnis wie folgt verallgemeinert:

1. Der Begrenzungsraum einer vierdimensionalen 'Kugel' ist dreidimensional. Das ist eine dreidimensionale 'Sphäre'.

2. Der Begrenzungsraum einer dreidimensionalen Kugel ist zweidimensional. Dieser Begrenzungsraum ist eine zweidimensionale Sphäre, die gewöhnliche Kugeloberfläche.

3. Der Begrenzungsraum einer zweidimensionalen 'Kugel' ist eindimensional. Dieser Begrenzungsraum ist eine eindimensionale 'Sphäre', die gewöhnliche Kreisumfangslinie.

4. Der Begrenzungsraum einer eindimensionalen 'Kugel' ist nulldimensional. Dieser Begrenzungsraum ist eine nulldimensionale 'Sphäre', zwei gewöhnliche mathematische Punkte.

Deine Formel

Vn = (2*pi^(n/2) * r^(n-1))/(gamma*n/2) ist nicht ganz korrekt. Richtig lautet sie:

Vn = [2*pi^(n/2) * r^(n-1)]/[gamma(n/2)]

Setzt man beim Beispiel 4 in die Formel n = 1 ein, dann ergibt sich:

Vn = [2*pi^(1/2) * r^(1-1)]/[gamma(1/2)]

Nachdem gamma(1/2) = pi^(1/2) ist, ergibt sich:

Vn = 2.

Der Begrenzungsraum einer eindimensionalen Strecke ist 2. Das heißt, er wird von zwei nulldimensionalen Punkten begrenzt. Ein Beispiel, wie man durch etwas mehr Abstraktion ein besseres Verständnis gewinnt.

M.f.G Eugen Bauhof

[amc]

Moin,

Zitat von Marcus Ulpius

Ihr misstraut mir offensichtlich :-D - Sehr sehr gut!

Weshalb jetzt genau? Können wir aber auch so stehen lassen.

Zitat von Marcus Ulpius

Wie die Ausführungen hier zeigen: Das Möbiusband muss nicht berandet sein - Mehr noch: Es ist es nicht einmal "üblicherweise".

Eine Frage dazu. Wenn das Möbiusband "einfach verklebt" ist (sagen wir links/rechts), kann es dann sinnvoll sein, es auch als "einfach unberandet" zu bezeichnen? Was ist mit oben/unten? Müsste auch den Zylinder betreffen.

Zitat von Marco Polo

p.s. wofür steht deine Grussformel wkr?

Mogel mich mal "mfg" dazwischen ("with kind regards").

Grüße, amc

[Marcus Ulpius]

Hallo Marco Polo (?),

Zitat von Marco Polo

Du schriebst, dass eine Sphäre ein endliches Volumen besitzt.
Das gilt dann aber scheinbar erst ab einer 3-Sphäre, da eine 2-Sphäre, wie du schriebst, kein Volumen hat, oder?

Ja - Eugen Bauhof hatte die wesentlichen Details schon ausgeführt.

Eine 1-Sphere ist ein Kreis. Und zwar explizit die Kreislinie und nicht die Kreisscheibe.
Eine Linie besitzt weder Volumen noch Fläche. Die Kreislinie umschliesst lediglich eine Fläche ("Flächeninhalt eines Kreises") - Eugen Bauhof nannte das "Begrenzungsraum".

Eine 2-Sphere ist eine Kugeloberfläche - Es ist nicht die Kugel.
Die 2-Sphere ist eine Fläche - Eine Fläche besitzt kein Volumen.
Sie umschließt lediglich einen Raumbereich dessen Volumen einer Kugel mit dem Radius der betreffenden Sphere entspricht.

Würde Bernd in einer elliptischen Welt leben wäre es im letztendlich egal, wir groß das 3D-Volumen wäre welches seine 2D-Welt umschliesst: Das spieltr für ihn keine Rolle, er interagiert nicht mit diesem - salopp formuliert - "Was auch immer Bereich".

@amc: Die Rückfrage war absolut berechtigt. Ich hatte allgemein n-Spheren im Kopf als ich vom endlichen Volumen schrieb - Für <3-Spheren gibt es aber kein Volumen. "Das Misstrauen" in die generelle Gültigkeit meiner Aussage war völlig gerechtfertigt.

Zitat von amc

Eine Frage dazu. Wenn das Möbiusband "einfach verklebt" ist (sagen wir links/rechts), kann es dann sinnvoll sein, es auch als "einfach unberandet" zu bezeichnen? Was ist mit oben/unten? Müsste auch den Zylinder betreffen.

Wir wollen hier keine neuen physikalischen Begrifflichkeiten einführen - Es ist letztendlich nur interessant ob eine Mannigfaltigkeit "irgendwo" einen Rand hat oder nicht (Es würde außerdem auch etwas unübersichtlich werden mit Aussagen wie "Diese n-Mannigfaltigkeit ist siebenfach unberandet").

Ganz grob gesprochen liegt ein Rand dort vor "wo es nicht mehr weitergeht".
Dort, wo (virtuelle) "Ränder" miteinander verklebt sind ist dies nicht der Fall.
Ebenso wenn eine Mannigfaltigkeit in eine bestimmte Richtung "offen" (= unendlich) ist.

"Üblicherweise" betrachtet man die Mannigfaltigkeiten als unberandet (Zylinder, Möbius-Band, ...).
Ansonsten schreibt man das dazu (Man schneidet z.B. aus dem unberandeten Zylinder "ein Rohrstück" heraus).

Zitat von Marco Polo

p.s. wofür steht deine Grussformel wkr?

siehe Antwort von amc: "with kind regards". wkr ist noch unüblicher als mfg. :-)

wkr
Marcus

[Marcus Ulpius]

Wie kommt man aufdbauend von dem bisher Gesagten von den 2- zu den 3-Mannigfaltigeiten?

Eigentlich recht einfach: Durch Hinzufügen einer weiteren Dimension unter Berücksichtigung der bekannten Grundprinzipen "verkleben/nicht verkleben" und "verdrillen/nicht verdrillen".

Am Beispiel 2-Torus:

Würde Bernd einer 2D-Welt der Gestalt 2-Torus leben wären der linke mit rechten und der obere mit dem unteren Bilschirmrand verbunden.
Käme noch die dritte Dimension "verklebt" hinzu könnte er nach vorne hinauslaufen und von hinten wiederkommen - Er würde in einem 3-Torus leben.

In der bildlichen Vorstellung eines Torus wäre die Oberseite seiner Oberfläche jeweils überall mit der Unterseite seiner Oberfläche verbunden - Das ist visuell so nicht mehr darstellbar/vorstellbar.

Euklidische 3-Mannigfaltigkeiten stellt man sich deshalb besser so vor:
Ausgangsituation ist ein 3D-Kubus der den Raum repräsentiert.
Ist er nach allen Seiten offen (= unendlich) repräsentiert er "die trivalste Topologie".
Sind alle sich gegenüberliegenden Seiten des Kubus jeweils miteinander verklebt handelt es sich um den 3-Torus.
Dazwischen gibt es alle möglichen Spielarten zwischen "verklebt" und "nicht verklebt" - Ausgehend von den 3 Grundtypen der euklidischen 2-Mannigfaltigkeiten (Fläche, Zylinder, Torus) ergeben sich dadurch die 6 erwähnten Grundtypen euklidischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Ich würde gerne lesen, wie jemand die 6 möglichen orientierbaren 3D-Modelle anschaulich erklärt,

Die Frage sollte damit beantwortet sein.

Natürlich kann man die Seitenflächen des Ausgangskubus auch noch "verdrillen" - Dann erhält man auch "eine endliche Anzahl" an Grundtypen nicht-orientierter 3-Mannigfaltigkeiten (Ich glaube so um die 16 - Ich weiss es gar nicht genau. Das ist im Endeffekt aber auch egal).

Stellt man sich den 3-Torus als Kubus mit "verklebten" Seitenflächen vor sollte es auch anschaulich nachvollziehbar sein, weshalb es sich immer noch um eine euklidische Mannigfaltigkeit handelt (z.B. Parallelen-Axiom).
In der in der Topologie diskutiert man grundsätzlich einen "flachen Torus" wenn man nichts ausdrücklich anderes erwähnt: Das bedeutet nichts anderes als dass die Oberfläche des toplogischen 2-Torus nicht als Teilmenge eines 3D-Raums zu verstehen ist/als Teilmenge desselben ausgedrückt werden kann.

wkr
Marcus

[Marcus Ulpius]

Hallo Timm,

Zitat von Timm

ch hoffe, 'Ich' verübelt es mir nicht, wenn ich hier an seiner statt etwas loswerde.

Die Frage nach der Topologie des Universums ist schlicht und einfach unentschieden. Darauf bist Du nun mehrmals aufmerksam gemacht worden, nimmst es aber offenbar nicht zur Kenntnis. Offenbar "brauchst" Du den 3-Torus.

Nachdem Georg Wolschin im Januar 2009 hier schreibt, die meisten Wissenschaftler würden von trivialer Topologie ausgehen, habe ich ihn gestern mal nach dem neuesten Stand gefragt. Antwort, es gäbe keinen, ca. März nächsten Jahres wüßte man "Genaueres". Womit er die Auswertung der Planckdaten meint.

Wenn Du jetzt schon Genaueres weiß, weshalb schreibst Du dann nicht noch rechtzeitig ein paper?

Ich möchte dir eine konkrete Frage stellen:
Hälst du deine Kentnisse/dein Wissen in diesem Themenbereich für ausreichend gefestigt um die von dir genannte(n) Einschätzung(en) anderer Personen auch selbst vertreten zu können?

Oder anders gefragt:
Bist du bereit dich mit den betreffenden fachlichen Hintergründen auseinanderzusetzen damit du dir am Ende selbst ein Urteil erlauben kannst (Formulierung zumindest als Zielsetzung)?

Ich sehe nämlich keinen Sinn darin auf "Aber du liegst falsch weil XYZ hat gesagt dass wäre ganz anders" einzugehen wenn nicht gleichzeitig die dahinterstehenden Argumente Gegenstand der Diskussion sind.

wkr
Marcus

P.S.:
a. Fällt dir irgendetwas an der von dir zitierten Antwort von Georg Wolschin auf?
b. Fällt dir irgendetwas an dem von dir verlinkten Artikel auf?

[Marcus Ulpius]

Hallo Timm,

Zitat von Marcus Ulpius

b. Fällt dir irgendetwas an dem von dir verlinkten Artikel auf?

Aus besagtem Dokument:

Zitat von Wolschin

Durch die präzise Untersuchung der kosmischen Hintergrundstrahlung mit dem WMAP-Satelliten bekam die Idee eines endlichen Universums 2003 überraschenderweise neuen Auftrieb.

Zitat von Wolschin

Der erste beobachtbare Multipol ist deshalb der bereits erwähnte Quadrupol mit l = 2, entsprechend Winkelabständen von 180/2 Grad = 90 Grad. Im Modell des unendlich ausgedehnten flachen Universums lässt sich seine Stärke exakt berechnen – die WMAP-Beobachtungen zeigen aber nur etwa ein Siebtel dieses Resultats – eine deutliche Diskrepanz.

Zitat von Wolschin

Modelle endlicher Universen lösen das Problem des schwachen Quadrupolanteils, das bereits der COBE-Satellit in den 1990er Jahren entdeckt hatte, auf natürliche Weise.

Was weist Wolschin demgegenüber konkret als Argument aus welches die Annahme eines unendlichen Universums untermauert (und gegen die Annahme dessen Endlichkeit spricht)?

wkr
Marcus

[Marcus Ulpius]

Hallo Timm,

ich sehe keinen qualitativen Unterschied zwischen folgenden beiden Aussagen:
a. Im Mittelalter ging man noch davon aus die Erde wäre eine flache Scheibe.
b. "Die Frage nach der Topologie des Universums - trivial oder nicht-trivial - ist schlicht und einfach unentschieden."

Niemand kann leugnen dass beides verbreitet (selbst in seriösen Quellen) zu lesen wäre - Auch ich nicht.
Das ändert allerdings nichts daran dass beide Aussagen inhaltlich unzutreffend sind.

Und aus diesem Grund lasse ich mich nicht auf solche Spielchen wie "Du stimmst mir jetzt erst einmal zu dass das so ist sonst rede ich nicht mehr mit dir" ein -
Ich bin nun einmal
a. anderer Meinung und ausserdem
b. nicht im Kindergarten.

Übrigens:
Ich würde in einer Publikation zu diesem Thema (ziemlich) exakt dasselbe Fazit wie Wolschin ziehen - Sogar (fast) im selben Wortlaut:
Ein insgesamt gelungener Artikel, Danke für den Link.

wkr
Marcus

[Timm]

Deine andere Meinung sei Dir ja unbenommen, Marcus Ulpius.
Warten wir doch einfach die Planck-Daten ab.

Gruß, Timm

[RoKo]

Hallo Timm,

Zitat von Timm

Deine andere Meinung sei Dir ja unbenommen, Marcus Ulpius.
Warten wir doch einfach die Planck-Daten ab.

Das verstehe ich nicht ganz. Worauf bezieht sich das Wort "andere"? Du hattest doch den Spektrum-Artikel von Wolschin eingebracht.

[Marcus Ulpius]

Hallo Timm,

Zitat von Timm

Nachdem Georg Wolschin im Januar 2009 hier schreibt, die meisten Wissenschaftler würden von trivialer Topologie ausgehen, habe ich ihn gestern
mal nach dem neuesten Stand gefragt. Antwort, es gäbe keinen, ca. März nächsten Jahres wüßte man "Genaueres". Womit er die Auswertung der Planckdaten meint.

Wenn er es nicht schon war:

Könntest du bitte einmal möglichst exakt den Wortlaut wiedergeben
a. was/wie du ihn genau gefragt
b. was/wie er dir geantwortet hat

Danke.

wkr
Marcus