Verständnis von Ko- und Kontravarianz

[ohmed]

Hallo Marco Polo,

zu deiner letzten Frage (ich hab leider immer noch nicht geschnallt, wie man diese sauber gerahmten Zitate einsetzt, intuitiv klappt´s bei mir nicht, sogar mein Smiley, den ich vom Tablett rübergezogen habe, ist, aus mir unerfindlichen Gründen, nur als Link zu sehen):

Ich habe vor einiger Zeit einen kurzen „Thread“ gelesen, den ich aber nicht mehr finden kann, in dem jemand sich ebenfalls über ko- und kontravariante Größen Gedanken gemacht hat und mir ist so – ich hoffe, ich habe dich in meiner Erinnerung nicht mit jemand anderem verwechselt – als ob du dich, so etwa im 4. oder 5. Beitrag, in obigem Sinne geäußert hättest.
Meine Bemerkung war übrigens keineswegs aggressiv dir gegenüber gemeint, sondern selbstironisch mir selbst gegenüber. War damals (wenn´s stimmt) vielleicht etwas insensibel von dir, aber jetzt bei mir hatte ich an dieser Stelle in meinem Text selbst das Gefühl, dass dieser Ausspruch nicht ganz unangebracht wäre. In meinem Fall hätte ich gelacht und gesagt: Ok, Marco, du hast ja so recht, was ich schreibe, ist einfach zu konfus. Ich muss mich erst selbst mal richtig damit befassen und meine Brocken ordnen, bevor ich aus Bequemlicheit andere damit behellige. Selber denken macht schlau!

Zur Frage davor, warum ich so an Ko- und Kontravarianz interessiert bin:

Ich hab mein Brot in einem ganz anderen Gebiet ohne Physik und Mathematik verdient und hatte jetzt einfach Sehnsucht nach Physik satt. Da hab ich mich in diesem Semester erdreistet, einfach direkt in eine Vorlesung zur ART zu gehen. Auf jeden Fall ist es faszinierend. Mit Zusammensuchen der mathematischen Begriffe und Regeln aus Büchern und Internet und einzelnen mathematischen Fragmenten, die gelegentlich aus dem tiefen Urzeitschlick nach oben poppen, ist es mir nicht ganz unmöglich, dem Formalismus so weit zu folgen, wie ich bereit bin, den entsprechenden Aufwand zu investieren, aber halt irgendwie in Manchem nur wie eine mechanische Rechenmaschine. Auswendiglernen ist keine Wissensart, die mich wirklich interessiert, wenn´s als Mittel zum Zweck oft auch unvermeidlich ist. Ich träume, wahrscheinlich wie ihr alle auch, davon, die Zusammenhänge zu „sehen“. Bei ko- und kontravariant, was ja ziemlich am Anfang steht und eigentlich banal einfach sein sollte, aber seltsamerweise für mich schwerer zu „verstehen“ ist, als vieles, was später kommt, stehe ich „sehensmäßig“ einfach noch irgendwie auf dem Schlauch und da hab ich halt einfach mal gefragt.
Wenn man übrigens darauf im Internet eine Antwort sucht, stellt man fest, dass ich beileibe nicht der einzige bin, bei dem zu diesem Thema Fragen offen sind, so dass ich es auch für hinreichend allgemein interessant gehalten habe, um es in dem Forum zu „posten“.

Ich möchte diese Begriffe vorläufig noch nicht endgültig in der Schublade „Rechenformalismus, ggf. einfach akzeptieren“ ablegen. Ich will mir nach und nach vielleicht auch die Susskind lectures reinziehen (toller Tipp, nicht nur für die ART, herzlichen Dank an Hawkwind). Ist aber anstrengend wegen der zusätzlichen Sprachprobleme und dann nuschelt er manchmal auch noch, was zu kompensieren für seine muttersprachlichen Studenten natürlich viel leichter ist, als für meinereins.
Bevor ich „weiterposte“, will ich jetzt erst mal gelassen wieder etwas abwarten, was sich vielleicht ko- oder kontravariant in meinem Kopf noch zurechtrüttelt.

Vielen Dank und Grüße, ohmed

[Marco Polo]

Hallo ohmed,

sehe ich das richtig, dass du einfach mal so eine ART-Vorlesung besucht hast, ohne Vorkenntnisse in der SRT und ohne Vorkenntnisse in Differentialgeometrie?

Das kann nicht klappen, glaube es mir. Zumindest ist es die falsche Herangehensweise.

Sollte es so sein wie ich vermute, dann wäre deine Fragestellung nach der Ko- und Kontravarianz reichlich verfrüht.

Man muss sich bei der RT normalerweise Schritt für Schritt heranarbeiten. Zumindest als Nichtphysiker. Ein Physiker könnte natürlich direkt mit der ART beginnen, da er das entsprechende Rüstzeug i.d.R. bereits mitbringt.

Sei es wie es sei.

[ohmed]

Hallo Eugen Bauhof,

vielen Dank! (An die Quelle des Zitats zur weiteren Ausführung komme ich im Moment leider nicht heran.)

(Hallo, auch Marco Polo auf dem anderen Ast des "Threads". Du siehst, ich hab´s doch nur ein paar Stunden ausgehalten, stille zu sein, ist aber auch alles so spannend, wenn man erst mal damit angefangen hat. Ich kann´s halt auch nicht haben, wenn etwas angefangenes herumliegt.)

Ich fasse in einem angehängten pdf nochmals etwas zusammen, was ich mir bis jetzt zusammengereimt habe. Vielleicht steckt aber doch noch mehr dahinter!?
(Ich habe dieses Mal schon versucht, alle Sonderzeichen zu vermeiden, weil ich sie nicht in dieses Textfenster reinkriege, aber da ich auch Hoch- und Tiefstellung von Indizes nicht übertragen kann, bleibt mir bei diesem speziellen Problem nichts anderes als ein Anhang übrig. Diese Auslagerung hat zudem noch den angenehmen Nebeneffekt, dass mein Eintrag hier deutlich schlanker erscheint und man sich noch einmal überlegen kann, ob man wirklich mehr lesen möchte.)

Grüße, ohmed

PS.: Ich grüble jedesmal auch etwas an deinem Postscript herum.

[Hawkwind]

Das sieht mir auf den 1. Blick alles ganz plausibel aus, was du da geschrieben hast.
Kompliment und Gruß,
hawkwind

[eigenvector]

Also was man in Bezug auf Ko- und Kontravarianz meiner Meinung nach "verstehen" kann ist das folgende.
Man stelle sich irgendein krummlieniges Koordinatensystem vor und in diesem Koordinatensystem einen Vektor im Tangentialraum von irgendeinem Punkt von diesem Koordinatensystem. Es gibt dann zwei verschiedene Basen, in denen man diesen Vektor angeben kann. Einmal in Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, dann ist es ein kovarianter Vektor. Und zum anderen in Basisvektoren, die normal zu Koordinatenflächen verlaufen (also senkrecht auf denen stehen), dann ist es ein kontravarianter Vektor.

Ich hab mal versucht das für den zweidimensionalen Fall zu skizzieren.

[Bauhof]

Zitat von ohmed

Hallo Eugen Bauhof, vielen Dank! (An die Quelle des Zitats zur weiteren Ausführung komme ich im Moment leider nicht heran.) Grüße, ohmed
PS.: Ich grüble jedesmal auch etwas an deinem Postscript herum.

Hallo ohmed,

mit Postscript meinst du vermutlich den Anhang nach dem Querstrich. Das ist kein Postscript, sondern meine Signatur. Die kann man im Kontrollzentrum hinterlegen, dann wird sie bei jedem Beitrag hinzugefügt.

Einstein will damit ausdrücken, dass die Ursache der Gravitation keine Kraft ist, die von der Erde herrührt.

M.f.G. Eugen Bauhof

P.S.
Bei jedem Beitrag gibt es rechts unten zwei Buttons: (Ändern) und (Zitieren). Probier es aus.

[ohmed]

Vielen Dank, Hawkwind
und v. a. Eigenvector für deine Erklärung!

So einfach und klar! Ich hoffe, du gehörst bereits oder demnächst zu denen, die Vorlesungen halten und Bücher schreiben. Vielleicht könntest du das auch in den entsprechenden Wikipediaartikel einsetzen?
Das ist einer dieser "Nebensätze", die in Vorlesungen oder Schriften leicht der Kürze zum Opfer fallen oder vielleicht auch überhört/überlesen werden und für die es dann die Seminare (ersatzweise Foren) braucht, wo man so lange drüber reden kann, bis der Groschen gefallen ist.

Grüße, ohmed

[eigenvector]

Zitat von ohmed

Vielen Dank, Hawkwind
und v. a. Eigenvector für deine Erklärung!

So einfach und klar! Ich hoffe, du gehörst bereits oder demnächst zu denen, die Vorlesungen halten und Bücher schreiben.

Noch beschränke ich mich darauf Bücher zu lesen und Vorlesungen zu hören

Zitat von ohmed

Vielleicht könntest du das auch in den entsprechenden Wikipediaartikel einsetzen?

Im "richtigen" Wikipediaartikel ist das sogar erwähnt, nämlich in diesem hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Curvili...avariant_bases.
Die deutsche Wikipedia dagegen boykottiere ich so ein bisschen, weil mir die Mentalität der dortigen Administratoren missfällt, im zugehörigen deutschen Artikel findet man das leider nicht so explizit.

[ohmed]

Hallo,

vielleicht doch noch eine kleine Frage:

Gibt es so etwas wie eine "einsichtige Faustregel" dafür, bei welchen Gelegenheiten bzw. zu welchen Zwecken man zweckmäßigerweise die kovariante und wann die kontravariante Formulierung einer Größe verendet?

Grüße, ohmed

[Hawkwind]

Zitat von ohmed

Hallo,

vielleicht doch noch eine kleine Frage:

Gibt es so etwas wie eine "einsichtige Faustregel" dafür, bei welchen Gelegenheiten bzw. zu welchen Zwecken man zweckmäßigerweise die kovariante und wann die kontravariante Formulierung einer Größe verendet?

Grüße, ohmed

Ein Freudscher Verschreiber ?
Gibt es meinen bescheidenen Kenntnissen nach nicht. Das macht man, wie man es braucht. Wenn man die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, muss man die Indizes halt entsprechend so einrichten, dass der Summationsindex mal oben und mal unten steht.
Gruß,
Hawkwind