Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

[richy]

Hi Hawkwind

Zitat von Hawkwind

Der Hauptwert einer Wurzel definiert sich nicht über dieses Vorzeichen sondern über den kleinsten Winkel (immer von oben) gegen die positive reelle Achse. So war das doch, oder?

("dieses Vorzeichen" war csgn() )

Man muss im Komplexen zwischen einem deutschen und einem nichtdeutschen Hauptwert unterscheiden. Wobei an deutschen Universitaeten sowohl der deutsche als auch der nichtdeutsche Hauptwert verwendet wird.
Ich habe an einer deutschen Universitaet meinen Abschluss gemacht und kann mich erinnern, dass dort peinlichst genau der nichtdeutsche Hauptwert verwendet wurde. Ich weiss das noch genau, weil eine Aufgabe mit "falsch" bewertet wurde, da ich den deutschen Hauptwert angab.

Zu csgn()

Zitat von Hawkwind

Es ist einfach nur eine Verallgemeinerung der Definition eines Vorzeichens, die das deutsche Wiki m.E. auch aus gutem Grund nicht einmal erwähnt.

Und das ist vielleicht auch der Grund fuer die Existenz eines deutschen und Restwelt-Hauptwertes.

Du stellst z dar in der Form

z = |z| * expi(i*phi)

Der Hauptwert ist dann

z = |z|^(1/64) * exp(i*phi/64)

Ich hatte z^(1/64) gewaehlt, weil dein Vorschlag war den Hauptwert aus allen Loesungen nachtraeglich zu bestimmen. Bei 64 Loesungen schon recht viel Arbeit. Im Grunde aber eine gute Idee und sichere Methode. Aber die Methode nuetzt leider wenig um zwischen deutschem und internationalem Hauptwert zu unterscheiden. Selbst wenn du deine deutsche Hauptwert Regel anwendest wird sich dein Hauptwert von dem deines amerikanischen, englischen, franzoesischen Restweltkollegen unterscheiden, denn diese koennten argumentieren, dass ein negatives Argument kleiner ist als ein positives..

Beschraenken wir uns auf :
Wurzel(z) = |z|^(1/2) * exp(i*phi/2 + n*Pi)

Hauptwert : n=0
Nebenwert : n=1 oder Nebenwert=-Hauptwert

Hier sind wir uns sichelich alle einig und es bleibt letzendlich die Frage :
Wie waehlen wir phi ???
phi=0..2*Pi (deutsche Methode)
oder
phi=arg(z)=0..Pi, -Pi..0 (internationale Methode)
An manchen Universitaeten gibt noch eine Variante :
phi=arg(z)=0..2*Pi

Zitat von Hawkwind

Komplexe und reelle Zahlen und ihre Algebren sind doch wunderbar definiert: was sollen immer diese "persönlichen Sichten"?

Huestel
Machen wir einen einfachen Test und berechnen den Hauptwert von

WURZEL(-2*i)


Da hatte ich schon Vorarbeit geleistet :
Verwenden wir phi= [0..2*PI], damit -2*I=2*exp(3/2*Pi) erhalten wir
HW=-1+i (deutscher Hauptwert)
Verwenden wir phi=arg(z)= [0..Pi, -Pi..0] damit -2*I=2*exp(-1/2*Pi) erhalten wir
HW=1-i (internationaler Hauptwert)
Wir tippen bei googel ein sqrt(-2*i)
http://www.google.de/#sclient=psy&hl...iw=800&bih=468
HW=1-i
Wir tippen in Maple ein : sqrt(-2*I);
HW=1-i
Jetzt verwenden wir Wiki "Quadratwurzel" :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel

Zitat von Wiki

Ist z in kartesischen Koordinaten gegeben, also z = x + iy, dann ist der Hauptwert der Quadratwurzel gegeben durch

Signum des Imaginaerteils bestimmt das Signum des Realteils der Wurzel !
Wie soll das zusammenpassen mit Im->0 ?
Und wir wollen zusammen mit den Amerikanern/Chinesen mal zum Mars fliegen, nicht ?

sign(y)=-1, |z|=2, x=0
HW=-1+i (deutscher WIKI Hauptwert fuer Wurzel(-2*i) )

wir waehlen bei WIKI den englischen Beitrag :

When the number is expressed using Cartesian coordinates the following formula can be used for the principal square root:[5][6]

where the sign of the imaginary part of the root is taken to be same as the sign of the imaginary part of the original number ...

englischer HW=1-i

Frankreich :... Ich wollte ab hier eine Kurzform verwenden, aber der franzoesische Hauptwert unterscheidet sich vom englischen Hauptwert !
Weil die Franzosen praeziser sind !!!

où le signe de la partie imaginaire de la racine est
si b <> 0 : le signe de b
si b = 0 et a < 0 : le signe +
si b = 0 et a >= 0 : pas de signe (le nombre est nul).

Frankreich : HW=1-i

"si b = 0 et a < 0 : le signe +"

Den Fall beruecksichtigt der englische WIKI Eintrag gar nicht !
Wurzel(-1) ist in Frankreich gleich i
Wurzel(-1) ist in England, Amerika gleich dem Vorzeichen von Null ?

Italien : radice quadrata principale, Keine konkrete Angabe im Komplexen.
Die legen in dem Beitrag gleich mit der Matritzenanschauung los. Da sollte man mal weiter nachhaken.

in modo da poter dire ancora che le radici del numero complesso z sono z^1/2 e -z^1/2.

Typisch Italien :-)

Holland : keine Angabe wie in Italien
Spanien : el valor absoluto = 1-i.
Portugal : HW = 1-i
فارسی : HW=1-i
Magyar=UNGARN : HW= -1+1 (deutscher Hauptwert)

[richy]

Jetzt krieg ich wieder wie bei der 5 Oktavenstimme von Celin Dion (latuerlich singt die im Ultaschallbereich) ganz boese Schelte von Wiki weil ich da in der Diskussion zur Quadratwurzel folgenes eingetragen habe :

Nationaler Hauptwert von Wurzel(z)
**************************
Man sollte im Artikel noch betonen, dass der Hauptwert einer komplexen Zahl sich von Nation zu Nation unterscheidet. Gemaess WIKI weist der Hauptwert (das ist eine wohldefinierte Zahl) von Wurzel(-2*I) in verschiedenen Laendern verschieden Werte auf :

England, Frankreich, Portugal : Wurzel(-2*i) HW= 1-i
Deutschland, Ungarn : Wurzel(-2*i) HW= -1+i
Italien, Holland : Mehrdeutig

Deutschland und Ungarn nehmen hier eine Sonderstellung ein, weil sie das Vorzeichen des Realteils aus dem Signum des Imaginaerteils bestimmen.

MfG

[richy]

Jetzt war ich glatt so frech , dass ich den Wiki Beitrag zur Quadratwurzel modifiziert habe :
Wie bei Celin Dions 5 Oktaven Stimme.

Zitat von Wiki

Céline Dion ist für den Einsatz der Gesangstechnik des Belting bekannt. Ihre Stimme umfasst fünf Oktaven.

Quelle FAZ :-)
Fuenf Otaven.Sachen gibt es. Naja wenn es bei Wiki steht und eine Korrektur abgelehnt
wurde kann Celin Dion wohl tatsaechlich wie eine Hundepfeife Ultraschall erzeugen.


MEINE WIKI ERGAENZUNG ZUR QUADRATWURZEL :

Der Hauptwert einer komplexen Zahl wird in verschiedenen Laendern unterschiedlich berechnet. In Deutschland und Ungarn ist der Hauptwert der Wurzel von (-2*i) gleich -1+1. In Frankreich, England und dem Rest der Welt dagegen 1-i.

Ich bin schon gespannt

[Bauhof]

Zitat von richy

MEINE WIKI ERGAENZUNG ZUR QUADRATWURZEL :

Der Hauptwert einer komplexen Zahl wird in verschiedenen Laendern unterschiedlich berechnet. In Deutschland und Ungarn ist der Hauptwert der Wurzel von (-2*i) gleich -1+1. In Frankreich, England und dem Rest der Welt dagegen 1-i.

Hallo Richy,

vermutlich nur ein Tippfehler:
Es müsste heißen: In Deutschland und Ungarn ist der Hauptwert der Wurzel von (-2*i) gleich -1+i.

M.f.G. Eugen Bauhof

[richy]

Hi Bauhof
Ja danke. Aber der Eintrag kann soundso nicht stehen bleiben. Ansonsten wird man wohl leider nichts aendern. Kannst du mal nachschauen was der "Bronstein" zu der Thematik meint ?
Gruesse

[Bauhof]

Zitat von richy

Nationaler Hauptwert von Wurzel(z)
**************************
Man sollte im Artikel noch betonen, dass der Hauptwert einer komplexen Zahl sich von Nation zu Nation unterscheidet. Gemaess WIKI weist der Hauptwert (das ist eine wohldefinierte Zahl) von Wurzel(-2*I) in verschiedenen Laendern verschieden Werte auf:
England, Frankreich, Portugal : Wurzel(-2*i) HW= 1-i
Deutschland, Ungarn : Wurzel(-2*i) HW= -1+i
Italien, Holland : Mehrdeutig

Hallo Richy,

hier noch die Definition des Hauptwertes der russischen Mathematiker, entnommen aus diesem Buch [1], Seite 35:
Der Winkel ß heißt Hauptwert des Arguments der komplexen Zahl z:

Für z = r•[cos(ß) + i•sin(ß)] ergibt sich das Argument arg(z):

arg(z) = ß + 2•k•π ( - π < ß ≤ + π ; k = 0, ± 1, ± 2,...)

Wenn z = a + i•b ist, dann gilt:
a = r•cos(ß)
b = r•sin(ß)
r = sqrt(a² + b²)

Der Winkel ß ergibt sich für die verschiedenen Fälle zu:

ß = + arccos(a/r)	für b ≥ 0, r > 0,
ß = - arccos(a/r)	für b < 0, r > 0,
ß = unbestimmt		für r = 0.


ß = arctan(b/a)		für a > 0,
ß = + π/2		für a = 0, b > 0,
ß = - π/2		für a = 0, b < 0,
ß = arctan(b/a) + π	für a < 0, b ≥ 0,
ß = arctan(b/a) - π	für a < 0, b < 0.

Ist diese russische Hauptwert-Definition international oder deutsch?

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Bronstein, I. N. und Semendjajew, K. A. und andere
Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Mit CD.
Thun und Frankfurt am Main 2001
ISBN=3-8171-2015-X

P.S.
MATLAB Complex Root Plot zeigt für sqrt(-2•i) zwei Ergebnisse an: (i – 1) und (1 – i)

[richy]

Hi Eugen

Ist diese russische Hauptwert-Definition international oder deutsch?

Zitat von Bronstein 5.Auflage

ß = + PI/2 für a = 0, b > 0,
ß = - PI/2 für a = 0, b < 0,

Das Argument fuer die negative imaginaere Achse ist -Pi/2. Das ist der "internationale" Hauptwert.

Ich hab auch schon im Bronstein nachgeschaut :

Bronstein Semendjajew, K. A. und andere
Taschenbuch der Mathematik. Hauptband 22. Auflage.
Thun und Frankfurt am Main 1985
ISBN=3-87144-429-8

Auszug von Seite 508 :
******************

Als Argument der komplexen Zahl a=alpha+i*beta bezeichnet man die Menge arg(a) der Winkel phi (in Bogenmaß) die der Ortsvektor OA=(alpha, beta) mit der positiven Richtung der reellen Achse einschließt.

Um aus arg(a) den Hauptwert phi0= (H) arg(a) herausgreifen zu koennen, setzt man haeufig phi=phi0 + 2*k*Pi mit
-Pi< phi0 <= Pi
....
phi0=arctan(beta/alpha) (+Pi (bzw. -Pi),falls alpha<0 und beta>=0 (bzw.beta<0)),

(arctan:Hauptwert)

phi=-Pi..Pi
Schon in dieser alten Bronstein Ausgabe verwendet man die Vereinbarung, dass fuer csignum der Realteil und nicht wie bei Wiki Deutsch der Imaginaerteil verwendet wird.
Wiki wird meines Wissen an Schulen nicht als Quellenangabe akzeptiert.

Fuer den Ingenieur ist der Bronstein Gesetz. Allerdings ist der Ausdruck "setzt man haeufig" recht schwammig. (Den habe ich auch schon bei Wiki in dem Zuasammenhang gelesen.) Aber wenn man schon einen Hauptwert definiert, so muss dieser einer internationalen Vereinbarung entsprechen. Oder ?

Und das Beispiel (H) Wurzel(-2*i)=1-i zeigt, dass die nachraegliche Entscheidung fuer den Hauptwert nicht funktioniert. In der Form dass dies der erste Wert sei, den man bei einer Umrundung von Pi=0 ausgehend trifft. Zum HW gehoert der kleinste Winkel. Und -Pi/4<Pi/4 (aber 3Pi/4 < 7Pi/4)

Die Wahl des Hauptwertes entspricht somit der Wahl des Hauptwertwinkels phi0. Und das ist der Hauptwertwinkel des komplexen ln(z).
Gruesse

[JoAx]

Zitat von richy

Fuenf Otaven.Sachen gibt es.

Zieh dir das rein, richy:

http://www.youtube.com/watch?v=IyrMAz3wpNo



Gruß

[richy]

Hi Jaox
Boah das ist heftig von Yma Sumac : (ab 2:53 sicherlich nicht geplant)
Jemand lacht im Publikum und sie verlaesst die Buehne. Recht hat sie !
http://www.youtube.com/watch?v=8gPSc...eature=related
Hier mal ein Remix wie modern Yma Sumac im Grunde war : 50 Jahre der Zeit voraus :
http://www.youtube.com/watch?v=jncc5...eature=related
Aus dem Mambo (Perez) entstand spaeter der Salsa.

Es gibt wenige 5 Oktaven Stimmen. Das hatte ich hier ja mal alles festgehalten und selbst nachgemessen :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1901
Fuer Celin Dion gibt es keinen einzigen Piepser in der der Richtung. Es ist wie bei Whitney Housten ein Geruecht. Nur Mariah Carey hat tatsaechlich dokumentiert fast eine 5 Oktaven Stimme. Und Georgia Brown 8 Oktaven. Bis Ultraschall.

Das hier ist wirklich hoch :-)
http://www.youtube.com/watch?v=bNWIsEngMBE&NR=1
Sie kann das aber noch viel hoeher, nur hoert man dann nichts mehr . :-)

Gruesse

[Marco Polo]

Zitat von JoAx

Zieh dir das rein, richy:

http://www.youtube.com/watch?v=IyrMAz3wpNo

Poahhh...das ist ja mal der Knaller, Johann.

Ich schätze mal, das meine Brille kurz davor war zu zerspringen.

Wo hast du denn den Track ausgegraben?